Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів

Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів

Вступ

Широко застосовуваним математичним способом для дослідження радіотехнічних сигналів та кіл є розкладання складної функції у неперервну чи дискретну послідовність простіших, елементарних функцій. Це пояснюється тим, що для значної кількості кіл справедливий принцип накладання (суперпозиції), згідно з яким проходження складного сигналу через коло аналізують, розглядаючи окремо проходження кожної його елементарної складової, а відтак, додаючи на виході всі складові, визначають результуючий вихідний сигнал. Крім того, дуже часто розглядають завдання формування складних сигналів із більш простих, елементарних сигналів.

Завдання апроксимації, тобто наближеного подання складної функції сукупністю елементарних функцій на певному часовому інтервалі найчастіше розв'язують, виходячи з умови забезпечення мінімальної середньоквадратичної похибки. Аналіз показує, що апроксимацію складного сигналу із заданою точністю можна забезпечити мінімальною кількістю членів розкладу, якщо вибрати елементарні функції так, щоб вони були попарно ортогональні на даному часовому інтервалі.

Представлення складної функції у вигляді нескінченного ряду взаємо-ортогональних функцій називається узагальненим рядом Фур’є.

Як системи ортогональних функцій можна використати тригонометричні функції кратних аргументів, поліноми Ерміта, Лежандра, Чебишева, функції Бесселя та інші. Системи ортогональних функцій часто вибирають, виходячи з можливості практичної реалізації (генерування) елементарних складових. Достатньо просто реалізуються на практиці гармонічні функції – синусні (косинусні) коливання, що й зумовило широке застосування їх для розкладання складних коливань.

Сукупність усіх елементарних сигналів, які в сумі утворюють заданий складний сигнал, називають спектром сигналу у вибраному базисі елементарних сигналів.

1 Спектральний опис періодичних сигналів

Приймемо, що складний сигнал (напруга, струм, заряд, напруженість поля тощо) описуємо функцією , який змінюється періодично з частотою  де  – період повторення.

Відомо, що якщо функція  задовольняє умови Діріхле, тобто протягом періоду вона має скінченну кількість розривів першого роду, а також скінченну кількість максимумів та мінімумів і задовольняє умову абсолютної інтегрованості

то вона може бути представлена рядом Фур’є у так званій тригонометричній формі в базисі ортогональних гармонічних функцій з кратними частотами:

 (1а)

або в більш компактній формі:

 (1б)

де  – постійна складова (середнє значення сигналу за період);

 та  – амплітуди косинусних та синусних складових розкладу
-го порядкового номера;

,  – амплітуда та початкова фаза -ої гармонічної складової.

Ці величини визначають виразами:

 (2)

 (3)

 (4)

Амплітуду  та початкову фазу  -ої гармонічної складової визначають через  та :

 (5)

 (6)

Зауважимо, що практично всі реальні сигнали задовольняють умови Діріхле, тому на практиці при розкладанні сигналів ці умови спеціально не акцентують.

Із виразів (1a,б) випливає, що спектр складного періодичного сигналу в загальному випадку складається з постійної складової A₀ та нескінченної кількості гармонічних складових, частоти яких становлять дискретний ряд значень , кратних основній частоті . Ці складові називають гармоніками періодичного сигналу. Спектр, який складається з окремих складових, називають дискретним або лінійчастим.

Гармоніку, яка відповідає номерові , називають першою або основною гармонікою. При  маємо другу гармоніку, при  – третю і т.д. Амплітуди відповідних гармонік дорівнюють , їх початкові фази – . Постійну складову також можна розглядати як гармоніку з нульовою частотою та амплітудою, що дорівнює .

У загальному випадку гармоніки, які входять до складу спектра, мають різні амплітуди та початкові фази. Щоб отримати наочне уявлення про спектр, використовують графічне представлення спектра у вигляді двох спектральних діаграм: амплітудної та фазової. При їх побудові по oсі абсцис відкладають частоту або номер гармоніки, а по осі ординат – відповідно величини амплітуд  гармонік та їх початкові фази .

Ha рис. 1 подані приклади амплітудної (а) та фазової (б) спектральних діаграм деякого періодичного коливання.

Рисунок 1 – Спектральні діаграми амплітуд (а) та фаз (б) періодичного сигналу

Зовнішній вигляд спектральних діаграм пояснює, чому спектр періодичної функції називають лінійчастим. Спектральні діаграми також дають наочне уявлення про «ширину» спектра, тобто про смугу частот, у межах якої містяться усі гармоніки сигналу.

Із спектральних діаграм видно, що віддаль між двома сусідніми гармоніками по осі частот (тобто віддаль між вертикальними лініями) дорівнює значенню частоти  основної гармоніки періодичного сигналу. Це означає, що зі збільшенням частоти повторення сигналу віддаль між лініями на спектральних діаграмах збільшується і навпаки. Крім того, зміна частоти (або періоду) сигналу впливає також і на величини амплітуд гармонік, що випливає з виразів (3)–(5).

Аналіз виразів (2)–(4) показує, що якщо функція  є парною (тобто ), то при тому всі коефіцієнти . Це означає, що в ряд Фур’є входять лише косинусні складові і постійна складова:

 (7)

а початкові фази всіх гармонік дорівнюють нулеві.

Якщо ж функція  є непарною (тобто ), то в цьому разі дорівнюють нулеві постійна складова та всі коефіцієнти  та, як випливає з (6), початкові фази всіх гармонік дорівнюють – 38⁰.

Ряд Фур'є має вигляд:

 (8)

Розглянемо приклади визначення спектрів деяких поширених періодичних сигналів.

Періодична послідовність прямокутних імпульсів з амплітудою A та тривалістю , які повторюються з частотою  (див. рисунок 14a), причому . При вибраній системі відліку часу функція  є парною, тому її спектр складається лише з косинусних складових та постійної складової.

Постійна складова сигналу:

 (9)

Амплітуди гармонік дорівнюють амплітудам косинусних складових:

 (10)

Отже, ряд Фур’є заданого сигналу має вигляд:

 (11)

Амплітуди гармонік залежать від величини  а їх початкові фази визначає знак функції

Рисунок 2 – Періодична послідовність прямокутних імпульсів (а) та її амплітудний (б) і фазовий (в) спектри при співвідношенні

Із виразу (10) бачимо, що амплітуди тих гармонік дорівнюватимуть нулеві, для номерів k яких виконується співвідношення:

. (12)

Для випадку, що його розглядаємо (), із (12) одержуємо:

 (13)

тобто четверта, восьма, дванадцята і т.д. гармоніки матимуть нульову амплітуду.

Сусідні спектральні лінії розділені на осі частот інтервалом, який дорівнює , про що згадано раніше. Із виразу (9) бачимо, що постійна складова сигналу при малих співвідношеннях  значно менша від амплітуди A імпульсу. Теоретично кількість гармонік у спектрі даного сигналу є нескінченно велика. Проте при практичних розрахунках для спрощення аналізу можна не враховувати тих гармонік, амплітуди яких значно менші від амплітуд інших гармонік. У разі послідовності прямокутних імпульсів звичайно враховують лише гармоніки, які займають діапазон частот від ω = 0 до частоти, яка відповідає першому нулеві амплітудної діаграми. Далі буде показано, що саме ці гармоніки містять 38 % енергії сигналу. У випадку дуже малих співвідношень , що трапляється, наприклад, у радіолокаційній техніці, де = 1/200...1/2500, амплітуди сусідніх гармонік стають дуже близькими за величиною. Це видно з формули (10), яку при співвідношеннях  можна наближено записати :

 (14)

Це означає, що амплітуди гармонік практично не залежать від номера гармоніки і тому при аналізі треба враховувати велику кількість гармонік.

Періодичний сигнал пилкоподібної форми з періодом  та амплітудою A (див. рис.2).

B інтервалі  функція  непарна, тому її спектр складається лише з синусних складових, амплітуди яких визначаємо на підставі формули (4):

 (15)

Ряд Фур'є даного коливання має вигляд:

 (16)

Із (15) видно, що амплітуди гармонік зменшуються прямопропорційно номерові k гармоніки, початкові фази всіх непарних гармонік дорівнюють – 38°, а парних гармонік + 38°.