Фактические и модельные значения Y, точки прогноза представлены на графике 2

7.  Фактические и модельные значения Y, точки прогноза представлены на графике 2.

 

График 2

 

8.  Составить уравнения нелинейной регрессии:

·  Гиперболической

Уравнение показательной кривой имеет вид: ŷ = a + b/x.

Произведем линеаризацию модели путем замены Х = 1/х.

Тогда уравнение примет вид: ŷ = a + bХ- линейное уравнение регрессии.

Данные, необходимые для нахождения параметров приведены в таблице 6

 

Таблица 7

№	y	x	X	X2	Xy	ŷ	εi	εi2
1	26	17	0,0588	0,0035	1,5294	24,41	1,59	2,52	6,11
2	27	22	0,0455	0,0021	1,2273	25,10	1,90	3,61	7,04
3	22	10	0,1000	0,0100	2,2000	22,29	-0,29	0,09	1,33
4	19	7	0,1429	0,0204	2,7143	20,09	-1,09	1,18	5,72
5	21	12	0,0833	0,0069	1,7500	23,15	-2,15	4,63	10,24
6	26	21	0,0476	0,0023	1,2381	24,99	1,01	1,02	3,89
7	20	14	0,0714	0,0051	1,4286	23,76	-3,76	14,16	18,82
8	15	7	0,1429	0,0204	2,1429	20,09	-5,09	25,88	33,91
9	30	20	0,0500	0,0025	1,5000	24,87	5,13	26,35	17,11
10	13	3	0,3333	0,1111	4,3333	10,28	2,72	7,38	20,90
Сумма	219	133	1,0757	0,1843	20,0638			86,82	125,07
Ср.знач.	21,9	13,3	0,1076	0,0184	2,0064

Значение параметров а и b линейной модели определим по формулам:

Уравнение регрессии будет иметь вид ŷ = 27,44 – 51,47 X.

Перейдем к исходным переменным, получим уравнение гиперболической модели:

.

График 3

 

Степенная

Уравнение степенной модели имеет вид: ŷ = a · x^b

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения:

lg ŷ = lg a + b lg x

Обозначим Y = lg ŷ; A = lg a; X = lg x

Тогда уравнение примет вид: Y = A + bX - линейное уравнение регрессии.

Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы 8:

 

Таблица 8

№	y	x	Y	X	YX	X2	ŷ	εi	εi2
	26	17	1,4150	1,2304	1,7411	1,5140	24,545	1,45	2,12	5,60
	27	22	1,4314	1,3424	1,9215	1,8021	27,142	-0,14	0,02	0,52
	22	10	1,3424	1,0000	1,3424	1,0000	19,957	2,04	4,17	9,29
	19	7	1,2788	0,8451	1,0807	0,7142	17,365	1,63	2,67	8,60
	21	12	1,3222	1,0792	1,4269	1,1646	21,427	-0,43	0,18	2,04
	26	21	1,4150	1,3222	1,8709	1,7483	26,654	-0,65	0,43	2,51
	20	14	1,3010	1,1461	1,4911	1,3136	22,755	-2,76	7,59	13,78
	15	7	1,1761	0,8451	0,9939	0,7142	17,365	-2,37	5,59	15,77
	30	20	1,4771	1,3010	1,9218	1,6927	26,151	3,85	14,81	12,83
	13	3	1,1139	0,4771	0,5315	0,2276	12,479	0,52	0,27	4,01
Сумма	219	133	13,2729	10,5887	14,3218	11,8913			37,86	74,94
Ср.знач.	21,9	13,3	1,3273	1,0589	1,4322	1,1891

Значение параметров А и b линейной модели определим по формулам:

Значение параметров А и b линейной модели определим по формулам:

Уравнение регрессии имеет вид: Y=0,91 + 0,39X

Перейдем к исходным переменным x и y, выполнив потенцирование данного уравнения:

ŷ=10^{0,91 ·} x^0,39

ŷ =8,13 · x^0,39.

 

График 4

·  Показательная

Уравнение показательной кривой имеет вид: ŷ = a · b^x

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения:

lg ŷ = lg a + x lg b

Обозначим Y = lg ŷ; A = lg a; B = lg b

Тогда уравнение примет вид: Y = A + Bx - линейное уравнение регрессии.

Данные, необходимы для нахождения параметров, приведены в таблице 9.

 

Таблица 9

№наблюдения	y	x	Y	Yx	x2	ŷ	εi	εi2
1	26	17	1,4150	24,0545	289	24,564	1,436	2,06	5,52
2	27	22	1,4314	31,4900	484	29,600	-2,600	6,76	9,63
3	22	10	1,3424	13,4242	100	18,920	3,080	9,49	14,00
4	19	7	1,2788	8,9513	49	16,917	2,083	4,34	10,96
5	21	12	1,3222	15,8666	144	20,385	0,615	0,38	2,93
6	26	21	1,4150	29,7144	441	28,516	-2,516	6,33	9,68
7	20	14	1,3010	18,2144	196	21,964	-1,964	3,86	9,82
8	15	7	1,1761	8,2326	49	16,917	-1,917	3,68	12,78
9	30	20	1,4771	29,5424	400	27,472	2,528	6,39	8,43
10	13	3	1,1139	3,3418	9	14,573	-1,573	2,47	12,10
Сумма	219	133	13,2729	182,8324	2161			45,75	95,84
Ср.знач.	21,9	13,3	1,3273	18,2832	216,1

Значение параметров А и B линейной модели определим по формулам:

Уравнение регрессии будет иметь вид: Y = 1,115 + 0,016x.

Перейдем к исходным переменным x и y, выполнив потенцирование данного уравнения:

ŷ =10^1,115·(10^0,016)^x;

ŷ =13,03·1,038^x.

 

График 5

9.  Для указанных моделей найти: R² – коэффициент детерминации и средние относительные ошибки аппроксимации А.

для всех моделей = 264,9 (см. таблицу 5).

·  Степенная модель (см. таблицу 8):

;

;

·  Показательная модель (см.таблицу 9):

;

;

·  Гиперболическая модель (см. таблицу 7):

.

 

Таблица 10

Параметры Модели	Коэффициент детерминации R2	Средняя относительная ошибка аппроксимации А
1. Степенная	0,857	7,5
2. Показательная	0,827	9,6
3. Гиперболическая	0,672	12,5

Коэффициент детерминации показывает долю вариации результативного признака, находящегося под воздействием изучаемых факторов. Чем ближе R² к 1, тем выше качество модели.

Чем выше рассеяние эмпирических точек вокруг теоретической линии регрессии, тем меньше средняя ошибка аппроксимации. Ошибка аппроксимации меньше 7% свидетельствует о хорошем качестве модели.

При сравнении гиперболической, степенной и показательной моделей по данным характеристикам мы видим, что наибольшее значение коэффициента детерминации R² и наименьшую ошибку аппроксимации имеет степенная модель, следовательно, ее можно считать лучшей.

Задача 2

 

Даны две СФМ, которые заданы в виде матриц коэффициентов модели. Необходимо записать системы одновременных уравнений и проверить обе системы на идентифицируемость.

 

Таблица 1

№ варианта

№ уравнения

Задача 2а

Задача 2б

переменные

переменные

y1

y2

y3

x1

x2

x3

x4

y1

y2

y3

x1

x2

x3

x4

8

1

-1

b12

b13

0

a12

a13

0

-1

0

b13

a11

0

a13

a14

2

0

-1

b23

a21

a22

0

a24

b21

-1

b23

0

a22

0

a24

3

0

b32

-1

a31

a32

a33

0

b31

0

-1

a31

0

a33

a34

Решение

2а) , тогда система уравнений будет иметь вид:

Модель имеет 3 эндогенные (y₁, y₂, y₃) и 4 экзогенные (x₁, x₂, x₃, x₄) переменные. Проверим каждое уравнение на необходимое и достаточное условие идентификации.

1 уравнение: y₁= b₁₂y₂+b₁₃y₃+a₁₂x₂+a₁₃x₃;

Необходимое условие: D + 1 = H

Эндогенные переменные: y_1, y_2, y₃; H=3

Отсутствующие экзогенные переменные: х_1, х₄; D=2

2+1=3 - условие необходимости выполнено.

Достаточное условие: В уравнении отсутствуют х_1, х₄. Построим матрицу из коэффициентов для второго и третьего уравнения:

 

Таблица 2

Уравнение	переменные
	х1	х4
2	a21	a24
3	a31	0

Найдем определитель: , ранг =2, следовательно, условие достаточности выполнено.

1-ое уравнение идентифицируемо.

2 уравнение: y₂= b₂₃ y₃+a₂₁x₁+a₂₂x₂+a₂₄x₄ ;

Необходимое условие: D + 1 = H

Эндогенные переменные: y_2, y₃; H=2

Отсутствующие экзогенные переменные: х₃; D=1

1+1=2 - условие необходимости выполнено.

Достаточное условие: В уравнении отсутствуют y_1, х₃. Построим матрицу из коэффициентов для первого и третьего уравнения:

 

Таблица 3

Уравнение	переменные
	y1	х3
1	-1	a13
3	0	a33

Найдем определитель: , ранг =2, следовательно, условие достаточности выполнено.

2-ое уравнение идентифицируемо.

3 уравнение: y₃= b₃₂y₂+a₃₁x₁+a₃₂x₂+a₃₃x₃;

Необходимое условие: D + 1 = H

Эндогенные переменные: y_2, y₃; H=2

Отсутствующие экзогенные переменные: х₄; D=1

1+1=2 - условие необходимости выполнено.

Достаточное условие: В уравнении отсутствуют y_1, х₄. Построим матрицу из коэффициентов для первого и второго уравнения:

Таблица 4

Уравнение	переменные
	х1	х4
1	-1	0
2	0	a24

Найдем определитель: , ранг =2, следовательно, условие достаточности выполнено.

3-е уравнение идентифицируемо.

В целом вся система уравнений является идентифицируемой.

 

Решение

2б) ,

Тогда система уравнений будет иметь вид:

 

Модель имеет 3 эндогенные (y₁, y₂, y₃) и 4 экзогенные (x₁, x₂, x₃, x₄) переменные. Проверим каждое уравнение на необходимое и достаточное условие идентификации.

1 уравнение: y₁= b₁₃y₃+a₁₁x₁+a₁₃x₃+a₁₄x₄;

Необходимое условие: D + 1 = H

Эндогенные переменные: y_1, y₃; H=2

Отсутствующие экзогенные переменные: х₂; D=1

1+1=2 - условие необходимости выполнено.

Достаточное условие: В уравнении отсутствуют y₂, х₂. Построим матрицу из коэффициентов для второго и третьего уравнения:

 

Таблица 5

Уравнение	переменные
	y2	х2
2	-1	a22
3	0	0

Найдем определитель: , следовательно, условие достаточности НЕ выполнено.

1-ое уравнение НЕидентифицируемо.

2 уравнение: y₂= b₁₁ y₁+b₂₃y₃+a₂₂x₂+a₂₄x₄ ;

Необходимое условие: D + 1 = H

Эндогенные переменные: y₁, y_2, y₃; H=3

Отсутствующие экзогенные переменные: x₁, х₃; D=2

2+1=3 - условие необходимости выполнено.

Достаточное условие: В уравнении отсутствуют x_1, х₃. Построим матрицу из коэффициентов для первого и третьего уравнения:

 

Таблица 6

Уравнение	переменные
	x1	х3
1	a11	a13
3	a31	a33

Найдем определитель: , ранг =2, следовательно, условие достаточности выполнено.

2-ое уравнение идентифицируемо.

3 уравнение: y₃= b₃₁y₂+a₃₁x₁+a₃₃x₃+a₃₄x₄;

Необходимое условие: D + 1 = H

Эндогенные переменные: y_1, y₃; H=2

Отсутствующие экзогенные переменные: х₂; D=1

1+1=2 - условие необходимости выполнено.

Достаточное условие: В уравнении отсутствуют y_1, х₄. Построим матрицу из коэффициентов для первого и второго уравнения:

 

Таблица 7

Уравнение	переменные
	y2	х2
1	0	0
2	-1	a22

Найдем определитель: , следовательно, условие достаточности НЕ выполнено

3-е уравнение НЕидентифицируемо.

В целом вся система уравнений является НЕидентифицируемой, так как первое и третье уравнение – НЕидентифицируемы.

2в) По данным, используя косвенный метод наименьших квадратов, построить структурную форму модели вида: y₁=a₀₁+b₁₂y₂+a₁₁x₁+ε₁;

y₂=a₀₂+b₂₁y₁+a₂₂x₂+ε₂

 

Таблица 8

Вариант	n	y1	y2	x1	x2
8	1	51.3	39.4	3	10
	2	112.4	77.9	10	13
	3	67.5	45.2	5	3
	4	51.4	37.7	3	7
	5	99.3	66.1	9	6
	6	57.1	39.6	4	1

 

Решение

1)  Структурную форму модели (СФМ) преобразуем в приведенную форму модели (ПФМ):

Для этого из второго уравнения выражаем y₂ и подставляем его в первое, а из первого выражаем y₁ и подставляем его во второе уравнение. Получим:

y₁=δ₁₁x₁+ δ₁₂x₂+u_1;

y₂=δ₂₁x₁+ δ₂₂x₂+u₂,

где u₁ и u₁ –случайные ошибки ПФМ.

Здесь

   

2)  В каждом уравнение ПФМ с помощью МНК определим δ – коэффициент.

Для первого уравнения:

.

Для решения системы уравнений требуются вспомогательные расчеты, которые представлены в таблице 9, 10.

 

Таблица 9

n	y1	y2	x1	x2
1	51,3	39,4	3	10
2	112,4	77,9	10	13
3	67,5	45,2	5	3
4	51,4	37,7	3	7
5	99,3	66,1	9	6
6	57,1	39,6	4	1
Сумма	439	305,9	34	40
Сред. знач.	73,17	50,98	5,67	6,67

 

Для упрощения расчетов удобнее работать с отклонениями от средних уровней:

∆у = у - у_ср; ∆х = х - х_ср

 

Таблица 10

n	∆y1	∆y2	∆x1	∆x2	∆y1∆x1	∆x12	∆x1∆x2	∆y1∆x2	∆y2∆x1	∆y2∆x2	∆x22
1	-21,9	-11,6	-2,7	3,3	58,31	7,11	-8,89	-72,89	30,89	-38,61	11,11
2	39,2	26,9	4,3	6,3	170,0	18,78	27,44	248,48	116,64	170,47	40,11
3	-5,7	-5,8	-0,7	-3,7	3,78	0,44	2,44	20,78	3,86	21,21	13,44
4	-21,8	-13,3	-2,7	0,3	58,04	7,11	-0,89	-7,26	35,42	-4,43	0,11
5	26,1	15,1	3,3	-0,7	87,11	11,11	-2,22	-17,42	50,39	-10,08	0,44
6	-16,1	-11,4	-1,7	-5,7	26,78	2,78	9,44	91,04	18,97	64,51	32,11
∑	-0,2	-0,1	-0,2	-0,2	404,03	47,33	27,33	262,73	256,17	203,07	97,33

С учетом приведенных данных получим:

404,03 = 47,33δ₁₁ + 27,33δ₁₂

262,73 = 27,33δ₁₁ + 97,33δ₁₂

δ₁₂ = 0,36;

С учетом этого первое уравнение ПФМ примет вид:

 

y₁ = 8,33х₁ + 0,36х₂ + u₁

Для второго уравнения определим δ – коэффициент с помощью МНК:

Для дальнейших расчетов данные берем из таблицы 9, 10. Получим:

256,17=47,33δ₂₁+27,33δ₂₂

203,07=27,33δ₂₁+97,33δ₂₂

δ₂₂ = 0,68;

Второе уравнение ПФМ примет вид:

у₂ = 5,02х₁ + 0,68х₂ + u₂

3) Выполним переход от ПФМ к СПФМ. Для этого из последнего уравнения найдем х₂:

Найденное х₂ подставим в первое уравнение.

,

тогда b₁₂=0,53; a₁₁=5,67

Из первого уравнения ПФМ найдем х₁

Подставим во второе уравнение ПФМ

,

тогда b₂₁=0,6; a₂₂=0,46

4) Свободные члены СФМ найдем из уравнения:

а₀₁ = у_1ср - b₁₂у_2ср - а₁₁х_1ср = 73,17 – 0,53 50,98 - 5,67 5,67 = 14,00;

а₀₂ = у_2ср - b₂₁у_1ср - а₂₂х_2ср = 50,98 - 0,6 73,17 - 0,46 6,67 = 4,00.

5) Записываем СФМ в окончательном виде:

y₁=a₀₁ + b₁₂y₂ + a₁₁x₁ + ε₁;

y₂=a₀₂ + b₂₁y₁ + a₂₂x₂ + ε₂.

y₁ =14+ 0,53y₂ + 5,67x₁ + ε₁;

y₂ = 4+ 0,6y₁ + 0,46x₂ + ε_2.