R(P) = N(I-P) = {xÎX, Px = x}, где I – тождественное отображение;

1.  R(P) = N(I-P) = {xÎX, Px = x}, где I – тождественное отображение;

2.  R(P)ÇN(P) = {0} и X = R(P)+N(P);

Доказательство 1.

а) Так как (I-P)P = IP- = P-P = 0, то R(P) содержится в N(I-P);

б) Если x принадлежит N(I-P), то x-Px = 0, следовательно, x = Px принадлежит R(P), значит N(I-P) содержится в R(P);

Таким образом, из а) и б) следует, что R(P) = N(I-P).

Доказательство 2.

Если x принадлежит пересечению R(P) и N(P), то x=Px=0, а следовательно, R(P) и N(P) пересекаются по {0};

Для любого x из X можно представить в виде x=Px+(x-Px), где Px принадлежит R(P) и x-Px принадлежит N(P), значит X=R(P)+N(P);

 Определение. М – замкнутое подпространство топологического векторного пространства X. Если в X существует такое замкнутое подпространство N, что X=M+N и MÇN={0}, то говорят, что М дополняемо в X и что X является прямой суммой подпространств X=MÅN.

 Определение. Топологическое векторное пространство X называется F-пространством, если топология порождается некоторой полной инвариантной метрикой.

Теорема o замкнутом графике.

Предположим, что X и Y являются F-пространствами, отображение Т:X→Y линейно и множество G={(x, Tx): xÎX} (его график) замкнуто в X´Y. Тогда Т – непрерывно.

Предложение 2. Пусть Ù - линейный функционал на топологическом векторном пространстве X. Допустим, что Ùx ¹0 для некоторого x из X.

Тогда если Ù непрерывен, то ядро N(Ù) замкнуто в X.

Доказательство.

Так как N(Ù) = Ù({0}), а {0} – замкнутое множество поля скаляров (как любое одноточечное подмножество), то тогда непрерывность Ù влечет замкнутость ядра (как прообраз замкнутого множества при непрерывном отображении).

 Теорема 1.

а) Если Р – непрерывный проектор в топологическом векторном пространстве X, то X представляется в виде прямой суммы подпространств X=R(P)ÅN(P);

б) Обратно: если Х является F-пространством и X представляется в виде прямой суммы подпространств Х=АÅВ, то проектор Р с образом А и ядром В непрерывен.

Доказательство:

а) Так как Р и I-P непрерывны, то подпространства N(P) и R(P)=N(I-P) замкнуты (см. предложение 2), значит по второму свойству проекторов X=R(P)ÅN(P);

Чтобы доказать б) достаточно проверить, что проектор Р удовлетворяет условиям теоремы о замкнутом графике .

Пусть последовательности x→x и Px→y.

Так как Px принадлежит А, А – замкнуто, следовательно y принадлежит A, а значит y = Py.

Аналогично x- Px принадлежит В, В – замкнуто, следовательно x-y принадлежит B, значит Py = Px поэтому y = Px. Получили, что точка (x, y) принадлежит G (см. теорему о замкнутом графике). Отсюда вытекает, что проектор Р непрерывен.

Определение. Топологической группой называется группа G, снабженная такой топологией, относительно которой групповые операции в G непрерывны.

Расшифровка этого определения состоит в том, что постулируется непрерывное отображение j:G´G®G, определенного равенством: j(x,y)=xy.

Определение. Топологическая группа G, топология которой компактна, называется компактной группой.

Определение. Топологическое векторное пространство X называется локально выпуклым, если в нем всякое непустое открытое множество содержит непустое выпуклое открытое подмножество.

Определение. Пространство X называется пространством Фреше , если оно является локально выпуклым F-пространством.

Определение. Предположим, что топологическое векторное пространство X и топологическая группа G связаны следующим образом: кждому элементу s из G сопоставлен непрерывный линейный оператор T:X®X, причем

T = TT, где s, t принадлежат G

и отображение (s, x) ® Tx прямого произведения G´X в пространстве X непрерывно. В этом случае говорят, что группа G непрерывно и линейно действует в пространстве X.

Теорема 2.

Пусть Y – дополняемое подпространство Фреше Х, и пусть компактная группа G непрерывна и линейно действует на Х, причем Т(Y)ÌY для любого sÎG. Тогда существует непрерывный проектор Q пространства Х на подпространство Y, коммутирующий со всеми операторами Т.  

Лемма Фату. Пусть на множестве E задана последовательность измеримых, почти всюду конечных функций f (x), которая сходится по мере к некоторой почти всюду конечной функции f . Тогда

dm £ dm

Пример недополняемого подпространства.

Рассмотрим подпространство Y=H пространства Х=L, где L- пространство всех суммируемых функций на комплексной плоскости, а H состоит из всех функций L, для которых (n)=0, при всех n<0. (n) обозначает n-ый коэффициент Фурье функции f и вычисляется:

(n)=edx, (n=0,1, 2, …). (1)

(для простоты обозначается: f(x)=f(e  )).

В качестве группы G возьмем мультипликативную группу всех комплексных чисел, по модулю равных 1, и сопоставим каждому элементу

e ÎG оператор сдвига t, полагая, что

(tf)(x) = f(x+s), где s – некоторое вещественное число. (2)

Теперь посмотрим, как изменяются коэффициенты Фурье при таком сдвиге: ()(n) =e dx.

Произведем замену: x+s = t Þ x = t-s. Тогда

()(n)=ed(t-s) =

= eedt=eedt=e (n),

то есть (tf)(n)= e (n). (3).

Так как e ÎG, то t(H) = H для любого вещественного s.

Если бы подпространство H было дополняемо в L, то из Т2. следовало бы существование такого непрерывного проектора Q пространства L на H, что tQ = Qt для любого вещественного s.  (4).

Найдем вид проектора. Положим e(x)=e . Тогда te=ee, а так как оператор Q линеен, то

Qte = eQe. (5).

Из (4) и (5) следует, что

(Qe)(x-s) = e (Qe)(x). (6).

Пусть С = (Qe)(0). При Q = 0 соотношение (6) имеет вид

Qe = Ce. (7).

Воспользуемся тем, что образом оператора Q служит подпространство Н. Так как Qe  принадлежит H для любого n, то из (7) следует, что

С = 0 для любого n<0. Так как Qf = f для любого f из H, то С = 1 при любом n³0.

Таким образом, проектор Q должен являться «естественным», то есть его действие сводится к замене нулями всех коэффициентов Фурье с отрицательными номерами:

Q(e)=e.  (8).

Рассмотрим функцию f (x) = e, (0<r<1), (9).

которая представляет собой ядро Пуассона: , в частности f>0. Поэтому

 = dx = dx = 1 для любого r. (10) Но (Qf)(x) = e =  (11).

Так как dx = ¥, то из леммы Фату следует, что  ® ¥, при

r ® 1. В силу (10) это противоречит непрерывности оператора Q.

Таким образом, доказано, что H недополняемо в L.

Часть II. Дополняемость в гильбертовых пространствах.

Гильбертово пространство.

Комплексное векторное пространство Н называется пространством с внутренним произведением (унитарное пространство), если каждой упорядоченной паре векторов x,y из Н сопоставлено комплексное число (x,y), называемое скалярным и:

а) (y,x)=, "x, yÎH;

b) (x+y,z)=(x+z)+(y+z), "x, y, zÎH;

c) (ax,y)=a(x,y),  "x, yÎH, "aÎC;

d) (x,x)³0, "xÎH;

e) (x,x)=0 Û x=0, "xÎH;

Если (x,y) = 0, то говорят, что x ортогонален y (обозначение x^y).

Если Е подмножество Н, F подмножество H, то Е^F обозначает, что (x,y) = 0 для любых x из E и любых y из F.

Через Е обозначаются все y из H, ортогональные каждому из векторов x из E.

Нормой в пространстве Н называется число .

Если полученное нормированное пространство является полным, то оно называется гильбертовым пространством.

Примеры гильбертовых пространств.

1) l - комплексное гильбертово пространство, в котором скалярное произведение определяется формулой (x, y) = ;

2) L(0,1) - гильбертово пространство, в котором скалярное произведение определено формулой

(f, g) = dx.

 

Теорема3:

М – замкнутое подпространство гильбертова пространства Н, следовательно H можно представить в виде прямой суммы M и М (Н=МÅМ, М - ортогональное дополнение к М).

Доказательство:

Если Е подмножество Н, то из линейности скалярного произведения (x,y) по x следует, что Е является подпространством в Н. Допустим, что элементы g принадлежат Е и сходятся к g. Тогда для любого f из E

(g, f) =  = 0, и потому g тоже входит в Е, значит Е - замкнутое подпространство.

(1) Если х принадлежит М и х принадлежит М, то (х, х) = 0, а это будет тогда и только тогда, когда х = 0, следовательно МÇМ={0}.

(2) Пусть х принадлежит Н.

Рассмотрим множество х-М = {х-х: хÎМ}, причем х такой, что он минимизирует величину . Пусть х = х-х, следовательно, £ для любых y из М, значит, х принадлежит М, поэтому для любого х из Н х можно представить в виде х = х+х, где х из М и х из М.

Из (1) и (2) следует, что  Н представимо в виде прямой суммы М и М Н=МÅМ, следовательно любое подмножество в гильбертовом пространстве дополняемо.

Примеры дополняемых подпространств в гильбертовом пространстве.

1) в l рассмотрим элементы x = (x, …,x, …), у которых x= 0 при четных n и x произвольные при n нечетных. Эти элементы образуют в l замкнутое подпространство. Назовем его X.

Рассмотрим также элементы y = (y, …, y, …), у которых y произвольные при четных n, и y= 0 при нечетных n. Эти элементы образуют замкнутое подпространство в l, и при этом это подпространство является ортогональным дополнением к X, так как их скалярное произведение равно 0. Следовательно, по Т3. X дополняемо в H с помощью X.

2) L(0,1).

 Пусть X – подпространство L(0,1), состоящее из тех функций L(0,1), которые обращаются в 0 на интервале (0, а].

Пусть Y – подпространство L(0,1), состоящее из тех функций L(0,1), которые в ноль не обращаются на интервале [a, 1).

Тогда Y является ортогональным дополнением X, так как их скалярное произведение равно 0, а значит X дополняемо в L(0,1) с помощью Y.

Часть III. Задача о дополняемости.

Пусть С[0, 2p] - множество непрерывных 2p периодических функций на отрезке [0, 2p].

Пусть Е – множество четных чисел и пусть

С = {f(x)Î С: (n) = 0 "nÏE}.

Требуется доказать, что С дополняемо в С[0, 2p].

Доказательство:

Чтобы доказать требуемое, необходимо найти такой непрерывный проектор, который бы отображал множество С[0, 2p] на С(Т1.), таким образом, чтобы коэффициенты Фурье функций, стоящие на нечетных номерах, отображались бы в 0, а на четных оставались бы без изменения.

Рассмотрим оператор P = (t+I), где t - оператор сдвига на p, а I - тождественное отображение.

t ограничен, так как мы имеем дело с 2p периодическими функциями, так как

 =  = 1, то есть С = 1.

А раз он ограничен, то следовательно и непрерывен (предложение 1).

I - тоже непрерывен.

Теперь посмотрим, как изменятся коэффициенты Фурье функций при таком отображении.

1)  n = 2k-1, где к – целое.

(()(2k-1)+()(2k-1)) =

= (e (2k-1)+ (2k-1)) = (2k-1)( e +1). (*)

Так как e =cos j+isin j, значит e  = cos ((2k-1)p)+isin((2k-1)p).

При любом k – целом выражение cos ((2k-1)p)+isin((2k-1)p) = -1, а, следовательно, и выражение (*) принимает значение 0. Мы показали, что коэффициенты Фурье функций, стоящие на нечетных номерах при таком отображении обращаются в 0.

2)  n=2k, где k – целое.

(()(2k)+( )(2k)) = (e (2k)+ (2k)) =

= (2k)( e +1). (**)

При любом k – целом выражение cos (2kp)+isin(2kp) = 1, а следовательно и выражение (**) не изменяет своего значения, то есть равно (2k). Мы показали, что коэффициенты Фурье функций, стоящие на четных номерах при таком отображении не изменяются, то есть оператор Р действительно является проектором.  

Таким образом, нашелся такой непрерывный проектор P: С[0, 2p]® С, следовательно С дополняемо в С[0, 2p].

Литература.

1.  Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М., Наука. 1989.

2.  Рудин Уолтер. Функциональный анализ. М., Наука. 1975.

3.  Вулих Б.З. Краткий курс в теорию функций вещественной переменной. М., Наука. 1973.