Доказательство утверждения, частным случаем которого является великая теорема Ферма

Работа Скворцова Александра Петровича,

учителя, ветерана педагогического труда

 

Доказательство утверждения, частным случаем которого является великая теорема Ферма

Содержание

 

Общее утверждение

Утверждение 1

Доказательство Части первой «Утверждения 1»

Доказательство Части второй «Утверждения 1»

Пример

Примечание

«Вывод» о Великой теореме Ферма (простое)

Утверждение 2

Доказательство Части первой «Утверждения 2»

Доказательство Части второй «Утверждения 2»

Примечание

Окончательный «Вывод» о Великой теореме Ферма

Утверждение 3

Доказательство Части первой «Утверждения 3»

Доказательство Части второй «Утверждения 3»

Примечание

Общий вывод

Литература

Доказательство нижеприведённого «Утверждения» осуществлено элементарными средствами. В данной работе рассматриваются уравнения , частными случаями которых являются уравнения Ферма , где а – чётное число,  и  - целые числа, , ,  - =натуральные числа.

Метод, используемый в этой работе, опирается на применение дополнительного квадратного уравнения  и его общего решения, чётность которого совпадает с числами, исследуемыми в моей работе.

Этот метод позволяет:

1.         Судить о возможности существования целых решений уравнения Ферма для , т.е. о возможности существования «Пифагоровых троек», т.к. при рассуждениях никаких «противоречий» не возникает (доказательство этого в данной работе не приведено).

2.         Судить об отсутствии решений в попарно взаимно простых целых числах уравнения , где  - натуральное число, а – чётное число, т.к. при рассуждениях возникают «противоречия» (доказательство этого в данной работе не приведено, но дан пример на стр. 33).

3.         Судить о возможности существования частного решения уравнения  при (или b = ±1, или c = ±1), которое входит в п. «Исключения» моего общего «Утверждения». И такие решения следующие:

а) b = ±1; c = ±3; a = 2.

б) b = 3; c = ±1; a = -2 («Пример» на стр. 33).

4. Судить о неразрешимости в целых числах уравнения , где а – чётное число. Это хорошо известный факт в теории чисел (доказательство этого в данной работе приведено).

5. Судить о неразрешимости в целых числах и уравнения Ферма . Это тоже хорошо известный факт в теории чисел (в данной работе это утверждение является следствием более общего утверждения).

6. Судить о неразрешимости в целых числах уравнения Ферма , где  - натуральное число. Это тоже уже известный факт в теории чисел (в данной работе это утверждение является следствием более общего утверждения).

**********

Так как данное доказательство «Общего Утверждения» в этой работе проведено мною элементарными средствами, то думаю, и своё «Утверждение» великий Ферма вполне мог доказать подобным методом.

И последнее. Я думаю, что специалистам, наверное, известны ещё некоторые конкретные примеры (частные случаи уравнения ), подпадающих под доказываемое в данной работе «Общего Утверждения». Если такие примеры имеются, то в свою очередь это будет являться дополнительным подтверждением правильности выбранного пути доказательства вышеназванного «Общего Утверждения».

 

≥

ОБЩЕЕ УТВЕРЖДЕНИЕ, частным случаем которого является Великая теорема Ферма

 

1. Уравнение  (, - натуральные числа) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах ,  и  таких, чтобы  - было четным,  и  - нечетными целыми числами.

2. Но есть и «исключение» из данного утверждения: среди этих чисел ,  и  может быть либо , либо .

 

***********

Чтобы доказать «ОБЩЕЕ УТВЕРЖДЕНИЕ», необходимо рассмотреть 2 случая

для показателя q:

1)  при  - натуральном;

2)  при  - натуральном, а для этого достаточно рассмотреть случай .

Утверждение 1, частным случаем которого является Великая теорема Ферма, для простого показателя

Часть 1

Уравнение  (, - натуральные числа, где  при  - натуральном) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах ,  и  таких, чтобы  - было четным,  и  - нечетными целыми числами.

Часть 2

Возможны случаи: либо , либо .

 

**********

Последнее утверждение (либо , либо ) в дальнейшем будем называть «исключением» из общего правила.

*********

 

Часть первая (Утверждения 1)

 

Уравнение  (, - натуральные числа, где  при  - натуральном) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах ,  и  таких, чтобы  - было четным,  и  - нечетными целыми числами.

 

Доказательство

Понятно, что доказательство достаточно рассмотреть для  - простого.

Докажем данное «Утверждение 1» методом от противного. Предположим, что уравнение  разрешимо в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах ,  и . И если в конце доказательства мы придем к противоречию, доказав, что числа , и  не являются попарно взаимно простыми целыми числами, то это будет означать, что «Утверждение 1» справедливо.

Из уравнения (1) следует:

 (2),

где  - четное целое число, т.к. и - нечетные;

≠ 0, т.к.  и  - взаимно простые нечетные целые числа, не равные нулю;

- нечетное целое число при и - нечетных,  - простом.

********

 

Примечание

То, что  - нечетное число при и - нечетных, хорошо известный факт в теории чисел.

Для подтверждения данного факта достаточно использовать разложение бинома

Ньютона , , , … и тогда получим для :

 - сумму трех нечетных слагаемых, равную нечетному числу.

Для :

 - сумму пяти нечетных слагаемых, равную нечетному числу.

Для степени  - простой можно доказать, что при и  нечетных

(3)  - сумма нечетных слагаемых, равная нечетному числу (Алексеев С.Ф. Два обобщения классических формул // Квант. – 1988. - №10. – С. 23).

*******

Пусть  (4),

где  - нечетное число (на основании (3)).

Тогда уравнение (2) примет вид:

 (5),

где  - четное число, которое можно представить в виде

 (6),

где  - целое число (при = 0 а = 0, что противоречит нашему допущению),

 (4) – нечетное число.

Тогда из соотношения (5) с учетом (6) получаем:

, т.е.  (7), где  - целое число (),  - натуральное число.

 Сумму же нечетных чисел  и  обозначим через , т.е.

 (8),

где  - целое число (, т.к.  и  - взаимно простые нечетные целые числа, не равные нулю).

Из (7) и (8) определим и :

 =>  =>  

Откуда (11) - нечетное число при - нечетном и  - четном, т.к. , причем (12)  (явно) при .

********

 

Вывод:

На основании (8) и (11) имеем: (13)  - нечетное число;

из соотношений (7) и (12) имеем: (14)  (явно) при .

Это дополнительная информация о свойствах предполагаемых взаимно простых числах , которая в дальнейшем нам очень пригодится.

*******

Теперь попробуем выразить сумму квадратов чисел c и . Учитывая соотношения (9) и (10), получим:

Таким образом, получили следующее уравнение:

 (15),

где  - целые числа, которые, являясь решениями уравнения (15), в свою очередь, могут быть выражены через другие целые числа следующим образом:

 

(16)  - нечетное число при  - нечетном;

(17)  - нечетное число при  - нечетном;

(18)  - нечетное число при  - нечетном;

(19)  - четное число.

Примечание: во всех последующих исследованиях (Случаях) нас не будут интересовать

t =0 и r=0 (при t =0  и - четные из (16) и (17), при r=0 = 0 (из (19)) => а = 0 (из (6)), что противоречит нашему допущению).

 

*******

 

Примечание.

Общий вид уравнения (15) следующий:

(20) ,

целыми решениями которого (это известный факт в теории чисел) являются:

(21) ;

(22) ;

(23) ;

(24) , где  - целые числа.

То, что (21), …, (24) являются решениями уравнения (20), легко проверяется их подстановкой в данное уравнение (20), которое при этом превращается в тождество.

*******

Для простоты обозначим правые части уравнений (16), …, (19) буквами С, В, N, К, т.е.

 

= С

= В

 = N

 = К,

и рассмотрим случай, когда в правых частях уравнений (16), …, (19) перед С, В, N, К, стоят «плюсы» и выполняется Условие 1.

 

Условие1 (начало).

 

с = С

b = B

n = N

 

Случай «+».

(16+) = С - нечетное число при  - нечетном;

(17+) = В - нечетное число при  - нечетном;

(18+) = N - нечетное число при  - нечетном;

(19+)  = К - четное число.

Казалось бы, все в порядке: четность  в (16+), …, (19+) совпадает при -нечетном с нашими предыдущими рассуждениями.

Однако не все так просто.

Помимо всего прочего, у нас есть еще две дополнительные информации (13) и (14) (о четности, заключенной в «Выводе» (стр.5)), вытекающие из предположения о том, что, вопреки условию «Утверждения 1», допустим, существуют попарно взаимно простые целые числа .

Попробуем найти сумму , воспользовавшись их выражениями (16+) и (17+):

 

,

т.е.  пропорционально 4, откуда следует, учитывая (13) в «Выводе» (стр.5), !

Т.е., вопреки «Выводу», в Случае «+»  является не нечетным, а четным числом, что возможно (из (18+)) при -четном.

Однако, если  - четное, то  (в (16+) и (17+)) являются четными, т.е. в уравнениях (2) и (1) числа  - четные, а потому не являются попарно взаимно простыми целыми числами.

Мы пришли к противоречию в Случае «+» с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых  решений.

Вывод. Следовательно, это уравнение (1) в данном Условии 1 не имеет решений в целых попарно взаимно простых  отличных от нуля числах.

*******

Казалось бы, 1-я часть «Утверждения 1» доказана. На самом деле у уравнения (15)  есть еще решения. Нетрудно догадаться, что решениями уравнения (15) являются следующие выражения n, :

Случаи «+» и «-».

(16±) ;

(17±) ;

(18±) ;

(19±) .

Мы рассмотрели случай, когда перед скобками в (16±), …,(19±) стояли только «плюсы» (Случай «+»)

 

******

 

Случай «-».

(16-) ;

(17-) ;

(18-) ;

(19-) .

 

Случай, когда перед теми же скобками стоят только «минусы» (Случай «-»), аналогичен вышерассмотренному Случаю «+».

И в этом случае сумма  пропорциональна 4, откуда следует, (учитывая (13) в «Выводе» (стр.5)), !

Т.е., вопреки «Выводу», и в этом Случае «-»  является не нечетным, а четным числом, что возможно (из (18-)) при -четном.

Однако, если  - четное, то  (в (16-) и (17-)) являются четными, т.е. в уравнениях (2) и (1) числа  - четные, а потому не являются попарно взаимно простыми целыми числами.

Мы пришли к противоречию (в Случае «-») с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.

 

*******

 

Вывод. Следовательно, уравнение (1) в данном Условии 1(начало) не имеет решений в целых попарно взаимно простых  отличных от нуля числах.

 

*******

 

Примечание.

Осталось рассмотреть еще 14 случаев, когда перед С, В, N, К стоят всевозможные знаки (плюсы и минусы). Но об этом - во 2-ой части данного Утверждения 1.

********

Т.к. уравнение (15) симметрично для с и b (для уравнения (15) они равнозначны), то с и b могут обмениваться не только знаками «+» и «-», но и своими выражениями (C и В). Это свойство назовем «новым свойством ». Поэтому аналогичны вышерассмотренному и случаи («Новые» случаи «+» и «-»), когда опять же перед теми же скобками стоят одинаковые знаки.

Условие 2 (начало)

с = B

b = С

n = N

 

«Новые» случаи «+» и «-».

(16´±) c =± В

(17´±) b =±С

(18±) =± N

(19±) =±К

И в этом случае сумма  пропорциональна 4, откуда следует, (учитывая (13) в «Выводе» (стр.5)), !

Т.е., вопреки «Выводу», и в этих «Новых» случаях «+» и «-»  является не нечетным, а четным числом, что возможно(из (18±)) при -четном.

Однако, если  - четное, то  (в ((16´±) и ((17´±)) являются четными, т.е. в уравнениях (2) и (1) числа  - четные, а потому не являются попарно взаимно простыми целыми числами.

Мы пришли к противоречию (в «Новых» случаях «+» и «-») с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.

*******

 

Вывод. Следовательно, это уравнение (1) в данном Условии 2 (начало) не имеет решений в целых попарно взаимно простых  отличных от нуля числах.

*******

 

Примечание

Осталось рассмотреть еще 14 случаев (пояснение ниже), рассматривающих «новые свойства », когда перед С, В, N, К стоят всевозможные знаки (плюсы и минусы). Но об этом во 2-ой части данного Утверждения 1.

********

 

Уравнение (15) симметрично и для n и для  (для уравнения 15 они равнозначны), которые тоже могут меняться своими выражениями (N и К). Это свойство назовем «похожим свойством n и ». А это означает, что нам придется рассмотреть еще 16 «похожих» случаев (с 1-го по 14 и случаи «+» и «-», в которых n и  меняются своими выражениями (N и К )).

 

Условие 3

 

c = C

b = B

n = К

N

« Похожие» случаи «+» и «-».

(16±) с = ± С = ± ()

(17±) b = ± В =± ()

(18´±) n = ± К = ± ()

(19´±)  = ± N= ± ()

Согласно одному из Выводов (формула (14))  (явно) при . Но это возможно, глядя на (19´±)  = ±N= ±() только при t- четном, при которых в (16±) и (17±) c и b – четные, чего не должно быть.

Мы пришли к противоречию (в «Похожих» случаях «+» и «-») с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.

 

*******

 

В остальных 14 «похожих» случаях, где опять же  = ± N= ± ( ) и перед С, В, N, К стоят всевозможные знаки (плюсы и минусы), рассуждая аналогичным способом (и при этом не затрагивая «новые свойства » (пояснение следует)), мы придем к прежнему результату: c и b – четные, чего не должно быть.

Это значит, что мы опять придем к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.

********

Вывод. Следовательно, это уравнение (1) в данном Условии 3 не имеет решений в целых попарно взаимно простых  отличных от нуля числах.

 

********

 

Пояснение (почему не надо в Условии 3 затрагивать «новые свойства »).

Запишем Условия (1, …, 3).

 

Условие 1 Условие 2 Условие 3 Условие 2+3

с = С с = B c = C c = B

b = B b = С b = B => b = C

n = N n = N n = К n = К

   

 

Если теперь поменять обозначения между собой в Условии 2+3 с на b, а b на c

в верхних двух строчках и n на , а  на n в нижних двух строчках, то вернемся снова к обозначениям в Условии 1, которое во 2-й части «Утверждения 1» нами будет исследовано до конца:

 

Условие 2+3 Условие 1

c = B b = B с = С

b = C => с = С => b = B

n = К  n = N

 n = N

Вывод.