Дифференциальные уравнения

Министерство образования РФ

Московский авиационный институт

(государственный технический университет)

Филиал "Восход"

Кафедра МиПОИС

Курсовая работа

по курсу: Дифференциальные уравнения

Студент гр. ДА 2-40

Воронцов О. В.

Байконур 2005 г.

1. Теоретическая часть

Дифференциальные уравнения, приводящиеся к однородным

Дифференциальные уравнения, которые приводятся к однородным, имеют вид:

Возможны три случая:

1)  Когда C₁=C₂ =0

2)  Когда

Когда

Вводятся новые переменные u и υ так, чтобы правая часть исходного уравнения в этих переменных была однородной функцией нулевого порядка. А именно, делается замена x=u+h, y= υ+k и подбираются постоянные h и k таким образом, чтобы в правой части исходного уравнения после подстановки пропали свободные члены. При подстановке x=u+h, y= υ+k в дробь приравниваются нулю свободные члены числителя и знаменателя, то есть записываются два равенства:

Определитель данной системы линейных алгебраических уравнений: , не равен нулю по условию, поэтому система имеет единственное решение, то есть существует единственная пара чисел h и k, такая что при подстановке x=u+h, y= υ+k правая часть исходного уравнения принимает вид , а само уравнение: . Полученное уравнение является однородным

2. Практическая часть

Задача 1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения:

Решение:

– дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными

Разделим переменные:

Проинтегрируем выражение:

Ответ:

Задача 2. Найти общий интеграл дифференциального уравнения:

Решение:

Следовательно, исходное уравнение является однородным.

Пусть

Произведём замену в исходном уравнении:

 - дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными

Разделим переменные:

Проинтегрируем а затем пропотенцируем выражение:

Но  

Ответ:

Задача 3. Найти общий интеграл:

Решение:

 - дифференциальное уравнение, приводящееся к однородному

Введём новые элементы:

 ,

где h и k должны удовлетворять уравнениям:

 откуда

Таким образом:

 откуда

Подставляя это в исходное уравнение, получим

Или

Сделаем подстановку:

 -

дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными

Упростим левую часть выражения

1+z=A(z-1)+Bz

Z¹: 1=A+B A=-1

z⁰: 1=-A B=2

Проинтегрируем уравнение (**)

ln|z|–2ln|z–1|=ln|U|+C

Пропотенцируем и подставим значение z в выражение

Упрощая данное выражение, получим:

Ответ:

Задача 4. Найти решение задачи Коши:

Решение:

– линейное уравнение

Воспользуемся методом Бернулли:

a)

Разделим переменные:

Проинтегрируем а затем пропотенцируем данное выражение:

б)

Разделяя переменные, подставляя значение υ и интегрируя выражение получим:

Следовательно:

Найдём значение С₂

y|_п/4=1/2

Ответ:

Задача 5. Решить задачу Коши:

Решение:

 - линейное уравнение

Воспользуемся методом интегрирующего множителя:

Ответ:

Задача 6. Найти решение задачи Коши: , y(0)=1

Решение:

 - уравнение Бернулли

Подёлим данное уравнение на (:y²):

Произведём замену и подставим её в исходное уравнение:

z=y^-1

Следовательно:

 - линейное уравнение

Воспользуемся методом Бернулли:

Откуда:

Найдём значение С₂

Следовательно:

Ответ:

Задача 7. Найти общий интеграл дифференциального уравнения:

Решение:

- дифференциальное уравнение в полных дифференциалах

Следовательно, левая часть уравнения является полным дифференциалом некоторой функции

 (*)

Интегрируем по x первое из уравнений (*), при этом считаем, что С является функцией от y:

Дифференцируя полученное, имеем:

Но

Откуда:

Следовательно:

Ответ:

Задача 8. Для данного дифференциального уравнения методом изоклин построить интегральную кривую, проходящую через точку М.

Решение:

Чтобы решить данное дифференциальное уравнение необходимо построить семейство изоклин, показать на них угол наклона касательных и построить интегральные кривые таким образом, чтобы они пересекали изоклины под соответствующим углом:

Откуда

В результате получим следующий график:

Задача 9. Найти линию, проходящую через точку М₀ и обладающую тем свойством, что в любой точке М нормальный вектор  с концом на оси ординат имеет длину равную а и образует угол с положительным направлением оси ординат. М₀(6;4), a=10

Решение:

Подставляя значения функции в точке M найдём значение С:

Ответ:

Задача 10. Найти общее решение дифференциального уравнения:

Решение:

 - дифференциальное уравнение третьего порядка

Пусть

Подставив в исходное уравнение, получим:

Проинтегрируем и поделим на х данное выражение:

Следовательно:

Разделяя переменные и вновь интегрируя, получим:

Повторяем процедуру в третий раз и получаем искомое выражение для y

Ответ:

Задача 11. Найти общее решение дифференциального уравнения:

Решение:

Данное уравнение не содержит х в явном виде

Предположим, что  откуда

Тогда исходное уравнение будет выглядеть так:

Разделим переменные и проинтегрируем выражение:

Но. Тогда

Однако: . Поэтому разделим переменные и проинтегрируем выражение:

Выясним значение С₂:

Следовательно:

Ответ:

Задача 12. Найти общее решение дифференциального уравнения:

Решение:

 - НЛДУ четвёртого порядка

Решение будет записано в виде:

 

Запишем однородное линейное дифференциальное уравнение (ОЛДУ):

Составим и решим для ОЛДУ характеристическое уравнение:

k⁴-3k³+3k²-k=0

k₁=0

k³-3k²+3k-1=0

k₂=1

по методу Горнера:

1 -3 3 -1

1 1 -2 1 0

k³-2k²+1=0

k_3,4=1

Общее решение будет равно:

Найдём частное решение:

6A-2Ax-B=2x

Откуда:

Ответ:

Задача 13. Найти общее решение дифференциального уравнения:

Решение:

 - НЛДУ с постоянными коэффициентами

Составим ОЛДУ и решим соответствующее характеристическое уравнение

Решение НЛДУ запишется в виде:

Общее решение:

Найдём частное решение дифференциального уравнения:

Подставим найдённое в исходное уравнение и выразим коэффициенты

 =>

Частное решение:

Решение дифференциального уравнения:

Ответ:

Задача 14. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение:

 - НЛДУ с постоянными коэффициентами

 

Общее решение

Найдём частное решение:

Подставим найдённое в исходное уравнение и выразим неизвестные коэффициенты:

Частное решение уравнения:

=

Ответ: =

Задача 15. Найти общее решение дифференциального уравнения:

Решение:

По определению гиперболического синуса:

Найдём общее решение

Найдём частное решение:

 

Подставив в исходные уравнения, найдём значения коэффициентов:

Ответ:

Задача 16. Решить задачу Коши:

, ,

Решение:

 - НЛДУ

Общее решение запишем в виде

Запишем ОЛДУ и найдём корни его характеристического уравнения:

Общее решение имеет вид:

Найдём решение частное:

,

где С₁ и С₂– решения системы дифференциальных уравнений

По теореме Крамера:

Интегрируя выражения, получим:

Следовательно, решение будет выглядеть так:

Найдём значения С₁ и С₂

Ответ:

Задача 17. Решить систему дифференциальных уравнений

Решение:

Составим матрицу системы:

Составим характеристическое уравнение det(A-λE)=0, то есть:

Найдём собственные векторы

1)

2)

Запишем общее решение системы уравнений

Отсюда получаем:

Ответ:

Задача 18. Найти кривые, у которых точка пересечения любых касательных с осью абсцисс имеет абсциссу, вдвое меньшую абсциссы точки касания.

Решение:

Но

 =>

Разделим переменные:

Проинтегрируем и пропотенцируем выражение:

Ответ: