Множественная линейная регрессия

3. Множественная линейная регрессия

В общем случае в регрессионный анализ вовлекаются несколько независимых переменных. Это, конечно же, наносит ущерб наглядности получаемых результатов, так как подобные множественные связи в конце концов становится невозможно представить графически.

В случае множественного регрессионного анализа речь идёт необходимо оценить коэффициенты уравнения

у = b₁-х₁+b₂-х₂+... + b_n-х_n+а,

где n — количество независимых переменных, обозначенных как х₁ и х_n, а — некоторая константа.

Переменные, объявленные независимыми, могут сами коррелировать между собой; этот факт необходимо обязательно учитывать при определении коэффициентов уравнения регрессии для того, чтобы избежать ложных корреляций.

 
4. Линейный множественный регрессионный анализ

В практике часто возникают ситуации, когда функция отзыва (цели) Y зависит не от одного, а от многих факторов. Установление формы связи в таких случаях начинают, как правило с рассмотрения линейной регрессии такого вида:

В таком случае результаты наблюдений должны быть представлены уравнениями, полученными в каждом из п опытов:

 (1)

или в виде матрицы результатов наблюдений:

где п – количество опытов; k - количество факторов.

Для решения системы уравнений (1) необходимо, чтобы количество опытов было не меньше

k + 1, т.е. п  k + 1.

Заданием множественного регрессионного анализа является построение такого уравнения прямой k-мерном пространстве, отклонение результатов наблюдений  от которой были бы минимальными. Используя для этого метод наименьших квадратов, получаем систему нормальных уравнений:

которую представим в матричной форме

(Х^ТХ)В = X^TY, (2)

где В - вектор-столбец коэффициентов уравнения регрессии;

X - матрица значений факторов;

Y - вектор-столбец функции отзыва;

X^Т - транспонированная матрица X.

При  = 1, , они соответственно равны:

  

Перемножив правую и левую часть уравнения (2) на обратную матрицу (Х^ТХ)^-1, получим при:

Каждый коэффициент уравнения регрессии вычисляется по формуле:

где  - элементы обратной матрицы (Х^ТХ)^-1.

Для проверки значимости уравнения регрессии необходимо при заданных значениях () провести несколько экспериментов, чтобы получить некоторое среднее значение функции Y. В этом случае экспериментальный материал представляется, например, в виде табл. 1.

Таблица 1

№	Уровни факторов		Значения функции Y при параллельных исследованиях			Исследуемое среднее значение
	x1	x2	y1	y2	y3
1	1,0	0,2	18,2	18,6	18,7	18,5
2	2,0	0,4	21,6	23,4	23,7	22,9
3	2,5	0,3	22,0	23,0	22,5	22,5

Число параллельных исследований должно быть больше трёх .

Проверка значимости уравнения регрессии проводится по F-критерию. Для этого вычисляется остаточная дисперсия

и -статистика

которая сравнивается с табличным значением  при уровне значимости α и числе ступеней свободы

k₁ = п - 1, k₂ = п – k - 1.

Гипотеза про значимость уравнения регрессии принимается при условии:

Значимость коэффициентов регрессии проверяется по t-критерию.

Статистика  сравнивается с табличным значением  при уровне значимости α и числе степеней свободы

k₁ = п – k - 1.

Наклонная коэффициента регрессии:

где  - диагональный элемент матрицы (Х^ТХ)^-1.

Доверительный интервал для коэффициентов регрессии определяется по формуле:

где В - значение коэффициента регрессии в генеральной совокупности.

Список использованной литературы

1. Александров В.В., Алексеев А.И., Горский Н.Д. Анализ данных на ЭВМ (на примере системы СИТО). – М.: Финансы и статистика, 1990.

2. Блюмин С.Л., Суханов В.Ф., Чеботарев С.В. Экономический факторный анализ: Монография. – Липецк: ЛЭГИ, 2004.

3. Рогальский Ф.Б., Курилович Я.Е., Цокуренко А.А. Математические методы анализа экономических систем. Книга 1. – К.: Наукова думка, 2001.

4. Рогальский Ф.Б., Цокуренко А.А. Математические методы анализа экономических систем. Книга 2. – К.: Наукова думка, 2001.