Обчислення кратних інтегралів методом Монте-Карло

2. Обчислення кратних інтегралів методом Монте-Карло

Нехай функція неперервна в обмеженій замкнутій області S і потрібно обчислити m-кратний інтеграл

. (1)

Геометрично число I являє собою (m+1)- мірний об’єм прямого циліндроїда в просторі , побудованого на основі S і обмеженого зверху даною поверхнею

, де .

Перетворимо інтеграл (1) так, щоб нова область інтегрування повністю містилась усередині одиничного m-мірного куба. Нехай область S розміщена в m-мірному паралелепіпеді

. (2)

Зробимо заміну змінних

. (3)

Тоді, очевидно, m-мірний паралелепіпед (2) перетвориться в m-мірний одиничний куб   (4)

а, отже, нова область інтегрування σ, яка знаходиться за звичайними правилами, буде повністю розташована усередині цього куба.

Обчислюючи якобіан перетворення, будемо мати:

.

Таким чином, , (5)

де . Увівши позначення  і , запишемо інтеграл (5) коротше в наступному виді: . (5^/)

Укажемо спосіб обчислення інтеграла (5^/) методом випадкових випробувань.

Вибираємо m рівномірно розподілених на відрізку [0, 1] послідовностей випадкових чисел:

Точки  можна розглядати як випадкові. Вибравши досить велике N число точок , перевіряємо, які з них належать області σ (перша категорія) і які не належать їй (друга категорія). Нехай

1.  при i=1, 2, …, n (6)

2.  при i=n+1, n+2, …,N (6^/) (для зручності ми тут змінюємо нумерацію точок).

Зазначимо, що відносно границі Г області σ варто заздалегідь домовитися, чи зараховуються граничні точки або частина їх до області σ, чи не зараховуються до неї. У загальному випадку при гладкій границі Г це не має істотного значення в окремих випадках потрібно вирішувати питання з урахуванням конкретної ситуації.

Узявши досить велике число n точок , приблизно можна покласти: ; звідси шуканий інтеграл виражається формулою

де під σ розуміється m-мірний об’єм області інтегрування σ. Якщо обчислити σ важко, то можна прийняти: , звідси . В окремому випадку, коли σ є одиничний куб, перевірка стає зайвою, тобто n=N і ми маємо просто

.

2.1 Принцип роботи методу Монте–Карло

Датою народження методу Монте-Карло визнано вважати 1949 рік, коли американські учені Н. Метрополіс і С. Услам опублікували статтю під назвою «Метод Монте-Карло», в якій були викладені принципи цього методу. Назва методу походить від назви міста Монте–Карло, що славився своїми гральними закладами, неодмінним атрибутом яких була рулетка – один з простих засобів здобуття випадкових чисел з хорошим рівномірним розподілом, на використанні яких заснований цей метод. Метод Монте–Карло - це статистичний метод. Його використовують при обчисленні складних інтегралів, вирішенні систем рівнянь алгебри високого порядку, моделюванні поведінки елементарних часток, в теоріях передачі інформації, при дослідженні складних економічних систем. Суть методу полягає в тому, що в завдання вводять випадкову величину , що змінюється по якому те правилу . Випадкову величину вибирають так, щоб шукана в завданні величина стала математичною чекання від , тобто .

Таким чином, шукана величина визначається лише теоретично. Щоб знайти її чисельно необхідно скористатися статистичними методами. Тобто необхідно узяти вибірку випадкових чисел  об'ємом . Потім необхідно обчислити вибіркове середнє варіанту випадкової величини  по формулі:

. (1)

Обчислене вибіркове середнє приймають за наближене значення

.

Для здобуття результату прийнятної точності необхідна велика кількість статистичних випробувань. Теорія методу Монте-Карло вивчає способи вибору випадкових величин  для вирішення різних завдань, а також способи зменшення дисперсії випадкових величин.