Метод экспоненциального сглаживания

3. Метод экспоненциального сглаживания

Выберем теперь форму зависимости (линейную или параболическую) методом экспоненциального сглаживания.

Рассчитаем начальные условия экспоненциального сглаживания для линейной тенденции:

,

где  – параметр сглаживания;.

Выберем =0,3

На основе расчета начальных условий определяем оценки коэффициентов и характеристики сглаженных значений.

Формулы расчета оценок коэффициентов:

Формулы расчета характеристик сглаживания динамического ряда:

Расчет оценок коэффициентов, характеристик сглаженных значений, прогнозных значений по линейной форме экспоненциального сглаживания () и квадратов ошибок сведем в таблицу:

	S1	S2	a0	a1
3,5	3,692	4,2548	3,1292	-0,3752	2,754	0,556516
5,2	4,2952	4,27096	4,31944	0,01616	4,3356	0,74718736
2,2	3,45712	3,945424	2,968816	-0,325536	2,64328	0,196497158
3,6	3,514272	3,772963	3,255581	-0,1724608	3,08312	0,267164934
7,1	4,9485632	4,243203	5,653923	0,47024	6,1241632	0,95225746
6,9	5,7291379	4,837577	6,620699	0,594373888	7,21507264	0,099270768
4,1	5,0774828	4,933539	5,221426	0,095962266	5,31738842	1,482034555
5,3	5,1664897	5,026719	5,30626	0,093180119	5,39943995	0,009888303
10,1	7,1398938	5,871989	8,407798	0,845269727	9,25306811	0,717293628
4,8	6,2039363	6,004768	6,403105	0,13277883	6,53588335	3,013291001
7,7	6,8023618	6,323806	7,280918	0,319037494	7,5999555	0,010008902
16,8	10,801417	8,11485	13,48798	1,791044614	15,2790286	2,313354018
9,8	10,40085	9,02925	11,77245	0,914400039	12,6868503	8,333904844
14,5	12,04051	10,23375	13,84727	1,204503986	15,0517701	0,304450249
13,7	12,704306	11,22197	14,18664	0,988220769	15,174858	2,17520614
19	15,222584	12,82222	17,62295	1,600243488	19,2231924	0,049814834
5	11,13355	12,14675	10,12035	-0,67546729	9,44488196	19,75697565
12	11,48013	11,8801	11,08016	-0,26664841	10,8135091	1,407760654
11,3	11,408078	11,69129	11,12486	-0,18880986	10,9360534	0,132457117
17,5	13,844847	12,55271	15,13698	0,861421592	15,9984008	2,254800093
13,1	13,546908	12,95039	14,14342	0,397677461	14,5411018	2,076774272
17,9	15,288145	13,88549	16,6908	0,93510118	17,6258978	0,075132009
9,6	13,012887	13,53645	12,48932	-0,34904247	12,1402807	6,453026248
						53,38506621

Определим начальные условия экспоненциального сглаживания при параболической тенденции:

Выберем

Соответственно: = -3,5166014; =-8,3384654; =-13,4803294

На основе расчета начальных условий определяем оценки коэффициентов и характеристики сглаженных значений. Расчет оценок коэффициентов, характеристик сглаженных значений, прогнозных значений по параболической форме экспоненциального сглаживания и квадратов ошибок сведем в таблицу:

yi	Характеристики			Оценки коэффициентов
	S1	S2	S3	a0	a1	a2
3,5	-2,1132811	-7,09343	-12,2029	2,737493	1,176307311	-0,00808583	3,91383304	0,171257789
5,2	-0,6506249	-5,80487	-10,9233	4,539396	1,307567679	0,002236112	5,84696599	0,41856499
2,2	-0,0804999	-4,65999	-9,67067	4,067818	0,915810984	-0,02694854	4,98399185	7,7506106
3,6	0,6556001	-3,59688	-8,45591	4,301519	0,740885761	-0,03790978	5,04312342	2,082605212
7,1	1,9444801	-2,4886	-7,26245	6,036806	0,927243389	-0,02129738	6,96427656	0,018420853
6,9	2,935584	-1,40377	-6,09071	6,927341	0,900178696	-0,02172458	7,82775603	0,860731248
4,1	3,1684672	-0,48932	-4,97043	6,002929	0,477055074	-0,05145785	6,4813078	5,670626841
5,3	3,5947738	0,327499	-3,91085	5,890979	0,300937696	-0,06069189	6,19375797	0,798803306
10,1	4,895819	1,241163	-2,88044	8,083524	0,66559622	-0,02918445	8,74954607	1,823725828
4,8	4,8766552	1,968261	-1,9107	6,814478	0,21148275	-0,06066067	7,02780093	4,963096995
7,7	5,4413242	2,662874	-0,99599	7,339363	0,226893959	-0,05502572	7,56777081	0,017484558
16,8	7,7130593	3,672911	-0,06221	12,05824	1,172083885	0,01906433	13,2305026	12,741312
9,8	8,1304475	4,564418	0,863117	11,5612	0,819644091	-0,00845449	12,3808846	6,660965133
14,5	9,404358	5,532406	1,796975	13,41283	1,040514466	0,008532533	14,4533811	0,00217332
13,7	10,263486	6,478622	2,733304	14,0879	0,967225013	0,002471645	15,0551249	1,836363466
19	12,010789	7,585056	3,703655	16,98086	1,395610031	0,034020784	18,3770439	0,388074354
5	10,608631	8,189771	4,600878	11,85746	-0,01686454	-0,07312702	11,8432687	46,83032672
12	10,886905	8,729198	5,426542	11,89966	-0,06882696	-0,07155927	11,8333975	0,027756394
11,3	10,969524	9,177263	6,176686	11,55347	-0,19385244	-0,07551973	11,3624686	0,003902328
17,5	12,275619	9,796934	6,900736	14,33679	0,397867259	-0,02609459	14,7349986	7,645232881
13,1	12,440495	10,32565	7,585718	13,93026	0,196638702	-0,03906748	14,1276666	1,056098587
17,9	13,532396	10,967	8,261974	15,95817	0,567175299	-0,00872643	16,5253867	1,88956183
9,6	12,745917	11,32278	8,874135	13,14354	-0,18901755	-0,06409432	12,956581	11,26663598
								114,9243312

Определим начальные условия экспоненциального сглаживания при параболической тенденции:

Выберем

Соответственно:

= 1,91758335

=-1,2595453

=-4,60049885

На основе расчета начальных условий определяем оценки коэффициентов и характеристики сглаженных значений.

Расчет оценок коэффициентов, характеристик сглаженных значений, прогнозных значений по параболической форме экспоненциального сглаживания () и квадратов ошибок сведем в таблицу:

yi	Характеристики			Оценки коэффициентов
	S1	S2	S3	a0	a1	a2
3,5	4,0123083	0,322011	-3,12375	7,947147	1,813620275	0,04491565	9,76177562	0,742657215
5,2	5,7486158	1,949992	-1,60162	9,794246	1,862385849	0,045368582	11,6576611	3,450904714
2,2	5,9440311	3,148204	-0,17668	8,210805	0,696151358	-0,09717296	8,91167811	6,308526949
3,6	5,9308218	3,982989	1,071224	6,914721	-0,07996759	-0,17704896	6,8504266	0,903310726
7,1	7,9915752	5,185565	2,305526	10,72356	1,132323907	-0,01359714	11,8559729	0,891187203
6,9	8,6841027	6,235126	3,484406	10,83134	0,76321248	-0,05542235	11,5960834	1,679832129
4,1	8,6888719	6,97125	4,530459	9,683325	0,049851182	-0,13282693	9,74199756	1,085758914
5,3	9,0822103	7,604538	5,452683	9,8857	-0,00649776	-0,12382952	9,88686868	0,012798695
10,1	10,857547	8,580441	6,39101	13,22233	1,059105338	0,01610373	14,2815645	0,516149625
4,8	9,910283	8,979393	7,167525	9,960194	-0,43707812	-0,16181241	9,53620743	3,371657732
7,7	12,007198	9,887735	7,983588	14,34198	1,112672366	0,039547931	15,4554323	2,086775904
16,8	13,055039	10,83793	8,83989	15,49123	1,158089937	0,040238477	16,650127	1,322792148
9,8	14,238527	11,85811	9,745355	16,88662	1,274192695	0,049163686	18,162018	1,35028586
14,5	15,666969	13,00077	10,72198	18,72059	1,510309073	0,07115812	20,23343	1,521349651
13,7	17,026878	14,2086	11,76796	20,2228	1,56621064	0,069363232	21,791418	2,532611258
19	17,978815	15,33966	12,83947	20,75693	1,262936101	0,025523494	22,0201889	3,313087501
5	15,34517	15,34132	13,59003	13,60159	-1,65662782	-0,32095738	11,9964693	7,820240766
12	16,531619	15,69841	14,22254	16,72218	-0,25277423	-0,11803844	16,4763703	7,972884921
11,3	16,612133	15,97252	14,74754	16,66636	-0,28139592	-0,10751882	16,3907461	0,167488742
17,5	18,018493	16,58632	15,29917	19,5957	0,751423356	0,0266386	20,347482	0,907290518
13,1	16,092945	16,4383	15,64091	14,60483	-1,23246052	-0,20989346	13,3944003	3,219872312
17,9	16,845062	16,56033	15,91674	16,77093	-0,21852822	-0,06591395	16,5545712	4,183779005
9,6	16,321543	16,4887	16,08832	15,58687	-0,61020409	-0,10423889	14,9820974	0,013901034
								55,37514352

Определим начальные условия экспоненциального сглаживания при параболической тенденции:

Выберем

Соответственно:

= 3,0313761

=1,06416203

=-0,970755225

На основе расчета начальных условий определяем оценки коэффициентов и характеристики сглаженных значений.

Расчет оценок коэффициентов, характеристик сглаженных значений, прогнозных значений по параболической форме экспоненциального сглаживания () и квадратов ошибок сведем в таблицу:

yi	Характеристики			Оценки коэффициентов
	S1	S2	S3	a0	a1	a2
3,5	5,3788257	2,790027	0,533558	8,299952	2,24282099	0,147701582	10,5536813	2,734661735
5,2	7,1472954	4,532935	2,133309	9,976391	2,076938886	0,095437634	12,0578839	5,098039615
2,2	6,8483772	5,459112	3,46363	7,631426	-0,01682611	-0,26942947	7,65089649	1,564742023
3,6	6,4690263	5,863078	4,423409	6,241255	-0,89293167	-0,37054215	5,41697437	0,233313758
7,1	9,0014158	7,118413	5,50141	11,15042	1,669114	0,118222485	12,8265216	0,000703397
6,9	9,5208495	8,079388	6,532601	10,85699	0,797136961	-0,04681077	11,6552198	1,836620752
4,1	9,1925097	8,524636	7,329415	9,333035	-0,37506983	-0,23437677	8,98543167	0,081471237
5,3	9,5155058	8,920984	7,966043	9,749608	-0,16430499	-0,1601865	9,59813271	0,161497319
10,1	11,709303	10,03631	8,79415	13,81313	1,78550802	0,191480082	15,6169656	0,380646557
4,8	10,105582	10,06402	9,302098	9,426785	-1,09285126	-0,32015981	8,38518453	0,469477846
7,7	12,823349	11,16775	10,04836	15,01515	1,937829195	0,238313566	16,9813782	0,006622415
16,8	13,89401	12,25825	10,93232	15,83958	1,572441642	0,137696713	17,4215037	3,692176522
9,8	15,136406	13,40952	11,9232	17,10387	1,525483554	0,106920913	18,6350679	2,673447105
14,5	16,681843	14,71845	13,0413	18,93149	1,75420453	0,127220923	20,6937846	2,86890619
13,7	18,089106	16,06671	14,25146	20,31865	1,67049331	0,092065566	21,9933807	3,216214243
19	18,933464	17,21341	15,43624	20,5964	1,057851513	-0,02538566	21,6545716	2,115778599
5	15,040078	16,34408	15,79938	11,88738	-3,74509187	-0,82164528	8,47983483	0,518637869
12	16,744047	16,50407	16,08125	16,8012	-0,12441845	-0,08125883	16,6800788	6,863987211
11,3	16,766428	16,60901	16,29236	16,76461	-0,14275806	-0,07077229	16,6243542	0,030851434
17,5	18,579857	17,39735	16,73435	20,28188	1,596467573	0,230894027	21,9049998	0,366024715
13,1	15,787914	16,75358	16,74204	13,84506	-2,16385405	-0,43430858	11,7755167	0,030806121
17,9	16,912748	16,81724	16,77212	17,05863	0,142041992	0,022392189	17,2009276	1,957403589
9,6	16,187649	16,56541	16,68944	15,55616	-0,64652505	-0,11276768	14,9159978	0,033856812
								36,93588706

Постоим соответственно графики значений  по исходным данным линейной и параболической формы сглаживания.

Линейная форма:

Параболическая форма:

1) =0,2

2) =0,3

3) =0,4

Видно,что параболическая форма зафисимости экспоненциального сглаживания лучше подогнана к исходным данным.Следовательно, параболическая форма более подходит для прогноза. Сделаем прогноз на 6 лет и представим графической формой.

t	24	25	26	27	28	29
	14,916	14,28855	13,67381	13,0718	12,4825	11,90591