Особенности переходных процессов в цепях с одним реактивным элементом

3. Особенности переходных процессов в цепях с одним реактивным элементом

В таких цепях характеристическое уравнение будет первого порядка. Получить это уравнение можно, например, так:

По способу Zвх(p)=0, при этом схемы могут иметь вид:

Рис (1) , ,

Рис (2) , .

Видно, что корень характеристического уравнения получается отрицательным, т.е. с течением времени свободная составляющая .

Ясно, что в разных схемах различными получаются величина А, величина , но свободная составляющая всегда будет иметь вид затухающей экспоненты. Для таких функций вводятся специальная характеристика.

Постоянная времени цепи (τ) – есть интервал времени, за который амплитуда свободной составляющей уменьшается в e раз.

Воспользовавшись этим определением, можно найти τ таким образом так как , то

.

В цепи: ,

т.е. τ зависит только от параметров рассматриваемой цепи (τ не зависит от начальных условий и напряжений источника).

Используя понятие τ, можно условно ввести понятие длительности переходного процесса. Так как , то

t	τ	3τ	5τ
	0,36	0,05	0,004

В соответствие с этой таблицей принимают, что переходный процесс длится . К концу этого времени график переходного процесса практически сливается с принужденной составляющей.

Если известен график переходного процесса, из него можно найти τ.

Проще всего сделать так: на глаз определить, где кончается переходный процесс.

Длительность переходного процесса делят на . Это и будет τ.

- Из графика переходного процесса вычитают принужденную составляющую. Это будет график свободной составляющей. Задаются моментом времени t₁ и находят из графика x_св(t₁). Делят эту величину на e и получают x_св(t₁+ τ). Находят на графике эту величину, из нее определяют время t₂ и затем находят τ как τ = t₂ - t₁

- τ есть величина под касательной к графику переходного процесса. Подкасательная – это проекция на ось времени от точки, в которой проведена касательная до точки пересечения этой касательной с асимптотой.

 

Пример: Дано: , , . Найти i(t), u_c(t)

 

1) t<0

i(0_)=0, u_c(0_)=0,

2) t→∞

, ,

Должен существовать переходной процесс, в течении которого от источника энергия передается к конденсатору, а по проводам идет ток, заряжающий конденсатор.

3)   ,

4) ; ,

,

,  ,

5) Расчет начальных условий.

Тогда из получают

6)

,

 

Пример: Дано: , , . Найти .

1)

, ,

2) Расчет принужденной составляющей.

В данном случае принужденный режим есть синусоидальный ток, поэтому расчет проведем символическим методом.

,

Переходят к мгновенному значению:

,

3) ; ,

4)

5)

6) ,

7)

,

График проще всего построить по этапам:

1) принужденная составляющая;

2) exp соответствует свободной составляющей суммы этих графиков.

4. Переходные процессы в цепях с двумя разнородными реактивными элементами

В этих цепях характеристическое уравнение имеет второй порядок, следовательно, будет два корня и две произвольные постоянные в свободной составляющей. Самое главное это то, что у квадратного уравнения есть 3 типа корней (вещественные различные, вещественные одинаковые и пара комплексно-сопряжённых), поэтому вид свободных составляющих в разных цепях получается различным. Рассмотрим возможные варианты на простейших примерах.

Пример:

1) i_L(0_) = 0, u_c(0_)=0,

2) i_пр= 0, u_{R пр} = i_прR = 0

u_{C пр} = E, u_{L пр} = 0

3) Будем искать ток в цепи. Тогда надо иметь два начальных условия: i(0) и i΄(0).

Для цепи после коммутации:

,

  

В данной схеме все 3 способа получения характеристического уравнения имеют одинаковую трудоёмкость.

, ,

,

.

В зависимости от величины подкоренного выражения получаются разные типы корней.

Если , то подкоренное выражение равно нулю, и следовательно получим . Из выражения (*) видно, что это получается при некотором «критическом» значении сопротивления .

Если же R > R_кр то подкоренное выражение положительно, и получим два вещественных различных корня. Если R < R_кр, под корнем будет отрицательное число, и получим пару комплексно сопряжённых корней.

1) R > R_кр (два вещественных различных корня) и тогда решение для тока запишется в виде:

,

,

и при t = 0 получаем два уравнения для расчёта произвольных постоянных:

Из (1): , и подставляя в (2):  

График проще построить по частям (принуждённая составляющая и каждое слагаемое свободной составляющей, а затем сложить).

Говорят, что это апериодический процесс.

Аналогично можно получить выражения и графики для напряжения на электродах:

2) R = R_кр

,

 при

Графики имеют в этом случае точно такой же вид, как и в предыдущем случае, но в первом случае процессы идут медленнее, чем во втором. Этот случай называется критическим переходным процессом.

3) R < R_кр

, ,

т.е. при α→ 0 ω_c стремится к резонансной частоте данной цепи.

Решение запишется в виде:

 (классический метод)

(1) в (2):

(1)/(3):  , из (3)

Видно, что в данном случае свободная составляющая представляет собой затухающую во времени синусоиду. Такой переходной процесс называется колебательным или периодическим, и график его проще построить так: симметрично относительно принуждённой составляющей строим график амплитуды свободной составляющей (график огибающей процесса), дальше в график огибающей вписывают синусоиду с её начальной фазой и периодом свободных колебаний.

,  - коэффициент затухания,

 - частота свободных колебаний.

Рассматривать цепи более высокого порядка смысла нет, потому что у любого уравнения корни могут быть трёх видов, а для каждого типа корней мы свободную составляющую уже получили.

5. Временные характеристики цепей

Ранее мы рассматривали частотные характеристики, а временные характеристики описывают поведение цепи во времени при заданном входном воздействии. Таких характеристик всего две: переходная и импульсная.

Переходная характеристика

Переходная характеристика - h(t) - есть отношение реакции цепи на входное ступенчатое воздействие к величине этого воздействия при условии, что до него в цепи не было ни токов, ни напряжений.

Ступенчатое воздействие имеет график:

1(t) – единичное ступенчатое воздействие.

Иногда используют ступенчатую функцию, начинающуюся не в момент «0»:

Для расчёта переходной характеристики к заданной цепи подключают постоянный ЭДС (если входное воздействие – напряжение) или постоянный источник тока (если входное воздействие – ток) и рассчитывают заданный в качестве реакции переходный ток или напряжение. После этого делят полученный результат на величину источника.

Пример: найти h(t) для u_cпри входном воздействии в виде напряжения.

1) ,

2) ,

3) , ,

,

,

 

Пример: ту же задачу решить при входном воздействии в виде тока

1) ,

2) ,

3) , ,

,

,

Импульсная характеристика

Импульсная характеристика - g(t) – есть отношение реакции цепи на входное воздействие в виде дельта - функции к площади этого воздействия при условии, что до подключения воздействия в схеме не было ни токов, ни напряжений.

δ(t) – дельта-функция, дельта-импульс, единичный импульс, импульс Дирака, функция Дирака. Это есть функция:

Рассчитывать классическим методом g(t) крайне неудобно, но так как δ(t) формально является производной , то найти её можно из соотношения g(t)=h(0)δ(t) + dh(t)/dt.

Для экспериментального определения этих характеристик приходится действовать приближённо, то есть создать точное требуемое воздействие невозможно.

На вход падают последовательность импульсов, похожих на прямоугольные:

t_ф – длительность переднего фронта (время нарастания входного сигнала);

t_и – длительность импульса;

К этим импульсам предъявляют определённые требования:

а) для переходной характеристики:

- t_паузы должно быть таким большим, чтобы к моменту прихода следующего импульса переходный процесс от окончания предыдущего импульса практически заканчивался;

- t_и должно быть таким большим, чтобы переходный процесс, вызванный возникновением импульса, тоже практически успевал заканчиваться;

- t_ф должно быть как можно меньше (так, чтобы за t_ср состояние цепи практически не менялось);

- X_m должна быть с одной стороны такой большой, чтобы с помощью имеющейся аппаратуры можно было бы зарегистрировать реакцию цепи, а с другой: такой маленькой, чтобы исследуемая цепь сохраняла свои свойства. Если всё это так, регистрируют график реакции цепи и изменяют масштаб по оси ординат в X_m раз (X_m =5В, ординаты поделить на 5).

б) для импульсной характеристики:

t_паузы – требования такие же и к X_m – такие же, к t_ф требований нет (потому что даже сама длительность импульса t_ф должна быть такой малой, чтобы состояние цепи практически не менялось. Если всё это так, регистрируют реакцию и изменяют масштаб по оси ординат на площадь входного импульса .

Итоги по классическому методу

Основным достоинством является физическая ясность всех используемых величин, что позволяет проверять ход решения с точки зрения физического смысла. В простых цепях удаётся очень легко получить ответ.

Недостатки: по мере возрастания сложности задачи быстро нарастает трудоёмкость решения, особенно на этапе расчёта начальных условий. Не все задачи удобно решать классическим методом (практически никто не ищет g(t), и у всех возникают проблемы при расчёте задач с особыми контурами и особыми сечениями).

До коммутации , .

Следовательно, по законам коммутации u_c1(0) = 0 и u_c2(0) = 0, но из схемы видно, что сразу после замыкания ключа: E= u_c1(0)+u_c2(0).

В таких задачах приходится применять особую процедуру поиска начальных условий.

Эти недостатки удаётся преодолеть в операторном методе.

6. Расчет реакции линейной цепи на входное воздействие произвольного вида с применением временных характеристик цепи

Раньше мы рассматривали два вида входного воздействия:

1) x_вх= δ(t)-на входе будет импульсная характеристика g(t);

2) x_вх= 1(t)-переходная характеристика h(t).

При произвольном заданном виде входного воздействия, в линейной цепи тоже можно найти реакцию. Для этого годятся и g(t) и h(t) и передаточная функция H(p), но в зависимости от формы входного сигнала, сложности цепи и того математического аппарата, которым располагаешь, более удобно будет применить какую-то одну из этих характеристик.

Рассмотрим применение переходной характеристики h(t):

1) На входе действуют прямоугольным импульсом

Воспользуемся принципом наложения и представим этот импульс в виде двух скачков U_m1(t) и -U_m1(t-t_u).

Если нам известна переходная характеристика на h(t), то реакция на каждый скачок записывается очень просто U_mh(t) и -U_mh(t-t_u) (h(t)=1-e^-t/τ).

Вся реакция определяется сложением этих двух графиков.

Т.е. для 0≤t<t_u U_вых(t)=U_mh(t), t≥t_uU_вых(t)=U_mh(t)–U_mh(t-t_u).

2) Входной сигнал – функция, которая в некоторые моменты времени изменяется скачком, а между этими моментами постоянно.

И в этом случае задача решается просто: раскладываем входной сигнал на совокупность скачков и записываем для каждого интервала времени свое выражение для реакции:

0≤t<10^-3 x_вых=5∙h(t)

10^-3≤t<2∙10^-3 x_вых=5∙h(t)+10∙h(t-10^-3)

t≥2∙10^-3 x_вых=5∙h(t)+10∙h(t -10^-3) -18∙h(t -2∙10^-3).

Все такие задачи решаются с помощью h(t).

1) Входной сигнал в некоторый момент времени имеет скачки, а между

этими моментами времени плавно изменяется по тому-то закону (или вообще плавно изменяется без скачков).

Представим себе, что этот сложный сигнал приближенно м.б. составлен из нескольких скачкообразных воздействий (первое воздействие имеет амплитуду x_вх(0) и возникает в момент t=0, второе воздействие возникает в некоторый момент t₁ и имеет амплитуду x_вх(t₁)-x_вх(0)=∆x_вх(t₁), третий сигнал поступает в момент t₂ и имеет амплитуду ∆x_вх(t₂) и т.д.). Значит можно написать, что для некоторого момента t:

x_вх(t)≈x_вх(0)1(t)+∑∆x_вх(t_j)1(t-t_j) (*).

В сумме учитывая все те ступеньки, которые возникли до нашего момента времени t. Если ступеньки брать помельче, выражение будет получаться поточнее, но все равно приближенно. Получим теперь точное выражение. В нашем случае:

x_вых(t)≈x_вх(0)h(t)+∑∆x_вх(t_j)∙h(t-t_j) (**).

Известно, что ∆x_вх(t_j)/∆t_j≈x(t_j) и тогда (**) перепишется x_вых(t)≈x_вх(0)∙h(t)+∑x_вх′(t_j)∆t_jh(t-t_j). Уменьшая ∆t_j до dt_j вместо суммы получим интеграл: (для удобства записи t_j→λ)

Если бы функция имела скачки не только в момент 0, но и в какие-то другие моменты. Пришлось бы для каждого интервала времени в котором функция непрерывна, записывать свои выражения отличающиеся друг от друга наличием реакции на скачки случившиеся до рассмотрения момента времени t.

Пример: Есть h(t)=0,5e^-500t. Надо найти реакцию цепи на входное воздействие.

 

Описывает входное воздействие аналитически. В нашем случае можно считать, что в интервале от 0 до 10^-3 U_вх1(t)=a+b∙t:

30=10+b∙10^-3; a=10; b=2∙10⁴.

U_вх2(t)=15+A∙e^-t/τ; τ=8∙10^-4 ; t/τ=10^-3/8∙10^-4 ;

U_вх2(t=10^-3)=5=15+A∙e^-1,25; A≈-30.

Теперь для каждого интервала времени записываем свое выражение:

0≤t<10^-3

.

Берем интеграл, приводим подобные члены, строим графики. Но в рамках курса ТОЭ РГРТУ требуется ответ до состояния

t≥10^-3

 

Применение импульсных характеристик

Известно, что

1) g(t)= ^-1{H(p)},

2) x_вых(p)=x_вх(p)H(p),

3) =,

Пусть , ,

тогда =^-1=

Фактически это есть другая форма интеграла Дюамеля, которая может быть получена используя связь g(t) и h(t). Порядок применения получения выражения такой же, но при численном нахождении интеграла удобней использовать собственно интеграл Дюамеля.

Применение передаточной функции

Если известно H(p) и x_вх(t), можно записать изображение x_вх(p), вычислить x_вых(p)=H(p)x_вх(p) и перейти к оригиналу.

Особенно удобно применять H(p)тогда, когда x_вх(t) имеет простой вид, позволяющий легко записать изображение x_вх(p) либо сразу для всего сигнала, либо разложение его на более простые компоненты и воспользовавшись принципом положения.

Например:

x_вх(t)=10e^-100t

, ,

, , ,

, ,

,

,

Этот входной сигнал можно представить в виде совокупности двух более простых. Тогда

1) Для 0 ≤t<10^-2

,

2) Для t≥10^-2, t<2∙10^-2

3) .

Теперь умножая на H(p) находим изображающие реакции и затем переходим к оригиналу.

Список используемых источников

1. Основы теории цепей. Учебник для вузов./ Г.В. Зевеке, П.А. Ионкин, А.В. Нетушил, С.В. Страхов.-5-е изд. перераб.-М.: Энергоатомиздат, 1989. 528 с.

2. В.П. Попов. Основы теории цепей. Учебник для вузов. -М.: Высшая школа, 1985. 496 с.

3. Теория электрических цепей: Методические указания к лабораторным работам / Рязан. гос. радиотехн. акад.; Сост.: С.М. Милюков, В.П. Рынин; Под ред. В.П. Рынина. Рязань, 2002. 16 с.,2004. 20 с. (№3282, №3624)

4. Электротехника и электроника: Методические указания к расчетно-графической работе / Рязан. гос. радиотехн. акад.; Сост. Г.В. Спивакова. Рязань, 2005. 16 с. (№3665)

5. М.Р. Шебес. Теория линейных электрических цепей в упражнениях и задачах. М.: Высшая школа, 1990. 528 с.

6. Матханов П.Н. Основы анализа электрических цепей. Нелинейные цепи: Учеб. для электротехн. спец. вузов. –2-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1986. –352 с.

7. Каплянский А.Е. и др. Теоретические основы электротехники. Изд. 2-е. Учеб. пособие для электротехнических и энергетических специальностей вузов. –М.: Высш. шк., 1972. -448 с.

8. Теоретические основы электротехники. Т. 1. Основы теории линейных цепей. Под ред. П.А. Ионкина. Учебник для электротехн. вузов. Изд. 2-е, перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1976. –544 с.