Управление запасами при случайном спросе и задержке в поставках

3. Управление запасами при случайном спросе и задержке в поставках

Простейшим случаем управления запасами при вероятностном спросе является однократное принятие решения о пополнении запаса (если решение не принимается вообще, теряет смысл само принятие управления).

Практическими примерами таких ситуаций являются все однократные процессы с относительно небольшой потребностью в материалах и оборудовании (некоторые виды строительства, обеспеченье испытательных работ), а снабжение потребителей в труднодоступных и удаленных районах.

Модель этого вида может быть названа статистической.

Структура оптимальных стратегий при вероятностном спросе и мгновенных поставках товаров

Пусть z – запас к началу операции;

Y – запас после его пополнения (очевидно, Y ≥ z);

x ≥ 0 – случайный спрос за время Т операции;

f(x) – плотность распределения спроса;

c(Y – z) – расходы на пополнение запасов.

Предполагается, что поставка производится до прихода первого требования и, следовательно, расходуется запас Y. Если к концу операции на складе осталось невостребованного товара ( Y – x) > 0 система снабжения несет избыточные расходы на хранение h_T(Y – x), но может частично компенсировать убытки продажей этого товара за υ(Y – x). При x ≥ Y справедливо соотношение υ(Y – x) = =h_T(Y-x) = 0. При не полном удовлетворении спроса x > Y, и только при этом условии склад платит штраф p_T(x – Y).

Математическое ожидание расходов на хранение и штрафы:

(3.1)

Общие же средние затраты на хранение, штрафы и пополнение запасов будут равны

Продолжим c(Y – z) аналитически в область Y – z < 0 и будем считать, что функция N_T(Y, z). Определена для Y ≥ 0 независимо от z. Найдем, при каком значении Y ≥ z величина L_T(Y, z) минимальна. Для этого вычислим производную

(3.2)

(здесь учтено, что h_T(0) = υ(0) = 0) и приравниваем ее к нулю. Те решения , которым соответствует положительная вторая производная, дадут относительные минимумы N_T(z). В общем случае график зависимости затрат от запаса N_T(Y, z) для фиксированного z имеет несколько относительных минимумов (см. рис 2).

Рис.2

Обозначим через Y₁ абсциссу абсолютного минимума функции N_T(Y, z) а чрез Y₃, Y₅, Y₇, …– абсциссы следующих за ними справа относительных минимумов этой функции. Далее, пусть Y₂, Y₄, Y₆, … – точки , удовлетворяющие условиям

Y₁ < Y₂ < Y₃ < Y₄ < Y₅ <…,

N_T(Y₂) = N_T(Y₃),

N_T(Y₄) = N_T(Y₅),

N_T(Y₆) = N_T(Y₇) и т.д.

Тогда оптимальная стратегия будет иметь следующий вид:

при z<Y₁ – заказывать количество товара Y₁ – z,

при Y₁ ≤ z ≤ Y₂ – не заказывать,

при Y₂ < z < Y₃ – заказывать Y₃ – z,

при Y₃ ≤ z ≤ Y₄ – не заказывать и т.д.

Вообще при Y_2n+1 ≤ z ≤ Y_2n+2 выгодно воздержаться от заказа, а при Y_2n < z < <Y_2n+1 – заказать количество товара Y_2n+1 – z, n = 0, 1, 2, …; Y₀ = 0. Критические числа Y_i(I = 1,2, …) в общем случае могут зависеть от z.

Приведем достаточные условия. При совместимом выполнении которых оптимальная стратегия имеет более простую форму, соответствующую единственному минимуму L_T9Y) + c(Y – z):

1)  N_T(0, z) не является относительным минимумом, и

т.е. заказ товаров уменьшает суммарные расходы;

2) N_T(Y, z) → при Y →;

3) уравнение имеет не более одного вещественного корня.

Условие (3) может быть выполнено, например, в случае, когда  является монотонной функцией Y. Так, если h_T(Y – x) – υ(Y – z) и p_T(x – Y) – выпуклые вниз возрастающие функции, а c(Y – z) = c · (Y – z), где с – стоимость единицы товара, то первый интеграл в (3.2) будет монотонно возрастать, а второй – монотонно убывать по абсолютной величине , что обеспечивает монотонное возрастание  Если при этом справедливы так же условия (1) и (2), то решение  существует, причем оно единственно, а оптимальная стратегия пополнения объемов запасов U(z) имеет следующий вид:

При этом, так как  не зависит от z, величина  так же не зависит от z.

Заметим, что содержанием условия (1) является экономическая целесообразность создания запаса, а условия (2) – неэффективность чрезмерных запасов. Оба этих условия для большинства практических ситуаций.

Следует отметить, что единственность решения  является достаточным, но не необходимым условием существования простейшей стратегии с одним критическим уровнем. Так, если крайний справа относительный минимум N_T(Y) в точке  является и абсолютным минимумом этой функции, то независимо от числа корней  оптимальная стратегия будет иметь следующий вид:

при  – заказывать количество товара

при  – не заказывать.

Предположим теперь, что стоимость пополнения запаса равна g + c · (Y – z) при Y – z > 0 и нулю – при Y – z ≤ 0. Здесь g – накладные доходы на доставку товара.

В этом случае заказ целесообразно производить лишь при

(3.3)

Если  имеет единственное решение, то, как видно из рис. 3, иллюстрирующего определение нижнего критического уровня  оптимальная стратегия будет иметь следующий вид:

при  – заказывать количество товара

при  – не заказывать.

Рис.3.

Стратегия такого типа называется стратегией двух уровней  Здесь  и  – нижний и верхний критические уровни запасов соответственно.

Расчет нормативных критических уровней запасов при вероятностном спросе и мгновенных поставках

В предыдущем разделе данной курсовой приведены некоторые достаточно общие результаты относительно вида оптимальной стратегии управления запасами. С их помощью легко показать, что при линейных функциях затрат на хранение, транспорт и штрафы и суммарных затратах, подсчитываем согласно формуле (3.1) или ее аналогу для дискретного спроса, оптимальная стратегия описывается одним или двумя критическими уровнями.

Таким образом, в рамках данной модели остается рассмотреть только способ расчета этих уровней.

При подсчете затрат по средним значениям запаса и дефицита за период, а также при независимости штрафа от объема дефицита необходим дополнительный анализ структуры системы управления запасами, поскольку эти случаи в общем виде – при нелинейных функциях c(u), h_T(u) и p_T(u) – не исследованы. Ниже приводятся расчетные формулы для определения критических чисел оптимальных стратегий простейшего типа при линейных c(u), h_T(u) и p_T(u) для различных вариантов задачи об управлении запасами с пренебрежимо малой задержкой между заказом на восполнение запаса и поставкой. Попутно устанавливаются условия существования и единственности решения для функций затрат, отличных от (3.1).

В модели управления запасами с мгновенной поставкой и функцией затрат типа (3.1) с пропорциональными составляющими расходы за период равны

(3.4)

Из условия

получаем уравнение

(3.5)

для определения оптимального значения , где F(u) – интегральная функция распределения спроса за время Т, а отношение  обычно называют критическим числом.

Для решения нижнего критического уровня запасов  необходимо решить уравнение

(3.6)

Здесь  – найденный с помощью соотношения (3.5) верхний критический уровень запасов. Расчет нижнего критического уровня в общем виде даже для известного распределения спроса представляет собой непростую задачу.

Однако если параметры распределения известны, то при нахождении  можно избежать многих трудностей. Один подобный пример мы рассмотрим позже. Сейчас ограничимся нахождением верхнего уровня  для различных распределений спроса.

При равномерном распределении спроса

соотношение (3.5) примет вид . Следовательно, оптимальный верхний уровень  пополнения запасов для равномерного распределения спроса находится из соотношения

(3.7)

Для усеченного нормального распределения спроса (х ≥ 0) с параметрами а и σ уравнение (3.5) превращается в

где  – функция Лапласа. Таким образом, верхний уровень  находится из уравнения

(3.8)

В случае показательного распределения спроса  и для  имеем

и (3.9)

o  Пример 2. Нахождение оптимальных нижнего и верхнего критических уровней запаса при равномерно распределенном спросе

Рассчитать критические уровни  и  запасов в статистической модели управления запасами с равномерным распределением спроса

и мгновенной поставкой. Известно, что с = 0,1, h_T = 5, p_T = 10, g = 4.

Рассчитаем критическое число

Найдем верхний уровень  из соотношения (3.7):

Нижний критический уровень  найдем из уравнения (3.6):

где

С учетом исходных данных имеем

Далее вычислим  И наконец, найдем нижний критический уровень  как меньший корень уравнения

или, что одно и то же,

откуда

В соответствии со стратегией двух уровней и :

при z < 1,67 необходимо пополнить запас до уровня 3,3 единицы,

при z ≥ 1,67 ничего заказывать не надо.

В случае дискретного распределенного спроса

Соответственно

Вычислим приращение расходов при увеличении запаса на единицу:

Покажем существование и единственность оптимального значения , для чего исследуем знак приращения . При  справедливо соотношение , при выполняется условие .

Монотонность функции  обеспечивает однократность смены знака приращения. Очевидно, выбор  должен производиться из условия одновременного выполнения неравенств  и , которые могут быть сведены к системе неравенств для определения верхнего уровня , имеющей вид

(3.10)

Нижний критический уровень  найдем с помощью соотношения

(3.11)

аналогично (3.6).

Таким образом, в качестве  выбирается такое наименьшее целое значение z, при котором неравенство (3.11) выполняется последний раз.

o   Пример 3. Нахождение верхнего и нижнего критических уровней при дискретно распределенном спросе

Агропромышленное объединение планирует заказать несколько грузовых автомобилей на автопредприятии для уборки сельскохозяйственной продукции. Издержки, связанные с обслуживанием одного автомобиля (в том числе расходы на бензин и др.) в течение уборочного периода, оцениваются в 3 тыс. руб. Потери объединения в случае нехватки одного автомобиля составляют 9 тыс. руб. Накладные расходы при доставке автомашин на место и обратно (по железной дороге) равны 2 тыс. руб. Необходимое количество автомобилей – случайная величина (зависящая от урожая, погодных условий и др.) с рядом распределения

Х	4	5	6
Р(Х)	1/3	1/3	1/3

Найти оптимальную стратегию пополнения парка автомобилей, т.е. значения  и  при отсутствии задержки в поставке.

Параметры задачи:  тыс. руб.,  тыс. руб.,  тыс. руб., с=0. Определим критическое число  Теперь найдем верхний уровень . Функция распределения  впервые превысит число R при Х=6, следовательно, .

Для определения  найдем наименьшее значение z, для которого последний раз выполнено неравенство

(так как с=0). Полагаем, что все денежные суммы кратны тысяче. Вычислим

Вычислим

Так как 4 ≤ 2 + 3, то .

Вычислим

Неравенство 9 ≤ 2 + 3 не выполняется, значит,

Итак, , . Отсюда следует, что при z < 5 парк автомобилей необходимо пополнить до ; при z ≥ 5 пополнять его не нужно.

Расчет планового объема поставок при вероятностном спросе с фиксированной задержкой поставки

Рассмотренные выше модели с вероятностным спросом управлялись либо стратегией «двух уровней» ,либо стратегией , когда заказ на пополнение запаса выдается через равные промежутки времени Т, а объем заказа – величина не постоянная, определяемая верхним уровнем . Переход к минимизации затрат за единицу времени по обоим параметрам стратегии обычно затруднен вследствие сложного характера зависимости распределения спроса от времени. В связи с этим при отсутствии регламентированной периодичности поставок удобно перейти к стратегии  с нижним критическим уровнем и фиксированным объемом поставок.

Предположим, что недостачи товара в модели случаются редко, средняя величина дефицита мала сравнительно с q, а время его существования значительно меньше среднего интервала между поставками (при достаточно высокой цене штрафа все перечисленные условия должна выполняться). При этих предположениях средний уровень запаса составит , а затраты на содержание –  в единицу времени. В каждом периоде, кроме того, будут выплачиваться стоимость заказа g и штраф, среднее значение которого составит

где f(x) – плотность распределения спроса за время между выдачей заказа (момент достижения ) и получением восполнения. Количество периодов в единицу времени, очевидно, равно . Следовательно, суммарные ожидаемые затраты в единицу времени могут быть подсчитаны следующим образом:

. (3.12)

Приравнивая к нулю  и , убеждаемся, что оптимальные параметры стратегии должны удовлетворять соотношениям

(3.13)

и

. (3.14)

Указанная система уравнений легко расширяется итерационным способом: задавшись начальным значением , представляют его в (3.14) и получают . Подстановка последнего в (3.13) дает  и т.д. Процесс повторяется до тех пор, пока значения параметров в последовательных итерациях не окажутся достаточно близки друг к другу. Последняя пара значений  и принимается за оптимальный надор параметров. Начальное значение  целесообразно определять по формуле (2.14), т.е. следует положить .

Начальное приближенное по своей величине обычно оказывается достаточно близким к конечному результату. Однако более строгим критерием качества приближенного решения является сравнение затрат. Оценим относительное увеличение затрат от неточного определения  и  при экспоненциально распределенном спросе за время задержки. При средней интенсивности спроса µ и задержке τ плотность распределения спроса за время τ равна , а математическое ожидание дефицита –

.

Отметим, что . Следовательно, в нашем случае при оптимальном выборе q

. (3.15)

Подставим этот результат в (2.17), для нахождения оптимального  имеем уравнение

, (3.16)

откуда

. (3.17)

Соответственно

. (3.18)

Перепишем (3.17) в виде

,

где коэффициент перед скобкой равен приближенному значению , определяемому согласно (2.14), а  – отношение среднего спроса за время задержки к . При малом , что следует считать типичным для практики, можно записать

. (3.19)

Найдем разность затрат в единицу времени  с помощью формулы (3.12), используя (3.16):

Таким образом,

.

Используя приближенные и допустимые при малых  разложения функции в ряд

и

,

получаем

Так как

, то  и

(3.20)

т.е. увеличение затрат за счет приближенного определения q примерно пропорционально времени задержки поставки.

o  Пример 4. Оценка величины погрешности функции затрат при фиксированной задержке поставки

Положим p = 100, h = 6, g = 20, µ = 5 и τ = 0,3. При этом приближенные значения параметров стратегии будут равны ; соответственно уточненные значения (при q, определяемом из (3.17)), суть  и . Математическое ожидание затрат для стратегии  составляет 67,7 а для  – 66,3 единицы, т.е. разница , единицы, или 1,9 % .

Проверим качество приближенной оценки величины , рассчитанной по формуле (3.19). в нашем случае , откуда . Таким образом, порядок погрешности формула (3.19) указывает верно.

При других способах расчета штрафа форма записи системы (3.13) – (3.14) меняется очевидным образом. Так, при расчете штрафа, связанного с недостачей, носящей стохастический характер, оптимальный набор  определяется по формулам

(3.21)

а при учете величины и времени существования дефицита – с помощью соотношений

Эти системы тоже решаются методом итераций.

Приближенные методы планирования поставок при их случайной издержке

Небольшой разброс фактических моментов прибытия поставок относительно предусмотренных позволяет планировать организацию снабжения методами, рассмотренными выше. В связи с неопределенностью момента прибытия поставки применение периодических стратегий  и  в данном случае оказывается невыгодным, и оптимизация проводится в классе стратегий с нижним критическим уровнем – обычно .

В качестве примера рассмотрим пуассоновский спрос интенсивности и экспоненциально распределенное время задержки поставок со средним, равным 1/λ.

Найдем распределение спроса за время задержки. Вероятность того, что спрос будет равен х, очевидно, составит

.

Последний интеграл может быть представлен в виде

и выражен через гамма-функцию  (для целых х). таким образом,

, (3.23)

т.е. спрос за время издержки имеет отрицательное биноминальное распределение. Математическое ожидание недостач при страховом запасе  составит

.

Первая из этих сумм

представляет собой арифметико-геометрическую прогрессию. Сумма членов прогрессии вида  записывается в виде

.

В интересующем нас случае d = 0 и r = 1, так что

.

С помощью этой формулы легко получить более общее соотношение:

.

Его предельным случаем при  и  является

.

Таким образом,

.

Вторая сумма – обычная геометрическая прогрессия:

.

Следовательно, математическое ожидание недостач

.

Для облегчения процесса минимизации затрат предположим, что q и  – любые действительные числа. Тогда мы сможем найти оптимальные q и  из системы уравнений (3.13 – 3.14), в нашем случае принимающей вид

(3.24)

и из четырех ближайших точек с целочисленными координатами выбрать дающую наилучший результат. Сравнение должно проводиться по затратам в единицу времени

(3.25)

Преобразуем систему (2.14). подставив второе уравнение в первое и возведя в квадрат обе части равенства, имеем

,

или

.

Таким образом, оптимальный набор  дается условиями

(3.26)

В качестве приближенного решения можно использовать результат расчета q по средней интенсивности спроса с последующим вычислением  согласно уравнению (2.14). в нашем случае соответствующие формулы примут вид

(3.27)

o  Пример 5. Определение прироста затрат, связанного с отходом от строгой оптимальности

Положим, µ = 2, λ = 0,5, h = 2, g = 25, p = 70. При этих значениях параметров расчет по формулам (3.26) дает q = 12,90 и . Суммарные затраты в единицу времени составляют 40,03.

Приближенный расчет в соответствии (3.27) дает q = 7,06 и ; при этом сумма затрат достигает 42,9. Таким образом, разница в затратах, подсчитываемых согласно (3.25) для обоих вариантов вычислений , сравнительно невелика.