Навигация
Знакочередующиеся и знакопеременные ряды
11661
знак
0
таблиц
1
изображение
Знакочередующиеся и знакопеременные ряды
Содержание
1. Признак Даламбера
2. Признак Коши
3. Интегральный признак сходимости ряда
4. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
5. Знакопеременные ряды. Абсолютно и условно сходящиеся ряды
Список использованных источников
1. Признак Даламбера
Теорема 1 (признак Даламбера). Пусть дан ряд 
, где все 
> 0.
Если существует предел
,
то при 0
<1 ряд сходится, а при > 1 ряд сходится.
◄Пусть существует предел
,
где 0<1. Возьмем q такое, что < q <1. Тогда для любого числа ε > 0, например, для
,найдется номер N такой, что для всех n ≥ N будет выполняться неравенство
< q - ,
В частности, будем иметь
< q - ,
или
< q,
Откуда 
< q для всех n ≥ N. Из этого неравенства, придавая n последовательно значения N, N+1,N+2, получим
< 
q,
< q < q
,
< q < q
,
………………………….
Члены ряда
+++…
Не превосходят соответствующих членов ряда
q +q +q+… ,
который сходятся как ряд, составленный из членов геометрической прогрессии со знаменателем q ,0 < q < 1. По признаку сравнения ряд
+++…
сходится, а значит, сходится и исходный ряд 
.
В случае > 1, начиная с некоторого номера N, будет выполняться неравенство
> 1, или > > 0.
Следовательно, 
0, и ряд 
расходится, так как не выполнен необходимый признак сходимости. ►
Замечание. Если
1,
Или не существует, то признак Даламбера ответа о сходимости или расходимости ряда не дает.
Примеры. Исследовать на сходимость следующие ряды:
1.
.
◄ Для данного ряда имеем
, 
.
Тогда
.
По признаку Даламбера ряд сходится. ►
2. 
.
◄ Имеем
, 
= 
;
.
Данный ряд расходится. ►
Похожие работы
... получаться также абсолютно сходящиеся ряды, при этом сумма ряда не изменяется. Как указывалось в разделе 2, условно сходящиеся ряды таким свойством не обладают. Вопросы для самопроверки 1. Как определяется сумма числового ряда? 2. Какой ряд называется сходящимся (расходящимся)? 3. Может ли предел общего члена сходящегося числового ряда равняться 3? 4. Что можно сказать о сходимости чи
... , то отрицательны. Т.Лейбница: Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине U1>U2>U3… и предел его общего члена при n®¥ равен 0 (Lim n®¥ Un=0), то ряд сходится, а его сумма не превосходит первого члена: U1³S. Д: Рассмотрим последовательность частичных сумм четного числа членов при n=2m: S2m=(U1-U2)+(U3-U4)+…+(U2m-1-U2m). Эта последовательность ...
... такой же ряд, но члены имеют обратные знаки. . 9.3.7. а) Проверяем концы интервалов 1) Признак Лейбница выполняется, ряд сходится. При получится такой же ряд (т.к. x в четной степени). б) 9.3.8. а) Условие сходимости . Найдем дискриминант знаменателя: D=64-72<0. Условие принимает вид Интервал сходимости . На концах интервала Получаем один и ...
повторный по формуле: Сначала вычисляется внутренний интеграл, затем внешний. При вычислении внутреннего интеграла ‘х’ считается переменной, а ‘у’-постоянной. 3. Если область интегрирования не относится ни к 1 ни ко второму случаю, то разбиваем ее на части таким образом, чтобы каждая из частей относилась к одному из этих двух видов. Вычисление объемов тел с помощью двойного ...
0 комментариев