Навигация
4. Свойства и понятия.
Рассмотрим некоторые свойства, понятия и факты выполняющиеся в геометрии Лобачевского. В данном случае я рассматривал свойства основываясь на модели Клейна. Большинство из них будут выполнятся и на других моделях неевклидовой геометрии.
1) Если прямые CN и CL не встречают прямой АВ, то любая прямая СМ, проходящая через т. C внутри вертикальных углов NCL и N’CL’ также не встретит прямой АВ (рис.5). Отсюда первое следствие аксиомы Лобачевского: через т. С вне прямой АВ плоскости АВС, проходит бесчисленное множество прямых, не пересекающихся с прямой АВ.
2) Если соединить (рис.5) какую-либо точку прямой DB с т. С, получим прямую, допустим, СК, проходящую через т. С и встречающую АВ. Итак, все прямые, проходящие через т. С внутри прямого угла NCD, разбиваются на две категории, на два класса: встречающие прямую АВ (названные Лобачевским «сходящимися» с АВ) и не встречающие прямую АВ (их Лобачевский называет «расходящимися» с АВ). Любая прямая первой категории образует с перпендикуляром CD угол, меньший угла, образованного перпендикуляром CD с любой прямой второй категории. Вращаясь непрерывно около т. С в направлении против часовой стрелки, прямая СК на известном этапе, допустим в положении CL, перестанет пересекать АВ и из сходящейся перейдет в категорию расходящихся с АВ прямых. Эта предельная прямая CL, служащая переходной прямой, граничной, отделяющей сходящиеся от расходящихся прямых, и названной Лобачевским параллельной к прямой АВ из т. С. Итак, параллельная CL – это не просто расходящаяся прямая, а первая, граничная расходящаяся, т.е. такая, что любая прямая, проходящая через т. С внутри угла, образованного параллельной CL и перпендикуляром CD, является сходящейся прямой, а всякая прямая, проходящая внутри угла LCN будет расходящаяся с прямой АВ. Угол DCL, образованный параллельной CL с перпендикуляром CD, называют углом параллельности.
В силу симметрии относительно перпендикуляра CD внутри прямого угла N’CD получим картину, аналогично той, которую мы имеем в угле NCD, т.е. построив угол DCF равный углу DCL, получим прямую CF, также параллельную прямой АВ слева от перпендикуляра CD. Итак, через т. С, лежащую вне прямой АВ, проходят в плоскости АВС две прямые, параллельные прямой АВ, в одну и другую сторону этой прямой. Все прямые, проходящие внутри вертикальных углов, образованных параллельными прямыми LL’ и GG’ (в том числе и евклидова «параллельная» NN’), расходятся с АВ; все остальные прямые, проходящие через т. С сходятся с прямой АВ.
Следовательно: а) 2 прямые как АВ и NN’, имеющие общий перпендикуляр CD, расходятся; б) если вращать прямую NN’ около т. С, допустим, по часовой стрелке, а прямую АВ около т.D в том же направлении так, чтобы углы, образованные этими прямыми с пересекающей их прямой CD, оставались равными, то прямые АВ и NN’ остаются расходящимися, т.е. две прямые, образующие при пересечении с третьей прямой равные соответственные углы, расходятся.
3) Из предыдущего положения вытекает, что на параллели Лобачевского различается направление параллельности. Прямая CE параллельна прямой АВ в направлении или в сторону от A к B, прямая CF параллельна той же прямой AB в направлении или в сторону ВА (от В к А) (рис.5).
Несмотря на коренные отличия, понятия параллельности у Лобачевского от одновременного понятия в геометрии Евклида, можно доказать, что «параллельность» в смысле Лобачевского тоже обладает свойствами взаимности или симметрии (если прямая а параллельна прямой в, то в параллельна а). И транзитивности (если а и в параллельны с, то а и в параллельны между собой).
Приведем некоторые другие понятия и факты геометрии Лобачевского:
1) Функция Лобачевского.
Как уже говорилось выше, через т. С в плоскости САВ проходят 2 направленные параллели к прямой АВ (СЕ и CF), симметрично расположенные относительно перпендикуляра CD (рис.6). Угол параллельности, образованный каждой из этих параллелей с CD, является острым, его величина не постоянна и зависит от расстояния CD(в геометрии Евклида угол параллельности всегда прямой). То, что угол параллельности острый, вытекает непосредственно из аксиомы Лобачевского. В изменении этого угла с изменением расстояния CD можно убедиться путем следующих рассуждений (рис.7).
Пусть C’D>CD, CE || AB, в т. С угол параллельности – W. Пусть далее прямая C’E ‘|| AB в т. С’ угол параллельности - W’. В силу свойства транзитивности CE||C’E’. Ясно, что W¹W’. Действительно, если допустить, что W= W’, то следует также допустить, что C’E’ и CE – расходящиеся прямые, как было показано выше, а это неверно. Построим C’K, образующую с CD угол a= w, ясно, что w’< a , т.к. параллельC’E’ ближе к перпендикуляру, чем расходящаяся C’K. Итак, w' < w ; отсюда следует, что угол параллельности убывает по мере удаления от прямой АВ; чем ближе т. С к прямой АВ, т.е. чем короче перпендикуляр CD, тем больше угол параллельности. Если обозначить расстояние т. С от прямой АВ, т.е. длину перпендикуляра CD через х, то можно сказать, что угол параллельности есть функция от х, названная «функцией Лобачевского» и обозначаемая П (х). Это монотонно убывающая функция. При изменении аргумента х от 0 до ¥ функция П (х) непрерывно изменяется соответственно от p /2 до 0. Таким образом,
, 
При х ® 0 , иными словами, если оставаться в пределах сравнительно небольших расстояний, то угол параллельности мало отличается от p /2 то есть от этого значения, которое он имеет в евклидовой геометрии, это означает, что геометрия Лобачевского не противоречит, не исключает геометрии Евклида; последнего можно рассматривать как частный случай большой общей геометрии – геометрии Лобачевского. Реальный смысл предельного перехода (при х ® 0) от геометрии Лобачевского к геометрии Евклида состоит в том, что физика изучает, в конечном счете, только ограниченную, сравнительно небольшую часть пространства. Вот почему в окружающей нас среде (даже в пределах нашей планеты) свойства физического пространства приблизительно таковы, какими мы их знаем из Евклидовой геометрии, но для всего пространства, для мира звезд, для вселенной в целом, они иные, неевклидовы.
2) Сумма углов треугольника меньше 2π.
Это предположение эквивалентно аксиоме Лобачевского, то есть из него вытекает эта аксиома и наоборот. Для примера докажем первое. Пусть (рис.8) в прямоугольном треугольнике CDK сумма углов S= a+b+g<2π, то есть b+g<π.Это значит, что внутри угла NCK можно построить ÐLCK = а (NC^CD).
Прямая CL не может пересечь прямой АВ в какой- либо точке М, так как если бы это случилось, то угол DKC , внешний по отношению к треугольнику KCM , равнялся бы внутреннему, не смежному с ним углу треугольника KCM, что противоречит абсолютной геометрии о внешнем угле треугольника. Итак, через т. С, кроме CN , проходит еще одна прямая – CL, не встречающая прямой АВ; следовательно, верна аксиома Лобачевского. Разность (2π–S), то есть между 180º и суммой углов данного треугольника, называется угловым дефектом этого треугольника.
3) Предложение «сумма углов четырехугольника меньше 4π» вытекает из предыдущего. Отсюда следует, что в геометрии Лобачевского нет ни прямоугольников, ни квадратов. Вообще сумма углов n – угольника меньше 2π(n-2).
4) Внешний угол треугольника больше суммы внутренних, с ним не смежных углов. Действительно, пусть d - внешний угол треугольника, смежный с внутренним углом треугольника a , и пусть b и g - остальные его внутренние углы, тогда: a + d = 2π.
Следует, что d > b + g .
5) Если три угла одного треугольника соответственно равны трем углам другого треугольника, то эти треугольники равны между собой. Это четвертый признак равенства треугольников в геометрии Лобачевского.
Таким образом, в плоскости Лобачевского треугольник вполне определяется своими углами. Стороны и углы зависят друг от друга. Отсюда ясно, что в геометрии Лобачевского нет подобных фигур. Действительно, ведь из существования подобных фигур вытекает евклидова аксиома параллельности.
6) Площади. Уже известно, что, чем меньше размеры фигур, которые мы изучаем, тем ближе к геометрии Евклида, в которой угловой дефект треугольника равен 0. Доказывается следующая теорема: площадь треугольника прямопропорциональна его угловому дефекту. Чем меньше размеры фигуры, тем меньше ее дефект, тем меньше площадь. Однако угловой дефект по определениям не может превзойти 2π, следовательно, и площадь треугольника в геометрии Лобачевского не может стать больше некоторой, определенной, конечной величины.
Похожие работы
... представить другие геометрии Кант счел достаточным основанием, чтобы утверждать, что другие геометрии не могут существовать. Появление неевклидовой геометрии Но многовековые попытки доказательства пятого постулата Евклида привели в конце концов к появлению новой геометрии, отличающейся от евклидовой тем, что в ней V постулат не выполняется. Эта геометрия теперь называется неевклидовой, а в ...
... , т. е. такие пары точек считаются за одну точку. Из этого определения следует, что при возрастании n число типов неевклидовых пространств также растет. Неевклидовы геометрии являются геометриями простейших римановых пространств определенной и неопределенной метрики, составляющих так называемый класс пространств постоянной ненулевой кривизны. Каждое из таких n-мерных пространств допускает ...
... целых три доказательства V постулата, ошибочность которых быстро показали его современники. Последнее «доказательство» он опубликовал в 1823 году, за три года до первого доклада Лобачевского о новой геометрии. Открытие неевклидовой геометрии В первой половине XIX века по пути, проложенному Саккери, пошли сразу три математика: К.Ф. Гаусс, Н.И. Лобачевский и Я. Бойяи. Но цель у них была уже иная ...
... живой. Пусть новых линий не начертят руки, Он здесь стоит, взнесенный высоко, Как утверждение бессмертья своего, Как вечный символ торжества науки. Другие авторы. Идея неевклидовой геометрии пришла в голову не только Лобачевскому – просто ему относительно повезло. Одним из «конкурентов» был Гаусс – великий затворник, отказавшийся от услуг почты, чтобы никто не смог обвинить его в плагиате. ...
0 комментариев