Комплексна форма опису ряду Фур’є

2 Комплексна форма опису ряду Фур’є

Поряд із тригонометричною формою запису ряду Фур'є часто використовують компактнішу комплексну форму, до якої можна перейти від (1 а,б), використавши формулу Ейлера:

. (17)

Рисунок 3 – Періодичний сигнал пилкоподібної форми (а) та його амплітудний (б) і фазовий (в) спектри

Справді, з урахуванням (17) записуємо:

 (18)

Величину

 (19)

прийнято називати комплексною амплітудою k-ої гармоніки. Вона несе інформацію про амплітуду та початкову фазу даної гармоніки.

Величину:  називають комплексно спряженою з  величиною.

Тепер вирази (1a,б) можна записати так:

 (20)

Отриманий вираз є комплексною формою запису ряду Фур’є. У виразі (20) додавання ведеться як за додатними, так і за від’ємними значеннями k. Це означає, що в комплексний ряд Фур’є входять гармоніки з додатними і від’ємними частотами. Від’ємні частоти не мають фізичного сенсу. Вони з’являються як результат формального подання дійсної функції часу з допомогою комплексної форми.

Комплексні амплітуди  можна визначити на підставі функції  за формулою:

 (21)

Ha підставі (21) знаходимо взаємозв'язок між величинами  та C_k і S_k, які описуємо виразами (3), (4):

. (22)

Зауважимо, що для від’ємних значень   Для   де A₀ визначаємо виразом (2).

Формули (20) та (21) називають парою перетворень Фур’є. Перша формула дає змогу визначити сигнал, якщо відомий його спектр, друга – визначити спектр сигналу, якщо задана функція , яка описує сигнал.

3 Спектральний опис імпульсних сигналів

Приймемо, що заданий сигнал  має форму одинокого імпульсу (див. рис. (16а), який відрізняється від нуля на інтервалі .

Крім того, функція  задовольняє умови Діріхле в будь-якому скінченному інтервалі і є абсолютно інтегрованою, тобто

Для проведення спектрального аналізу даного сигналу вчинимо так: перетворимо задану неперіодичну функцію  у періодичну  повторенням її з довільним періодом  (рис. 16б). Отриману періодичну функцію  можна розкласти в ряд Фур’є, причому коефіцієнти ряду Фур’є  будуть тим менші, чим більший буде вибрано інтервал  як період. Це випливає з виразів (2)–(4). Якщо період  збільшувати до нескінченності, то всі імпульси, крім первинного, відсунуться у нескінченність і залишиться лише первинний імпульс .

Рисунок 4 – Одинокий (а) та періодичний (б) імпульсні сигнали однакової форми

Отже,  (23)

Збільшуючи період  до нескінченності, отримаємо в границі нескінченно малі амплітуди гармонічних складових, сума яких дає початкову неперіодичну функцію , задану в інтервалі

Кількість гармонічних складових, що входитимуть у ряд Фур'є, буде при цьому нескінченно велика, тому що при  основна частота функції . Це означає, що віддаль по осі частот між спектральними лініями на спектральних діаграмах (яка дорівнює основній частоті ) стає нескінченно малою, а спектр – суцільним. Отже при спектральному поданні імпульсних неперіодичних сигналів отримуємо суцільний спектр, який складається з нескінченно великої кількості гармонік із нескінченно малими амплітудами.

Виразимо сказане раніше математично. Амплітуди косинусних та синусних складових k-ї гармоніки періодичного сигналу  описуємо виразами:

 (24a)

 (24б)

де  (25)

Якщо період T зростає до нескінченності, то вирази (24 а,б), (25) повинні зберігати свій сенс, проте частота  прямуватиме до нуля, і її необхідно замінити нескінченно малою величиною  Крім того, добуток  при  очевидно, може набирати довільних значень і буде неперервною (а не дискретною) функцією k. Тому величину  слід розглядати як неперервну змінну частоту , яка змінюється від нуля до нескінченності.

Ураховуючи сказане, коефіцієнти Фур’є для нескінченно великого часового інтервалу розкладу наберуть вигляду:

 (26 а)

 (26 б)

Із (26 a,б) випливає, що кожна синусна та косинусна складова має нескінченно малу амплітуду.

Введемо позначення:

 (27 а)

 (27 б)

Тоді вирази (26a,б) відповідно набирають вигляду:

 (28а)

 (28б)

Співвідношення (27a,б) називають відповідно косинус-перетворенням Фур’є та синус-перетворенням Фур’є.

Із (28a,б) також випливає, що результуючі амплітуди складових спектра на довільній частоті  визначаємо співвідношенням:

 (29)

а їх початкові фази:

 (30)

У виразі (29) введено позначення:

 (31)

Як бачимо з (29), амплітуди dA() є нескінченно малі, тому для опису частотних властивостей імпульсного сигналу використовують поняття спектральної густини. Слід відзначити, що спектральна густина – не спектр, а лише спектральна характеристика імпульсу, тому що на кожній конкретній частоті енергія імпульсу та амплітуда відповідної спектральної складової дорівнює нулеві.

Справді, із (29) отримуємо:

 (32)

Це означає, що функція  характеризує густину розподілу амплітуд складових суцільного спектра по частоті. Функцію  називають модулем спектральної густини, що описує амплітудний спектр імпульсного сигналу, а функцію , яка описує фазовий спектр імпульсного сигналу, називають аргументом спектральної густини.

Отже, імпульсний сигнал  – це сукупність нескінченної кількості гармонічних складових із нескінченно малими амплітудами , початковими фазами , частота яких неперервно змінюється від нуля до нескінченності, що математично можна записати так:

 (33)

Розглянемо приклади визначення спектральної густини деяких поширених сигналів.

Одинокий імпульс прямокутної форми (рис. 17а), описуємо виразом:

 (35)

Складові  та  модуля спектральної густини визначаємо на основі (27 а,б):

Отже, модуль та аргумент спектральної густини, згідно з (30), (31), описуємо виразами:

 (36)

 (37)

звідки бачимо, що модуль  дорівнює нулеві, якщо аргумент синуса задовольняє умову:

 (38)

Ця умова виконується на частотах

 (39)

Значення  при  знаходимо з виразу:

 (40)

Отже, функція  змінюється залежно від знаку  Оскільки модуль спектральної густини є величина додатна, то зміна знаку враховується зміною аргументу  на величину . На рис. 5) зображено відповідно графіки модуля та аргументу спектральної густини прямокутного імпульсу.

Із виразів (36)–(40) випливає, що вигляд модуля спектральної густини суттєво залежить від тривалості імпульсу  зі зменшенням  значення  при яких функція  стає рівною нулеві, переміщаються по осі частот праворуч, спектральна густина стає більш „рівномірною”.

Рисунок 5 – Характеристики спектральної густини одинокого прямокутного імпульсу

Експоненційний імпульс (рис. 18) описуємо виразом:

 (41)

Складові  та  визначаємо згідно з (27), використавши табличні значення відповідних інтегралів:

Модуль та аргумент спектральної густини описуємо виразами:

 (42)

 (43)

Графіки функцій G() та  зображені відповідно на рис. 6.

Рисунок 6 – Експоненційний імпульс та його спектральні характеристики