Построение математической модели оптимального управления, обеспечивающего мягкую посадку при минимальном расходе топлива

Исходные данные к курсовому проекту

Рассматривается последний этап посадки космического аппарата (КА) на планету. При построении математической модели предположим:

1)  посадка осуществляется по нормали к поверхности планеты, планета неподвижна и в районе посадки плоская;

2)  на КА действуют сила тяжести G=mg, причем g=const и сила тяги , где с=const, а β – секундный расход массы m, ;

3)  аэродинамические силы отсутствуют.

Уравнения движения КА могут быть представлены в виде:

; ; , где h – текущая высота;

или в нормальной форме:

; ; ; .

Здесь введены обозначения:

; ; ; ; .

Граничные условия имеют вид:

; ; ; ; ,

причем Т заранее неизвестно. Требуется найти программу управления u*(t), обеспечивающую мягкую посадку при минимальном расходе топлива, то есть .

Исходные данные для расчетов

Начальная масса КА , кг.	Начальная высота , км.	Начальная скорость , км/с	Отношение силы тяги к начальной массе , м/с2
500	190	2,65	42,5
	=190000 м.	=2650 м/с

Ускорение силы тяжести для планеты g=1,62 м/с², величина с=3000 м/с.

Задание к курсовому проекту

1.)  Составить гамильтониан Н, воспользовавшись необходимыми условиями оптимальности для задачи Майера.

2.)  Из условия максимизации Н по u найти оптимальное управление.

3.)  Получить каноническую систему уравнений и в результате прийти к краевой задаче, для которой в момент t=0 заданы компоненты x₀, x₁, x₂, а в момент t=T‑компоненты x₁, x₂, ψ₀.

4.)  Из условия Н(Т)=0 получить соотношение для определения неизвестного времени Т.

5.)  Произвести анализ необходимых условий оптимальности, начав с исследования возможности существования особого вырожденного управления, то есть случая, когда функция переключения

.

Доказать, что К_u не может обратиться в нуль на конечном интервале времени и, следовательно, особого управления в данной задаче не существует.

Показать, что К_u есть монотонная функция t.

Рассмотреть четыре возможных случая:

а) K_u>0 для всех ;

б) K_u<0 для всех ;

в) K_u>0 для , K_u<0 для ;

г) K_u<0 для , K_u>0 для .

Показать, в каких случаях (из физических соображений) мягкая посадка невозможна, в каком из реализуемых случаев расход топлива меньше.

Получить программу оптимального управления, когда до некоторого момента t₁ управление отсутствует u*=0, а начиная с t=t₁, управление равно своему максимальному значению u*=u_max, что соответствует минимальному расходу топлива.

6.)  Решить каноническую систему уравнений, рассматривая ее для случаев, когда  и управление u*=0, и когда , u*=u_max.

Приравнивая х₁(Т) и х₂(Т) нулю, получить два уравнения относительно t₁ и Т. Таким образом, краевую задачу свести к системе, состоящей из двух нелинейных уравнений относительно двух неизвестных t₁, Т. Составить программу расчета. Получив решение этой системы, решить полностью исходную задачу программирования оптимального управления мягкой посадкой КА на планету. В заключение следует построить фазовую траекторию спуска КА и определить конечную массу m(Т).

Выполнение задания курсового проекта

Нам известно, что

, где с – сила тяги двигателя,

m – масса космического аппарата;

 – ускорение аппарата.

То есть, масса · ускорение = сумме сил, действующих на аппарат.

β – секундный расход массы m: .

Расход массы обеспечивает силу тяги двигателя (P=c·β), ее можно менять в пределах .

можно найти из исходных данных – выразив из отношения силы тяги к начальной массе P_max/m(0):

;

;

 кг/с.

Наш критерий оптимизации . Введем принятые в исходных данных обозначения:

; .

Начальный момент времени t=0, конечный момент времени – момент посадки КА (момент столкновения с планетой) t=T.

;

Тогда критерий оптимизации:

;

. (Здесь .)

Теперь необходимо написать уравнение состояния системы. Для этого нужно ввести переменные состояния и входную переменную.

Порядок дифференциального уравнения n=3, отсюда 3 уравнения состояния:

;

;

.

Выберем управление:

;

Подставляем уравнения состояния, получим:

так как и , отсюда

;

;

.

Критерий оптимизации:

.

Введем переменные х₀ и х_n+1 (то есть х₄).

, где t – текущее время.

.

Тогда основные уравнения состояния:

Составим гамильтониан Н:

;

.

Оптимальному управлению соответствует максимум функции Гамильтона в заданной области возможных управлений. Причем этот максимум равен нулю.

То есть нужно добиться максимума этой функции, меняя u₁. Это и будет оптимальное управление.

Для функций ψ_i тоже получим сопряженные уравнения, которые имеют вид :

– так как функция не зависит от х₀,

следовательно производная равна нулю;

– аналогично, так как функция не зависит от х₁.

Итак, нужно найти максимум гамильтониана:

Функция переключения:

Используя для вычислений Mathcad, получим оптимальное управление:

Таким образом оказалось, что оптимальное управление должно осуществляться на предельных ресурсах. То есть либо двигатель должен быть совсем выключен (при K_u<0), либо включен на максимальную мощность (при K_u>0).

Посмотрим, как меняется функция переключения К_u во времени:

;

Для определения ψ₁ и ψ₂ решаем сопряженные уравнения:

, следовательно, ψ₁ = const, обозначим ψ₁=с₁.

, следовательно, , где c₂ = const.

Итак,

Масса КА всегда положительна, а с=3000 = const – величина постоянная, поэтому производная  имеет всегда постоянный (один и тот же) знак. То есть величина K_u либо всё время монотонно возрастает, либо всё время монотонно убывает. А это означает, что она может пройти через ноль только один раз.

Рассмотрим четыре возможных случая:

а) K_u>0 для всех ;

б) K_u<0 для всех ;

в) K_u>0 для , K_u<0 для ;

г) K_u<0 для , K_u>0 для .

В случаях б) (когда двигатель КА выключен на всем протяжении посадки) и в) (когда двигатель включен на максимальную мощность до какого-то момента времени t=t*, а затем полет происходит с выключенным двигателем до самой посадки) – говорить о мягкой посадке не приходится. Эти варианты означают падение КА на планету. Поэтому оптимальными (и вообще допустимыми) их считать нельзя.

Следовательно, остаются два реализуемых варианта – а) и г). И оптимальное управление предполагает либо всё время включенный на максимальную мощность двигатель, либо полет с выключенным двигателем до какого-то момента t=t*, а затем полет с двигателем, включенным на максимальную мощность до момента посадки. Естественно, что во втором случае (г) расход топлива меньше, так как часть пути проделывается с выключенным двигателем.

Поэтому оптимальным управлением в данной ситуации можно считать полет с выключенным двигателем, затем происходит включение двигателя и полет продолжается с двигателем, включенным на максимальную мощность.

Итак, оптимальному управлению соответствует

На первом участке полета, на котором u₁=0:

; ; ;

;

;

.

Рассмотрим второй участок полета u₁=7,083:

Зададимся условием, что при t=t* (в момент включения двигателя):

;

;

.

На отрезке полета со включенным двигателем:

;

так как , запишем:

.

Теперь, зная х₃, можно выразить х₂:

.

Теперь, зная х₂ выразим х₁:

;

На отрезке пути h(t):

В момент посадки t=T высота и скорость должны быть равны нулю, то есть  и . На основании этого утверждения приравняем х₁(T) и х₂(Т) нулю и получим таким образом два уравнения относительно t* и T. Таким образом, краевая задача у нас свелась к системе, состоящей из двух нелинейных уравнений относительно двух неизвестных t* и Т:

Из второго уравнения системы выразим момент времени, на котором включается двигатель:

;

Подставим это выражение в первое уравнение системы, получим уравнение для нахождения времени полета T (оно же время посадки):

Для расчета времени полета Т воспользуемся программой Mathcad. На следующем листе приведены эти вычисления[1]:

Теперь, зная Т и t*, можно определить конечную массу космического аппарата m(T):

кг.

Можно рассчитать высоту h (t*), на которой КА должен включить двигатели:

 м.

Таким образом, включение двигателей происходит на 3317-ой секунде полета на высоте около 67 км. от поверхности планеты. Тот же результат мы наблюдаем и на графике.

[1] Все дальнейшие вычисления также производились в программе Mathcad