Основные свойства числовых рядов

2. Основные свойства числовых рядов

Свойства суммы конечного числа слагаемых отличаются от свойств ряда, т. е. суммы бесконечного числа слагаемых. Так, в случае конечного числа слагаемых их можно группировать в каком угодно порядке, от этого сумма не изменится. Существуют сходящиеся ряды (условно сходящиеся, которые будут рассмотрены в разделе 5), для которых, как показал Риман*, меняя надлежащим образом порядок следования их членов, можно сделать сумму ряда равной какому угодно числу, и даже расходящийся ряд.

Пример 2.1. Рассмотрим расходящийся ряд вида (1.7)

Сгруппировав его члены попарно, получим сходящийся числовой ряд с суммой, равной нулю:

С другой стороны, сгруппировав его члены попарно, начиная со второго члена, получим также сходящийся ряд, но уже с суммой, равной единице:

Сходящиеся ряды обладают некоторыми свойствами, которые позволяют действовать с ними, как с конечными суммами. Так их можно умножать на числа, почленно складывать и вычитать. У них можно объединять в группы любые рядом стоящие слагаемые.

Теорема 2.1. (Необходимый признак сходимости ряда).

Если ряд (1.1) сходится, то его общий член  стремится к нулю при неограниченном возрастании n, т. е.

 

(2.1)

Доказательство теоремы следует из того, что , и если

S – сумма ряда (1.1), то

Условие (2.1) является необходимым, но недостаточным условием для сходимости ряда. Т. е., если общий член ряда стремится к нулю при , то это не значит, что ряд сходится. Например, для гармонического ряда (1.2) однако, как будет показано ниже, он расходится.

Следствие (Достаточный признак расходимости ряда).

Если общий член ряда  не стремится к нулю при , то этот ряд расходится.

Пример 2.2. Исследовать на сходимость ряд

.

Для этого ряда

Следовательно, данный ряд расходится.

Рассмотренные выше расходящиеся ряды (1.6), (1.7) также являются таковыми в силу того, что для них не выполняется необходимый признак сходимости. Для ряда (1.6) предел  для ряда (1.7) предел  не существует.

Свойство 2.1. Сходимость или расходимость ряда не изменится, если произвольным образом удалить из него, добавить к нему, переставить в нем конечное число членов (при этом для сходящегося ряда его сумма может измениться).

Доказательство свойства следует из того, что ряд (1.1) и любой его остаток  сходятся или расходятся одновременно.

Свойство 2.2. Сходящийся ряд можно умножать на число, т. е., если ряд (1.1) сходится, имеет сумму S и c – некоторое число, тогда

Доказательство следует из того, что для конечных сумм справедливы равенства

Свойство 2.3. Сходящиеся ряды можно почленно складывать и вычитать, т. е. если ряды ,

 сходятся,

то и ряд

сходится и его сумма равна  т. е.

.

Доказательство следует из свойств предела конечных сумм, т. е.

 

Пример 2.3. Вычислить сумму ряда

.

Общий член ряда представим в виде

Тогда исходный ряд можно представить в виде почленной разности двух сходящихся рядов геометрической прогрессии

Используя формулу (1.8), вычислим суммы соответствующих рядов геометрической прогрессии.

Для первого ряда  поэтому

.

Для второго ряда  поэтому

Окончательно имеем

.