Терема Ферма. Бесконечный спуск для нечётных показателей n.
Получены другие формулы для решений уравнения Пифагора x^2+y^2=z^2, отличные от формул древних индусов, и делающие возможным доказательство для всех нечётных значений показателя n тем же способом бесконечного спуска Ферма, что и для n=4.
Ферма (потом Эйлер) доказывали эту теорему для частного случая n = 4 способом бесконечного спуска с помощью формул древних индусов: x= a
- b, y=2ab, z= a+ b.
Другие формулы: x = 
+ b, y = + a, z = + a + b (1).
В (1) a и b любые взаимно простые положительные целые числа, одно из них – чётное, другое – нечётное. Пусть a – чётное, b – нечётное: a=2c
, b=d, откуда =2cd.
После подстановки значений a и b в (1) получим:
X = d(2c+d); Y= 2c(c+d); Z= 2c(c+d)+ d (2),
где c и d любые целые положительные числа; c,d и их суммы взаимно просты;
X,Y,Z – взаимно простые тройки решений уравнения Пифагора. Если определены и целы c и d, то определены и целы все три числа X,Y,Z.
Предположим, что уравнение Ферма x
+ y= z имеет тройку целых положительных решений x,y,z при нечётном целом положительном значении показателя n, n>2. Запишем это уравнение следующим образом:
(x
)+ (y)= (z) (4).
Так как рассматривается возможность существования целых решений уравнений Ферма и (4) , то должно выполняться следующее условие:
x= X; y= Y; z= Z; где X,Y,Z из (2) (5).
Чтобы числа x,y,z были целыми, из всех трёх чисел X,Y,Z должны извлекаться целочисленные корни степени n (n – нечётное положительное целое число):
x =
= (
); y =
= (
); z =
.
Для упрощения достаточно рассмотреть два целых числа и ( n – нечётное ):
= 
= 
и = 
= 
.
Подкоренные выражения содержат сомножители не имеющие общих делителей, кроме 1, поэтому каждый сомножитель должен являться целым числом в степени n:
d = g
; 2 c = h, следовательно, = 
; = 
.
Так как x, – целые, x – по условию, а – из-за нечётн. n, то g+ h= k, где k – целое.
Тройка решений g,h,k удовлетворяет уравнению Ферма, но все три числа меньше числа x первой тройки решений, потому что наибольшее число k из g,h,k меньше , так как =g
, а <x, так как x=(). Число k заведомо меньше числа z.
Повторим те же рассуждения для второй тройки решений g,h,k, начиная с (4):
(g)+ (h)= (k); g ==(
); h ==(
); k =.
= = и = = .
d = p; 2 c = q, следовательно, = 
; = 
.
p+ q= r, где r – целое число. Все три числа p,q,r меньше числа из второй тройки решений и r<k. Таким же образом получается 4-я тройка решений, 5-я и т.д. до 
.
При данных конечных целых положительных числах x,y,z не может существовать бес-конечной последовательности уменьшающихся целых положительных троек решений. Ряд натуральных чисел конечен. Отсюда целых положительных троек решений для целых положительных нечётных (и всех простых) значений показателя n (n>2) не существует.
Для чётных n=2m не кратных 4: (x)
+(y)=(z), m – нечётное. Если нет целых троек решений для показателя m, то их нет и для 2m (это показал Эйлер). Для n=4 и n=4k (k=1,2,3…) уже доказано, что целых положительных троек решений не существует.
А. Ф. Горбатов
Похожие работы
... алгебраических чисел. – М. – Наука. – 1982. - С. 13). Вывод: Великая теорема Ферма для степени простом доказана. ******** Утверждение 2, частным случаем которого является Великая теорема Ферма, для показателя q = 4 Часть 1 Уравнение ( - четное, q = 4 = 2m, где m = 2) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах , и таких, чтобы - было четным, и - ...
... что a2+b2 делится на p, т. е. a2+b2=rp, где r --- натуральное число (r0, ибо иначе пары были бы одинаковы). С другой стороны, a2+b2 2[]2<2p, т. е. r=1, и значит, a2+b2=p. Теорема доказана. Вопрос о представлении чисел в виде суммы двух квадратов исчерпывается следующим утверждением: Натуральное число представимо в виде суммы двух квадратов целых чисел тогда и только тогда, когда все простые ...
... с кислородом, восстановлением - отнятие кислорода. С введением в химию электронных представлений понятие окислительно-восстановительных реакций было распространено на реакции, в которых кислород не участвует. В неорганической химии окислительно-восстановительные реакции (ОВР) формально могут рассматриваться как перемещение электронов от атома одного реагента (восстановителя) к атому другого ( ...
0 комментариев