Рассчитать прогнозные значения на три года вперед

3. Рассчитать прогнозные значения на три года вперед.

В таблице 4 приводятся сведения об уровне среднегодовых цен на говядину из США на рынках Нью-Йорка, амер.центы за фунт.

Данная задача относится к типу задач на моделирование временных рядов. Временной ряд – это совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов времени. Каждый уровень временного ряда формируется под воздействием большого числа факторов, которые условно можно разделить на три группы:

- факторы, формирующие тенденцию ряда;

- факторы, формирующие циклические колебания ряда;

- случайные факторы.

Нанесем значения нашей задачи на график (рисунок 1).

Из структуры графика видно, что основной компонентой временного ряда является возрастающая компонента.

Найдем коэффициенты автокорреляции разного порядка и выберем величину лага.

Расчет коэффициента автокорреляции первого порядка для временного ряда расходов на конечное потребление

t	yt	Yt-1	yt-y1	Yt-1-y2	(yt-y1)( Yt-1-y2)	(Yt-1-y1)2	(Yt-1-y2)2
1	41	-	-	-	-	-	-
2	42	41	-36,07	-35,41	1277,24	1301,04	1253,87
3	49	42	-29,07	-34,41	1000,29	845,06	1184,05
4	64	49	-14,07	-27,41	385,66	197,9	751,31
5	53	64	-25,07	-12,41	311,12	628,5	154
6	44	53	-34,07	-23,41	797,58	1160,76	548,03
7	52	44	-26,07	-32,41	844,93	679,6	1050,41
8	51	52	-27,07	-24,41	660,78	732,8	595,85
9	71	51	-7,07	-25,41	179,65	50	645,67
10	92	71	13,93	-5,41	-75,36	194,04	29,27
11	87	92	8,93	15,59	139,22	79,75	243,05
12	86	87	7,93	10,59	83,98	62,89	112,15
13	99	86	20,93	9,59	200,72	438,06	91,97
14	96	99	17,93	22,59	359,86	321,48	510,31
15	97	96	18,93	19,59	370,84	358,34	383,77
16	89	97	10,93	20,59	225,05	119,46	423,95
17	77	89	-1,07	12,59	-13,47	1,14	383,77
18	81	77	2,93	0,59	1,73	8,58	0,35
19	82	81	3,93	4,59	18,04	15,44	21,07
20	87	82	8,93	5,59	49,92	79,74	31,25
21	94	87	15,93	10,59	168,7	253,76	112,15
22	90	94	11,93	17,59	209,85	142,32	309,41
23	90	90	11,93	13,59	162,13	142,32	184,69
24	93	90	14,93	13,59	202,9	222,9	184,69
25	87	93	15,93	16,59	264,28	253,76	275,23
26	84	87	5,93	10,59	62,8	35,16	112,15
27	85	84	6,93	7,59	52,6	48,02	57,61
28	86	85	7,93	8,59	68,12	62,88	73,79
	2149	2063	9,25	11,02	8016,65	8435,7	9723,82

y₁ = ∑ у_t / (n-1) =

(42+49+64+53+44+52+51+71+92+87+86+99+96+97+89+77+81+82+87+9

4+90+90+93+87+84+85+86)/27= 2149/27 = 78,07

у₂ = ∑ у_t-1 / (n-1) =

(41+42+49+64+53+44+52+51+71+92+87+86+99+96+97+89+77+81+82+8

7+94+90+90+93+87+84+85)/27 = 2063/27 = 76,41

r₁= 8016.65/ √(8435,7 х 9723,82) = 0,8951

Таблица Расчет коэффициента автокорреляции второго порядка для временного ряда расходов на конечное потребление

t	yt	Yt-2	yt-y2	Yt-2-y2	(yt-y2)( Yt-2-y2)	(Yt-2-y2)2	(Yt-2-y2)2
1	41	-	-	-	-	-	-
2	42	-	-	-	-	-	-
3	49	41	-33,65	-35,08	1180,44	1132,32	1230.60
4	64	42	-18,65	-34,08	635,6	347,82	1161.45
5	53	49	-29,65	-27,08	802,92	879,12	733.33
6	44	64	-38,65	-12,08	466,89	1493,82	145,93
7	52	53	-30,65	-23,08	707,4	939,42	532,69
8	51	44	-31,65	-32,08	1015,33	1001,72	1029,13
9	71	52	-11,65	-24,08	280,53	135,72	579,85
10	92	51	9,35	-25,08	-234,5	87,42	629,01
11	87	71	4,35	-5,08	-22,1	18,92	25,81
12	86	92	3,35	15,92	53,33	11,22	253,45
13	99	87	16,35	10,92	178,54	267,32	119,25
14	96	86	13,35	9,92	132,43	178,22	98,41
15	97	99	14,35	22,92	328,9	205,92	525,33
16	89	96	6,35	19,92	126,5	40,32	396,81
17	77	97	-5,65	20,92	-118,2	31,92	437,65
18	81	89	-1,65	12,92	-21,32	2,72	166,93
19	82	77	-0,65	0,92	-0,6	0,42	085
20	87	81	4,35	4,92	21,4	18,92	24,21
21	94	82	11,35	5,92	67,2	128,82	35,05
22	90	87	7,35	10,92	80,26	54,02	119,25
23	90	94	7,35	17,92	131,71	54,02	321,13
24	93	90	10,35	13,92	144,07	107,12	193,77
25	87	90	4,35	13,92	60,55	18,92	193,77
26	84	93	1,35	16,92	22,84	1,82	286,29
27	85	87	2,35	10,92	25,66	5,52	119,25
28	86	84	3,35	7,92	26,53	11,22	62,73
	2149	1978			6092,31	7174,72	9422,38

y₁ = ∑ у_t / (n-1) =

(42+49+64+53+44+52+51+71+92+87+86+99+96+97+89+77+81+82+87+9

4+90+90+93+87+84+85+86)/27= 2149/26 = 82,65

у₂ = ∑ у_t-1 / (n-1) =

(41+42+49+64+53+44+52+51+71+92+87+86+99+96+97+89+77+81+82+8

7+94+90+90+93+87+84)/27 = 1978/26 = 76,08

r₂ = 6092,31/√ (7174,72 х 9422,38) = 0,7410

Итак, коэффициент корреляции первого порядка r₁ = 0,8961

коэффициент корреляции второго порядка r₂ = 0,7550

Автоматически в ППП Exel рассчитаем коэффициент корреляции третьего порядка r₃ = 0,6546, и коэффициент корреляции четвертого порядка r₄ = 0,5461

Как видно из полученных данных, наиболее тесная зависимость между среднегодовыми ценами на говядину в США и текущим или предшествующими годами происходит при сдвиге ряда данных на 1 год ( или 1 лаг) r₁ = 0,8951.

Рассчитав коэффициенты автокорреляции 1, 2, 3, 4-го порядков получили автокорреляционную функцию этого ряда. Анализ значений автокорреляционной функции позволяет сделать выводы о наличии в изучаемом временном ряде тенденции.

Для того, чтобы рассчитать прогноз цен на три года вперед, составим уравнение тренда для временного ряда показателей среднегодовых цен на говядину.

У = а + bt,

Где У – выравненное значение среднегодовой цены,

b, t - неизвестные параметры,

а – начальный уровень временного ряда в момент времени t=0.

b – ежегодный прирост (снижение) цены на говядину,

t – значение дат.

Для определения неизвестных параметров a и b в соответствии с требованием способа наименьших квадратов необходимо решить систему нормальных уравнений:

na + b∑t = ∑Y

a∑t + b∑t² = ∑Yxt

Для упрощения системы воспользуемся способом отсчета от условного начала.

Поскольку ∑t = 0, система уравнений примет вид:

 

na = ∑Y

b∑t² = ∑Yxt,

,

a=(41+42+49+64+53+44+52+51+71+92+87+86+99+96+97+89+77+81+82

+87+94+90+90+93+87+84+85+86) / 28 = 76,75

b = 12920/ 1638 = 7,8877

y = 76,75 + 7,89t

Т.е. уравнение линейного тренда имеет вид y = 76,75 + 7,89t. Это означает, что средняя фактическая и выровненная цена, отнесенная к середине периода, т.е. к 1983 г. равна 76,75 амер.центов за фунт, а среднегодовой прирост цены составляет 7,89 центов за фунт.

Таблица 3. Расчет параметров уравнения тренда

№ года	Годы	Среднегодовая цена на говядину, У	Условное обозначение периодов, T	t2	Y x t
1	1970	41	-13	169	533
2	1971	42	-12	144	504
3	1972	49	-11	121	539
4	1973	64	-10	100	640
5	1974	53	-9	81	477
6	1975	44	-8	64	352
7	1976	52	-7	49	364
8	1977	51	-6	36	306
9	1978	71	-5	25	355
10	1979	92	-4	16	368
11	1980	87	-3	9	261
12	1981	86	-2	4	172
13	1982	99	-1	1	99
14	1983	96	0	0	0
15	1984	97	1	1	97
16	1985	89	2	4	178
17	1986	77	3	9	231
18	1987	81	4	16	324
19	1988	82	5	25	410
20	1989	87	6	36	522
21	1990	94	7	49	658
22	1991	90	8	64	720
23	1992	90	9	81	810
24	1993	93	10	100	930
25	1994	87	11	121	957
26	1995	84	12	144	1008
27	1996	85	13	169	1105
Итого		2063	0	1638	12920

По полученному уравнению (функции) можно составить прогнозные оценки: точечные прогнозы и доверительные интервалы прогноза.

Номер прогнозируемого периода будем отсчитывать от 1983 года, когда t=0, тогда t₁₉₉₉ = 16 (1999г.), тогда точечный прогноз удоя молока на 1 гол. на 2000 год составит

У₃₁ = 76,75 + 7,89 х 16 = 202,99

Таким образом, по уравнению тренда стоимость 1 фунта говядины в 1999 г. составила 202,99 американских центов.

Библиографический список

1.  Эконометрика/ Под ред. И.И. Елисеевой.- М.: Финансы и статистика, 2004. – 344 с.

2.  Практикум по эконометрике/ Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2001. – 192 с.

3.  Общая теория статистики/ Под ред. И.И. Елисеевой.- М.: Финансы и статистика, 2001. – 480 с.

4.  Бакирова Р.Р. Эконометрика. Методические указания по выполнению контрольных работ, - БГАУ, 2007. – 7 с.