Проверим выполнение предпосылок МНК

3.  Проверим выполнение предпосылок МНК.

·  Случайный характер остатков.

Случайный характер остатков ε_i проверяется по графику. Как видно из графика 1 в расположении точек ε_iнетнаправленности (на графике получена горизонтальная полоса). Следовательно,ε_i– случайные величины и применение МНК оправдано.

·  Средняя величина остатков или математическое ожидание равно нулю.

Так как расположение остатков на графике не имеет направленности (расположены на графике в виде горизонтальной полосы), то они независимы от значений фактора x_i. Следовательно, модель адекватна.

·  Проверка гомоскедастичности остатков.

Выборка у нас малого объема, поэтому для оценки гомоскедастичность остатков используем метод Голдфельда - Квандта.

1)  Упорядочим n = 10 наблюдений в порядке возрастания х.

2)  Разделим на две группы - с большим и меньшим x, и для каждой группы определим уравнения регрессии.

 

Таблица 3

	х	y	x·y	x2	ŷ	εi=yi-ŷi	ε2
1	3	13	39	9	13,181	-0,181	0,033
2	7	19	133	49	17,197	1,803	3,251
3	7	15	105	49	17,197	-2,197	4,827
4	10	22	220	100	20,209	1,791	3,208
5	12	21	252	144	22,217	-1,217	1,481
Сумма	39	90	749	351			12,799
Ср.знач	7,8	18	149,8	70,2
	х	y	x·y	x2	ŷ	εi=yi-ŷi	ε2
1	14	20	280	196	21,672	-1,672	2,796
2	17	26	442	289	24,252	1,748	3,056
3	20	30	600	400	26,832	3,168	10,036
4	21	26	546	441	27,692	-1,692	2,863
5	22	27	594	484	28,552	-1,552	2,409
Сумма	94	129	2462	1810			21,159
Ср.знач	18,8	25,8	492,4	362

3) Рассчитаем остаточные суммы квадратов для каждой регрессии.

,

.

4) Вычислим F- распределения.

F_набл=S_2ŷ/S_1ŷ =1,653.

5) Произведем сравнение F_набл и F_табл.

1,653<5,32 (при k₁=1 и k₂=n–2=10–2=8), следовательно, гетероскедастичность места не имеет, т.е. дисперсия остатков гомоскедастична.

·  Отсутствие автокорреляции.

Отсутствие автокорреляции проверяется по d-критерию Дарбина - Уотсона:

 

Таблица 4

	εi	εi-1	εi- εi-1	(εi- εi-1)2
1	1,284
2	-1,521	1,284	-2,805	7,868
3	2,611	-1,521	4,132	17,073
4	1,894	2,611	-0,717	0,5141
5	0,089	1,894	-1,805	3,258
6	-1,760	0,089	-1,849	3,4188
7	-2,433	-1,760	-0,673	0,4529
8	-2,106	-2,433	0,327	0,1069
9	3,001	-2,106	5,107	26,081
10	-1,062	3,001	-4,063	16,508
Сумма				75,282

 ; d=75,282/37,961=1,983.

Так как d-критерий меньше двух, то мы наблюдаем присутствие положительной автокорреляции.

·  Остатки подчиняются нормальному закону распределения.

4.  Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента  

; ,

; ,

где

Тогда , ;  и

t_табл=2,3060 (при 10-2=8 степенях свободы); t_а и t_b> t_табл, что говорит о значимости параметров модели.

5.  Коэффициент детерминации находится по формуле:

.

Данные возьмем из таблицы 5:

Таблица 5

№	x	y
1	17	26	3,7	4,1	13,69	16,81	1,284	4,938
2	22	27	8,7	5,1	75,69	26,01	-1,521	5,633
3	10	22	-3,3	0,1	10,89	0,01	2,611	11,868
4	7	19	-6,3	-2,9	39,69	8,41	1,894	9,968
5	12	21	-1,3	-0,9	1,69	0,81	0,089	0,424
6	21	26	7,7	4,1	59,29	16,81	-1,760	6,769
7	14	20	0,7	-1,9	0,49	3,61	-2,433	12,165
8	7	15	-6,3	-6,9	39,69	47,61	-2,106	14,040
9	20	30	6,7	8,1	44,89	65,61	3,001	10,003
10	3	13	-10,3	-8,9	106,09	79,21	-1,062	8,169
Сумма	133	219			392,1	264,9		83,979
Ср. знач.	13,3	21,9

Для проверки значимости модели используем F-критерий Фишера:

.

F_табл=5,32 (k₁=1, k₂=8 степенями свободы);

F>F_табл, что говорит о значимости уравнения регрессии.

Среднюю относительную ошибку аппроксимации находим по формуле:

;

В среднем расчетные значения отклоняются от фактических на 8,4%.

Поскольку найденная средняя относительная ошибка аппроксимации находится в интервале от 5 до 10, то можно утверждать, что модель имеет хорошее качество.

6.  Ширина доверительного интервала находится по формулам:

 

где t_α=1,86 приm=n-2=8 и α=0,1

Т.о.

Верхн. граница: 25,173+4,34=29,513

Нижн. граница: 25,173-4,34=20,833

 

Таблица 6

Нижняя граница	Прогноз	Верхняя граница
20,83	25,17	29,51