Динамическая модель управления запасами

4. Динамическая модель управления запасами

Рассмотрим предприятие, которое изготовляет партиями некоторые изделия. Оно состоит из производственных цехов и склада для хранения готовой продукции. Предположим, что предприятие получило заказы на продукцию на n месяцев (этапов) вперед. Эти заказы необходимо полностью и своевременно выполнять (дефицит не допускается). Для разных этапов спрос не одинаков, кроме того, на экономические показатели производства влияют размеры изготовляемых партий продукции. Поэтому предприятию иногда бывает выгодно производить в течение месяца продукцию в объеме, превышающем спрос в пределах этого этапа, и хранить запасы «лишней» продукции, используя их для удовлетворения последующего спроса. Продолжительность изготовления партии изделий будем считать пренебрежимо малой (однако это требование может быть изменено в соответствии с особенностями технологического процесса). Цель предприятия – выработать такую программу производства, которая обеспечила бы минимальные затраты на изготовление и хранения продукции.

Введем обозначения:

x_t – число изделий, изготовленных в t-м месяце (этапе);

y_t – уровень запасов на конец t-го месяца;

d_t – спрос на изделие в t-м месяце;

f_t(x_t, y_t) – затраты на производство и хранение изделий в t-м месяце.

Соотношение материального базиса примет вид

(4.1)

т.е уровень запасов на конец t-го этапа равен сумме уровня запасов на начало t-го и объема производства на t-м этапе за вычетом спроса на t-м этапе.

Данное балансовое соотношение можно записать и в другом виде:

(4.2)

Наша задача состоит в том, чтобы составить такой план производства

X = (x₁, …,x_n), или, что тоже самое, найти такой план хранения запасов Y = (y₁, …,y_n), который обеспечил бы минимальные суммарные затраты предприятия

(4.3)

за весь плановый период.

Введем ограничения на переменные x_t, y_t. Будем считать объемы производства и уровни хранения на каждом этапе неотрицательными и целочисленными величинами. Кроме того, предположим, что уровни запасов к началу первого этапа y₀ и к концу последнего y_n заранее известны.

Решим сформулированную задачу методом динамического программирования. В качестве параметра состояния ζ примем уровень запасов на конец k-го этапа

. (4.4)

Функцию составления  определим как минимальные затраты за первые k месяцев, т.е.

. (4.5)

Здесь абсолютный минимум берется по всем значениям x₁, …,x_k, удовлетворяющим балансовым уравнениям:

(4.6)

(4.7)

При k = 1 соотношение (4.7) примет вид

(4.8)

или

. (4.9)

Тогда с учетом (4.4) и (4.9) функция состояния

, (4.10)

причем если не видно никаких ограничений на объем складских помещений и производственную мощность предприятия, то

,

. (4.11)

Это связано с тем обстоятельством, что если иметь на конец 1-го этапа запас изделий в качестве , то, ничего не изготовляя в течение всего планового периода, а только удовлетворяя спрос, можно выйти на уровень запасов y_n в конце n-го месяца. В то же время если уровень запасов на начало 1-го этапа равен y₀, то, изготовив в 1-м месяце изделий в количестве  и не производя ничего на последних этапах, получим тот же запас y_n в конце планового периода. Если же на 1-м этапе предприятие может вместить готовой продукции не более М₁ изделий, а мощности предприятия не позволяют произвести более N₁ изделий, то

,

. (4.12)

Получим рекуррентное соотношение динамического программирования в модели управления запасами при любом k = 2, …,n.

Запишем функцию состояния (4.5) в виде

. (4.13)

Здесь, как уже было сказано выше, все переменные связаны балансовыми уравнениями

. (4.14)

В связи с тем что величина запаса y_k-1 к концу (k – 1)-го планового этапа с учетом (4.7) равна , имеем следующее рекуррентное соотношение динамической модели управления запасами:

. (4.15)

Если внешних ограничений на уровни хранения и объемы производства не существует, то по аналогии с (4.11) получаем внутренние ограничения модели

,

. (4.16)

Если складские емкости и производственные мощности предприятия ограничены количеством изделий M_k и N_k соответственно, то аналогично соотношениям (4.12) имеем

,

. (4.17)

На самом деле ограничения (4.16) и (4.17) имеют более сложную структуру. Однако для решения практических задач этого вполне достаточно. Напомним лишь о том, что переменные x_k и y_k целочисленны и не отрицательны.

Рассмотрим теперь функцию затрат . Введем следующие обозначения:

g_t – затраты на производство и доставку заказа на t-м этапе;

c_t(x_t) – затраты на производство x_t единиц продукции на t-м этапе;

h_t(y_t) – затраты на хранение y_t единиц продукции в течение t-го планового этапа.

Для определенности будем считать, что производственные затраты линейны, т.е. c_t(x_t) = c_tx_t, и что затраты на хранение пропорциональны объему хранимой продукции в течении месяца. Далее, уровень (объем) хранения в течение этого месяца определяется уровнем хранения на конец этапа. Иными словами, поскольку время изготовления партий изделий пренебрежимо мало, а производить и отправлять заказчикам продукцию предприятию выгодно вначале каждого месяца, то уровень хранимого имущества в течение t-го этапа определяется соотношением баланса . В итоге получаем .

Функция затрат с учетом выведенных обозначений примет вид

(4.18)

Применим теперь метод динамического программирования к решению задачи управления запасами.

o  Пример 6. Определение оптимальной программы производства

Рассмотрим плановый период работы предприятия, состоящий из трех месяцев: января, февраля, марта. Исходные данные сведены в таблице 1.

Таблица 1

Этап	k	1	2	3
Месяц		Январь	Февраль	Март
Спрос	dk	2	5	2
Затраты на оформление заказа	gk	10	5	10
Затраты на производство одного изделия	ck	3	5	3
Стоимость хранения одного изделия в течение месяца	hk	2	2	1

Функция затрат определена формулой (4.18). Кроме того, будем считать, что предприятие не может производить более четырех изделий, а хранить – более трех, т.е. M_k = 3, N_k = 4, а уровень запасов y₀ = y₃ = 0.

Необходимо составить оптимальную программу выпуска продукции , которая минимизирует суммарные издержки предприятия.

Рассмотрим январский этап (k=1). Поскольку плановый период состоит из одного месяца, у нас практически нет возможности влиять на объем производства изделий. Поэтому все допустимые программы выпуска продукции будут оптимальны, поскольку они единственны.

Функция состояния в соответствии с (4.10) примет вид

.

Прежде чем произвести расчеты  по формуле (4.18), укажем ограничения на изменения переменных x₁ и y₁. Поскольку уровни запасов на начало и конец планового периода равны нулю, то в январе мы можем произвести такое количество изделий, чтобы удовлетворять не только январский, но и февральский и мартовский спрос, т.е. произвести  изделий, однако N₁ = 4, поэтому . Возникает естественный вопрос: каков должен быть уровень запасов на конец января (или, что одно и то же, на начало февраля), чтобы, не изготавливая ничего ни в феврале, ни в марте, опять выйти на нулевой уровень запасов в конце марта? Ответ очевиден: объем запасов продукции должен быть равен . Но поскольку возможности склада ограничены , в итоге получаем:

.

Результаты вычислений сведем в табл. 2. .

Таблица 2

0 1 2 3	2 3 4 –	10 + 3 · 2 + 1 · 0 = 16 10 + 3 · 3 + 1 · 1 = 20 10 + 3 · 4 + 1 · 2 = 24 –

Рассмотрим k = 2, когда плановый период содержит январь и февраль. У нас появляются дополнительные возможности для изменения объема выпуска изделий на каждом из этапов, с тем чтобы выйти на ненулевой уровень запасов y₃ = 0.

Рекуррентное соотношение (4.15) примем вид

,

где ξ – оптимальное значение уровня запасов y₂ на конец второго этапа, которому соответствует наименьшие суммарные затраты на производство и хранение продукции.

Ограничения на объем производства и уровень хранения очевидны:

,

.

Отобразим в таблице 3 все необходимые вычисления для февральского этапа .

Таблица 3

x2 y2	0	1	2	3	4
0	5 –	4 –	3 –	2 20 + 0 + 24 = 44	1 25 + 0 + 20 = 45	3	44
1	6 –	5 –	4 –	3 –	2 25 + 2 +24 =51	4	51
2	7 –	6 –	5 –	4 –	3 –	–	–

Поясним содержание этой таблицы. Объем производства и уровень хранения определяются значениями x₂ и y₂ соответственно. В верхнем правом углу каждой клетки указаны уровни запасов на начало второго этапа, которые с помощью балансового уравнения вычисляются по формуле . Сумма внутри каждой клетки содержит три слагаемых. Рассмотрим эти слагаемые для клетки с координатами . Первое слагаемое – затраты на оформление заказа и производство продукции ; второе – затраты на хранение . Сумма двух первых слагаемых равна . Прежде чем вычислить третье слагаемое, которое в рекуррентном соотношении обозначено как , вспомним, что величина  вычислена, находится в верхнем правом углу клетки и равна 0 – 3 + 5 = 2. Поэтому третье слагаемое  возьмем из январской таблицы. Аналогично рассчитываются слагаемые в остальных клетках, а в «запрещенных» клетках, для которых не нашлось последнего слагаемого в январской (k = 1) таблице, сделан прочерк. Наименьшие суммарные затраты  для каждого y₂ запишем в последнем столбце (они подсчитаны в выделенных рамкой клетках), а значения оптимальных объемов производства изделий в феврале  занесем в предпоследний столбец таблицы.

При k = 3 плановый период уже включает в себя январь, февраль и март. Запишем рекуррентное соотношение

,

где ξ – значения уровня запасов y₃ на конец марта, которому соответствуют наименьшие суммарные затраты на хранение и производство продукции.

Новая таблица (табл. 4) содержит лишь одну строку, так как, по условию задачи, . Количество столбцов определим в соответствии с неравенством

.

Таблица 4

x3 y3	0	1	2
0	2 –	1 13 + 0 +51 = 64	0 16 + 0 + 44 =60	2	60

В остальном содержание таблицы ничем не отличается от предыдущей.

Составим оптимальную программу выпуска продукции на каждом этапе, которая обеспечит минимальные суммарные затраты  в течение всего планового периода. Как видно из мартовской таблицы , что соответствует оптимальному уровню запасов , который рассчитан и записан в верхнем правом углу выделенной рамкой клетки. Далее из февральской таблицы  следует, что .

В выделенной рамкой клетке с координатами  (табл. 3) в верхнем правом углу записан оптимальный уровень запасов  на конец января. Наконец, из январской таблицы  получаем, что  соответствует . Таким образом, построена оптимальная программа выпуска продукции

,

которая обеспечивает минимальные суммарные издержки  на производство и хранение продукции.

Задачи

1.  На нефтебазу бензин привозят на танкере. Накладные расходы g в расчете на партию бензина составляют 50000 руб. Ежегодно база отпускает µ = 4000 т бензина. Затраты на хранение h примем равным 0,5 руб. за 1 т бензина в сутки. Поставка осуществляется по первому требованию – мгновенно, и дефицит бензина на базе не допускается. Найдите оптимальные: объем заказываемой партии q, длительность цикла Т^* работы системы и общее среднесуточные издержки .

Решение:

Для решения задачи используем формулы Уилсона (2.14) – (2.16). оптимальный размер заказываемой партии:

 т.

Интервал между заказами:

 сут.

Общие среднесуточные издержки:

 руб./сут.

2.  При закупке за рубежом завода по производству электровакуумного оборудования возник вопрос о приобретении запасных частей. Комплекты запасных частей включают в себя кроме деталей и узлов, которые наиболее часто выходят из строя, приборы и электронное оборудование, обеспечивающее соблюдение технического процесса.

Стоимость хранения запасных частей и проведения профилактических работ в расчете на один комплект составляет h_T = 1000 руб. В случае выхода из строя оборудования и нехватки запасных частей завод терпит убытки в размере Р_Т = 10000 руб. на каждый недостающий комплект оборудования. Стоимость одного комплекта запчастей с = 2000 руб. Накладные расходы при доставке оборудования составляет g= 3000 руб. Опыт эксплуатации подобных предприятий показал, что необходимое число комплектов запасного оборудования – случайная величина с рядом распределения

Х	0	1	2	3
Р(Х)	1/4	1/4	1/4	1/4

Найдите  – стратегию пополнения запасов.

Решение:

Определим критическое число . Теперь найдем верхний уровень . Функция распределения  впервые превысит число R при Х = 3, следовательно .

Для определения  найдем наименьшее значение z, для которого последний раз выполнено неравенство

(так как с = 2000). Полагаем, что все денежные суммы кратны 2000

Вычислим :

.

Вычислим :

.

Вычислим :

.

Вычислим :

.

Неравенство 10000 ≤ 3000 + 1000 не выполняется, значит, .

Итак, . Отсюда следует, что при z < 2 запасы стоит пополнять до ; при z ≥ 2 пополнять его не нужно.

3.  В августе ежедневно из овощехранилища отгружают 50т (µ) арбузов в магазин «Овощи-фрукты». Накладные расходы в расчете на партию арбузов, доставляемых в овощехранилище, составляют g = 500 тыс. Издержки хранения скоропортящихся продуктов равны h = 5 руб. за 1 т в сутки. Партию арбузов привозят и разгружают с интенсивностью λ = 200 т/сут. Найдите оптимальный размер партии арбузов (q), привозимой в овощехранилище, периодичность Т^* пополнения запасов. Определите оптимальные среднесуточные издержки , если дефицит не допускается.

4. 

Решение:

Для решения задач используем формулы (2.8) – (2.10). Оптимальный размер заказываемой партии:

 т.

Периодичность пополнения запасов:

 сут.

Оптимальные среднесуточные издержки:

руб./сут.

5.  Найдите критические уровни  и  в статической модели управления запасами с вероятностным спросом и отсутствием задержек в поставках. Функции издержек хранения и дефицита линейны. Параметры задачи :h_T = 6, c = 1, p_T = 8, g = 2, а распределение спроса имеет вид

Х	1	2	3	4	5
Р(х)	1/5	1/5	1/5	1/5	1/5

Решение:

Определим критическое число . Теперь найдем верхний уровень . Функция распределения  впервые превысит число R при Х = 5, следовательно .

Для определения  найдем наименьшее значение z, для которого последний раз выполнено неравенство

(так как с = 1). Полагаем, что все денежные суммы кратны 1

Вычислим :

.

Вычислим :

.

Вычислим :

.

Вычислим :

.

Вычислим :

Неравенство 8 < 2 + 6 не выполняется, значит, .

Итак, . Отсюда следует, что при z < 4 запасы стоит пополнять до ; при z ≥ 4 пополнять его не нужно.

6.  Металлургическому заводу для выплавки высоколегированной стали необходимо ежегодно µ = 100 т чугуна. Накладные расходы на запуск производства, доставку партии чугуна составляют g = 5000 руб. Хранение одной тонны чугуна в сутки обходится объединению в h = 2,5 руб. Штрафные потери за нехватку одной тонны чугуна в сутки составляют p = 50 руб. Рассчитайте оптимальный объем партии чугуна. Найдите периодичность пополнения, среднесуточные общие издержки, если поставка осуществляется мгновенно.

Решение:

Для решения задач используем формулы (2.4) – (2.6). Оптимальный объем заказываемой партии:

Периодичность пополнения запасов:

Среднесуточные общие издержки: