ЗАДАЧИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ РИСКА

3. ЗАДАЧИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ РИСКА

Задача 3.11

Двум строительным объектам А и Б по разным дорогам (шоссейной и проселочной) доставляется однородный груз одной и той же машиной. Объекту А необходимо Х_Т груза; объекту Б необходимо Y_T груза. Если машина доставляет груз в пункт А, то с вероятностью Р₁ она перевозит часть R₁ груза, а с вероятностью (1-P₁) машина выходит из строя. Если машина доставляет груз в пункт Б, то с вероятностью Р₂, она перевозит часть R₂, потребного для этого объекта груза, а с вероятностью (1-P₂) машина выходит из строя. В течение смены машина может сделать три рейса.

В какой последовательности необходимо использовать машину для перевозки грузов, чтобы математическое ожидание общего количества груза, доставленного в пункты А и Б, было максимальным? Найти это математическое ожидание.

Исходные данные для различных вариантов приведены в таблице5.

Таблица 5 – Исходные данные

P1	R1	X	P2	R2	Y
0,9	0,4	20	0,8	0,7	30

Решение

Математическое ожидание :

Первым рейсом следует провести 21 т. груза в Б. Вторым рейсом можно отправить Х груза в А или Y(1-R₂) в пункт Б:

Выберем отправку вторым рейсом 8т. груза в А. Третьим рейсом можно отправить остаток Х(1-R₁) груза в А или Y(1-R₂) в пункт Б:

Третьим рейсом целесообразнее отправить 12т. груза в А, так как математическое ожидание 10,8 > 7,2. На четвертый рейс следующей смены осталось доставить Y(1-R₂) = 9т. груза в Б, с математическим ожиданием:

Максимальное математическое ожидание общего количества перевезенного в пункты А и Б груза равно:

Таким образом, груз следует доставлять в пункты А и Б в следующих объемах и последовательности:

Рейсы	А	Б
1 2 3 4	- 8т. 12т. -	21т. - - 9т.
Итого:	20т.	30т.	max qi = 42

4. ЗАДАЧИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

Задача 4.2

Мелитопольский станкостроительный завод им. 23 Октября выпускает токарно-револьверные автоматы (ТРА) на базе модели 1Б118 двух классов:

1) высший класс - станки повышенной точности 1М118П, оснащенные дополнительными устройствами, значительно расширяющими технологические возможности ТРА;

2) серийная модель 1M118, стоимость которой существенно ниже стоимости модели 1М118П.

Рынком сбыта ТРА традиционно владеют фирмы "Index" и "Traub". Для развития производства и эффективной работы станкозаводу необходимо "прорваться" на рынок сбыта станков, занятый всемирно известными фирмами. Прибыль завода зависит от объёма выпускаемых станков, их номенклатуры и возможной реализации в следующих регионах:

1. Украина.

2. Россия.

3. Белоруссия.

4. Страны Балтии.

5. Страны восточной Европы.

Для станкозавода эта прибыль в зависимости от региона сбыта и класса станков задана в таблице вариантов заданий.

Определить:

1. Оптимальную стратегию поведения станкозавода (номенклатуру и соотношение объёмов выпуска станков различных классов, рынки сбыта).

2. Дать экономическую интерпретацию (гарантированную прибыль) оптимальной стратегии станкозавода.

Таблица 6 – Исходные данные

Класс станка	Прибыль
	1	2	3	4	5
1	8	4	7	9	4
2	7	10	8	6	11

Решение

Из исходных данных видно:

Класс станка	Прибыль
	1	2	3	4	5	minj
1	8	4	7	9	4	4
2	7	10	8	6	11	6
maxi	8	10	8	9	11

max_i = {8, 10, 8, 9, 11};min_j = {4, 6}.

min_j max_i a_ij = min {8, 10, 8, 9, 11} = 8 – обозначим β.

max_i min_j a_ij = max {4, 6} = 6 – обозначим α.

Так как α = 6 ≠ β = 8, седловая точка в заданной платежной матрице отсутствует. Цена игры 6 < v < 8. Игра не имеет решения в чистых стратегиях. Выбирая доминирующие стратегии для игрока В получим матрицу 2 х 2.

	В4	В5
А1	9	4
А2	6	11

Вероятность чистых стратегий:

Оптимальные смешанные стратегии S_A и S_B, заданные вероятностями применения входящих в них чистых стратегий имеют решение:

Цену игры (средние платежи) смешанной стратегии определяем графически:

8 10*x/5=1/1;

6 х = 0,5; v = 6 + 0.5 = 6.5

х

4

2 Цена игры 6 < v = 6,5 < 8

0

5/10

Выводы

1. Станкозаводу следует выпускать 0,5 объема станков повышенной точности и 0,5 объема - серийные ТРА.

2. Станки направлять для реализации в страны Балтии и страны Восточной Европы.

3. Какую бы стратегию поведения не выбрали фирмы "Index" и "Traub" в любом регионе сбыта, они не смогут снизить прибыль станкозавода ниже, чем 6,5 млн. грн. в год, если станкозавод будет придерживаться стратегий по пунктам 1 и 2 выводов.

Задача 16

Компания "Kilroy" выпускает очень специфичный безалкогольный напиток, который упаковывается в 40-пиитовые бочки. Напиток готовится в течение недели, и каждый понедельник очередная партия готова к потреблению. Однако в одно из воскресений всю готовую к продаже партию пришлось выбросить. Секретный компонент, используемый для приготовления напитка, покупается в небольшой лаборатории, которая может производить каждую неделю в течение полугода (так налажено производство) только определенное количество этого компонента. Причем он должен быть использован в кратчайший срок.

Переменные затраты на производство одной пииты напитка составляют 70 пенсов, продается она за 1,50 ф.ст. Однако компания предвидит, что срыв поставок приведет к потере части покупателей в долгосрочной перспективе, а следовательно, придется снизить цену на 30 пенсов.

За последние 50 недель каких-либо явных тенденций в спросе выявлено не было:

Спрас на бочки в неделю	3	4	5	6	7
Число недель	5	10	15	10	10

1. Для того чтобы определить, что нужно предпринять, используйте каждое из правил: максимакса, Лапласа, Вальда, Сэвиджа, Гурвица и минимума ожидаемых возможных потерь.

2. Исследуйте чувствительность: изменит ли увеличение продажной цены до 1,75 ф.ст. какое-либо решение?

Решение

Итак, в начале недели можно изготавливать для последующей продажи от трех до семи бочек напитка. В целом каждое решение и его исходы примерно равны, но, принимая решение, невозможно контролировать исходы. Покупатели определяют их сами, поэтому исходы представляют собой также "фактор неопределенности".

Отдача в денежном выражении для любой комбинации решений и исходов приведена в таблице 7.

Таблица 7 – Доход (прибыль) в неделю, ф.ст.

Возможные исходы: спрос бочек в неделю	Число изготовленных для продажи бочек (возможные решения)
	3	4	5	6	7
3	2,4	2,9	3,4	3,9	4,4
4	2,4	3,2	3,7	4,2	4,7
5	2,4	3,2	4,0	4,5	5,0
6	2,4	3,2	4,0	4,8	5,3
7	2,4	3,2	4,0	4,8	5,6
минимум	2,4	2,9	3,4	3,9	4,4

Здесь доход в неделю в ф.ст. найден следующим образом:

а₃₃,…., а₃₇ = (1,5 – 0,7)*3 = 2,4;

а₄₃ = (1,5 – 0,7)*3 + (1,5 – 0,7 – 0,3)*1 = 2,9;

а₄₄,…., а₄₇ = (1,5 – 0,7)*4 = 3,2;

а₅₃ = (1,5 – 0,7)*3 + (1,5 – 0,7 – 0,3)*2 = 3,4;

а₅₄ = (1,5 – 0,7)*4 + (1,5 – 0,7 – 0,3)*1 = 3,7;

а₅₅,…., а₅₇ = (1,5 – 0,7)*5 = 4,0 и т.д.