Метод сечений для определения внутренних усилий
Эпюры внутренних усилий при растяжении-сжатии и кручении
Понятие о напряжениях и деформациях
Свойства тензора напряжений. Главные напряжения
Упругость и пластичность. Закон Гука
Механические характеристики конструкционных материалов
Растяжение (сжатие) призматических стержней
Составные балки и перемещения при изгибе
Напряжения и деформации при кручении призматических стержней кругового поперечного сечения
Навигация
Свойства тензора напряжений. Главные напряжения
Сопротивление материалов
85824
знака
1
таблица
44
изображения
6. Свойства тензора напряжений. Главные напряжения
Ключевые слова: шаровый тензор напряжений, инвариантность, характеристическое уравнение, девиатор.
Тензор напряжений обладает свойством симметрии. Для доказательства этого свойства рассмотрим приведенный в лекции 5 элементарный параллелепипед с действующими на его площадках компонентами тензора напряжений. Так как тело находится в равновесии, следовательно, находится в равновесии любая его часть, в том числе и элементарный объем. Запишем одно из шести уравнений равновесия этого объема, а имен но - сумму моментов всех сил относительно оси Ох. Все силы, кроме двух, либо не создают момента относительно ocи Ох, либо взаимно уничтожаются. Отличные от нуля моменты создают компоненты yz (верхняя грань) и zy (правая грань):
После сокращения на элемент объема dV=dxdydz получим
Аналогично, приравнивая нулю сумму моментов всех сил относительно осей Оу и Оz, получим еще два соотношения
Эти условия симметрии и тензора напряжений называются также условиями парности касательных напряжений: касательные напряжения, действующие по двум взаимно перпендикулярным площадкам в направлениях, ортогональных ребру, образованному пересечением этих площадок, равны по величине. С учетом этих свойств из девяти компонент тензора напряжений независимыми оказываются шесть компонент.
Покажем теперь, что компоненты тензора напряжений определенные для трех взаимно перпендикулярных площадок, полностью характеризуют напряженное состояние в точке, т. е. позволяют вычислить компоненты вектора напряжений на площадках, произвольно ориентированных относительно выбранной системы координат. Для этого рассмотрим элементарный объем, образованный сечением параллелепипеда, изображенного на рис. 1, плоскостью, пересекающей координатные оси и имеющей единичный вектор нормали n с компонентами nx, ny, nz.
На гранях полученного таким образом бесконечно малого тетраэдра действуют напряжения, показанные на рис. 1. При этом вектор напряжений pn на наклонной площадке разложен па составляющие рx, рy, рz вдоль координатных осей. Площади граней, ортогональных координатным осям и вектору нормали, обозначим соответственно dFx, dFy, dFz, dF. Эти площади связаны между собой соотношениями
dFx=dFnx, dFy=dFny, dFz=dFnz (1)
вытекающими из того, что грани, ортогональные координатным осям, есть проекции наклонной площадки на соответствующую координатную плоскость.
Проектируя силы, действующие на гранях элементарного тетраэдра, на координатные оси, получим уравнения равновесия для рассматриваемого объема. Например, проекции всех поверхностных сил на ось Ох дают
С учетом соотношений (1) после сокращения на dF получим уравнение, связывающее проекцию рx вектора напряжений с соответствующими компонентами тензора напряжений. Объединяя это уравнение с двумя аналогичными уравнениями, полученными проектированием сил на оси Оy и Оz, приходим к следующим соотношениям
(2)
носящим название формул Коши. Эти формулы определяют вектор напряжений на произвольно выбранной площадке с вектором n через компоненты тензора напряжений.
Формулы (2) позволяют вычислить через компоненты тензора напряжений
полное напряжение
(3)
нормальное напряжение
(4)
и касательное напряжение:
Среди всех возможных направлений вектора нормали n существуют такие направления, для которых вектор напряжений pn параллелен вектору n. На соответствующих площадках действуют только нормальные напряжения, а касательные напряжения отсутствуют. Такие площадки называются главными, а нормальные напряжения на этих площадках называются главными напряжениями. Пусть площадка с единичным вектором нормали является главной. Условия коллинеарности векторов pn и n есть условия пропорциональности их компонент:
С учетом формул Коши получим систему линейных однородных уравнений относительно неизвестных компонент nx, ny, nz вектора нормали к главной площадке
Эта система уравнений имеет ненулевое решение, если определитель, составленный из коэффициентов уравнений, обращается в нуль:
Раскрывая определитель, приходим к кубическому уравнению относительно главного напряжения
Здесь введены обозначения
Уравнение (3) называется характеристическим уравнением для тензора напряжений. Коэффициенты (4) этого уравнения называются инвариантами тензора напряжений. Решение кубического уравнения (3) имеет три вещественных корня s1, s2, s3, которые обычно упорядочиваются s1 s2 s3.
Каждому значению j (j=1, 2, 3) соответствует вектор nj, характеризующий положение j-й главной площадки, с компонентами nj1, nj2, nj3. Для нахождения этих компонент достаточно в уравнения подставить найденное значение j и решить любые два из этих уравнений совместно с условием нормировки
(5)
Главные напряжения обладают важным свойством: по сравнению со всеми другими площадками нормальные напряжения на главных площадках принимают экстремальные значения. Для доказательства этого свойства достаточно исследовать на экстремум нормальное напряжение как функцию nx, ny, nz при дополнительном ограничении (5). Можно показать, что три главные площадки, соответствующие главным напряжениям s1, s2, s3, взаимно перпендикулярны или, что то же самое, векторы nj и nk, соответствующие различным значениям j и k - ортогональны. Условие ортогональности имеет вид
Кубическое уравнение (3) можно переписать в виде
Приводя это уравнение к виду (3), получим следующие выражения для инвариантов (4) через главные напряжения:
Термин "инвариантность" обозначает независимость некоторой величины от выбора системы координат.
Введем среднее (гидростатическое) напряжение по формуле
Тензор напряжений можно представить в виде суммы двух тензоров 
, где
Первый тензор называется шаровым, он характеризует изменение объема тела без изменения его формы. Второй тензор, называемый девиатором, характеризует изменение формы.
Особенностью девиатора напряжений является равенство нулю его первого инварианта:
Найдем положение площадок, на которых касательные напряжения принимают экстремальные значения. Для этого нужно отыскать экстремумы касательного напряжения при ограничении (5). Экстремальные касательные напряжения действуют на площадках, параллельных одной из главных осей и образующих с двумя другими осями угол /4. По величине эти напряжения равны
При этом на площадках с экспериментальными касательными напряжениями присутствуют нормальные напряжения, которые равны
Фигура, которую образуют площадки с экстремальными касательными напряжениями, изображена на рис. 2. Она принадлежит к классу параллелоэдров и представляет собой 12-гранник с гранями в виде ромбов, отношение диагоналей которых равно 
.
Таким образом, общая теория напряженного состояния позволяет охватывать, в целом, весь комплекс видов сопротивлений, как простого, так и сложного характера.
Похожие работы
... мощности · Ваттметр · Варметр · Фазометр 2. Основные понятия: сопротивление материалов Сопротивление материалов, наука о прочности и деформируемости элементов (деталей) сооружений и машин. Основные объекты изучения Сопротивление материалов – стержни и пластины, для которых устанавливаются соответствующие методы расчёта на прочность, жёсткость и устойчивость при действии статических и ...
... шрифт Times 16пт; «Курский государственный технический университет» - шрифт №5; в компьютерном варианте шрифт Times 14пт; «Кафедра сопротивления материалов и строительной механики» - шрифт №5; в компьютерном варианте шрифт Times 14пт; названию расчетно-графической работы – шрифт №10; в компьютерном варианте Times 18пт; «расчетно-графическая работа №…» - шрифт №7; в компьютерном варианте Times ...
... сечение 1 мм2 Сопротивление проводника зависит не только от материала, из которого он изготовлен, оно зависит и от его размеров длины и поперечного сечения. где - удельное сопротивление l - длина S – площадь поперечного сечения Схема: Оборудование: приборный щит № 1 амперметр 0 – 1А Вольтметр 0 – 150 В Медный провод Æ ...
... . Электропроводность диэлектриков очень мала, так как переход заметного числа электронов в зону проводимости - случайное явление, обусловленное, например, дефектами структуры. Электрическое сопротивление - свойство материалов как проводников противодействовать электрическому току. Вес вещества, помещенные во внешнее магнитное поле, намагничиваются. Намагничивание связано с наличием магнитных ...
0 комментариев