Расчет показателей эконометрики

Содержание

 

Задача 1

Решение

Задача 2

Решение

Задача 3

Решение

Задача 4

Решение

Задача 5

Решение

Список используемой литературы

Приложение

Задача 1

По регионам страны изучается зависимость ВРП на душу населения (y тыс. руб.) от инвестиций в основной капитал (x - тыс. руб.):

№ региона	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
x, тыс. руб.	9,4	2,5	3,9	4,3	2,1	6,0	6,3	5,2	6,8	8,2
y, тыс. руб.	35,8	22,5	28,3	26,0	18,4	31,8	30,5	29,5	41,5	41,3

Задание

1.  Постройте поле корреляции, характеризующее зависимость ВРП на душу населения от размера инвестиций в основной капитал.

2.  Определите параметры уравнения парной линейной регрессии. Дайте интерпретацию коэффициента регрессии и знака при свободном члене уравнения.

3.  Рассчитайте линейный коэффициент корреляции и поясните его смысл. Определите коэффициент детерминации и дайте его интерпретацию.

4.  Найдите среднюю ошибку аппроксимации.

5.  Рассчитайте стандартную ошибку регрессии.

6.  С вероятностью 0,95 оцените статистическую значимость уравнения регрессии в целом, а также его параметров. Сделайте вывод.

7.  С вероятностью 0,95 постройте доверительный интервал ожидаемого значения ВРП на душу населения в предложении, что инвестиции в основной капитал составят 80% от максимального значения. Сделайте вывод.

 

Решение

1.  Построение поля корреляции производится по исходным данным о парах значений ВРП на душу населения и инвестиций в основной капитал.

2.  Оценка параметров уравнения парной линейной регрессии производится обычным методом наименьших квадратов (МНК).

Для расчета параметров a и b линейной регрессии y = a + b*x решаем систему нормальных уравнений относительно a и b:

По исходным данным (табл. 1.1) рассчитываем Σy, Σx, Σyx, Σx², Σy².

Таблица 1.1 Расчетная таблица

	y	x	yx	x2	y2			Аi
1	35,8	9,4	336,520	88,360	1281,640	41,559	-5,759	16,087
2	22,5	2,5	56,250	6,250	506,250	22,248	0,252	1,122
3	28,3	3,9	110,370	15,210	800,890	26,166	2,134	7,541
4	26,0	4,3	111,800	18,490	676,000	27,285	-1,285	4,944
5	18,4	2,1	38,640	4,410	338,560	21,128	-2,728	14,827
6	31,8	6,0	190,800	36,000	1011,240	32,043	-0,243	0,765
7	30,5	6,3	192,150	39,690	930,250	32,883	-2,383	7,813
8	29,5	5,2	153,400	27,040	870,250	29,804	-0,304	1,032
9	41,5	6,8	282,200	46,240	1722,250	34,282	7,218	17,392
10	41,3	8,2	338,660	67,240	1705,690	38,201	3,099	7,504
Итого	305,6	54,7	1810,790	348,930	9843,020	305,600	0	79,027
Среднее значение	30,56	5,47	181,079	34,893	984,302	-	-	-
	7,098	2,23	-	-	-	-	-	-
	50,381	4,973	-	-	-	-	-	-

Система нормальных уравнений составит

Используем следующие формулы для нахождения параметров:

= 2,799

305,6 - 2,799*5,47 = 15,251

Уравнение парной линейной регрессии:

 = 15,251 + 2,799* x

Величина коэффициента регрессии b = 2,799 означает, что с ростом инвестиций в основной капитал на 1 тыс. руб. доля ВРП на душу населения растет в среднем на 2,80 %-ных пункта.

Знак при свободном члене уравнения положительный, следовательно связь прямая.

3.  Рассчитаем линейный коэффициент корреляции:

 или

где , - средние квадратические отклонения признаков x и y, соответственно

Так как = 2,23, = 7,098, то

= 0,879, что означает тесную прямую связь рассматриваемых признаков

Коэффициент детерминации составит

= 0,773

Вариация результата (y) на 77,3% объясняется вариацией фактора (x). На долю прочих факторов, не учитываемых в регрессии, приходится 22,7%.

4.  Средняя ошибка аппроксимации () находится как средняя арифметическая простая из индивидуальных ошибок

= =7,9%,

(см. последнюю графу расчетной табл. 1.1.).

Ошибка аппроксимации показывает хорошее соответствие расчетных () и фактических (y) данных: среднее отклонение составляет 7,9%.

5.  Стандартная ошибка регрессии рассчитывается по следующей формуле:

,

где m – число параметров при переменных x.

В нашем примере стандартная ошибка регрессии

= 3,782

6. Оценку статистической значимости построенное модели регрессии в целом производится с помощью F-критерия Фишера. Фактическое значение F-критерия для парного линейного уравнения регрессии определяется как

F =

где С_факт =  - факторная, или объясненная регрессия, сумма квадратов; С_ост = - остаточная сумма квадратов;

- коэффициент детерминации.

В нашем примере F-критерий Фишера будет равен (см. приложение №1):

F = = 27,233

Табличное значение F-критерия при числе степеней свободы 1 и 8 и уровне значимости 0,05 составит: _0,05 F_1,8 = 5,32, т. е. фактическое значение F (F_факт = 27,233) превышает табличное (F_табл = 5,32), и можно сделать вывод, что уравнение регрессии статистически значимо. Следовательно гипотеза Н₀ отклоняется.

Чтобы оценить значимость отдельных параметров уравнения, надо по каждому из параметров определить его стандартные ошибки: m_b и m_a.

Стандартная ошибка коэффициента регрессии определяется по формуле:

m_b = =

где S² – остаточная дисперсия на одну степень свободы.

Стандартная ошибка параметра a определяется по формуле:

m_a = .

Для нахождения стандартных ошибок строим расчетную таблицу (см. приложение №1).

Для нашего примера величина стандартной ошибки коэффициента регрессии составила:

m_b == 0,536.

Величина стандартной ошибки параметра a составила:

m_a =  = 3,168

Для оценки существенности коэффициента регрессии и параметра a их величины сравниваются с их стандартными ошибками, т. е. определяются фактические значения t-критерия Стьюдента:

t_b=, t_a = .

Для нашего примера

t_b= = 5,222, t_a =  = 4,814

Фактические значения t-критерии превосходят табличные значения:

t_b=5,222 > t_табл = 2,306; t_a = 4,814 > t_табл = 2,306

Поэтому гипотеза Н₀отклоняется, т. е. a и b не случайно отличаются от нуля, а статистически значимы.

7. Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза. Для расчета точечного прогноза  подставим в уравнение регрессии заданное значение факторного признака . Если прогнозное значение инвестиций в основной капитал составит:

 = 9,4*0,8 = 7,52 тыс. руб

Тогда прогнозное значение ВРП на душу населения составит:

= 15,251 + 2,799* 7,52 = 36,299 тыс. руб.

Доверительный интервал прогноза определяется с вероятностью (0,95) как

,

где t_табл – табличное значение t-критерия Стьюдента для уровня значимости (1-0,95) и числа степеней свободы (n-2) для парной линейной регрессии;  - стандартная ошибка точечного прогноза, которая рассчитывается по формуле:

В нашем примере стандартная ошибка прогноза составила

= 4,116

Предельная ошибка прогноза, которая в 95% случаев не будет превышена, составит:

= = 2,306 * 4,116 = 9,491.

Доверительный интервал прогноза

γ= 36,299 9,491;

γ_min = 36,299 – 9,491 = 26,808 тыс. руб.

γ_mаx = 36,299 + 9,491 = 45,79 тыс. руб.

Выполненный прогноз ВРП на душу населения оказался надежным (р = 1 - = 0,95), но не точным, так как диапазон верхней и нижней границ доверительного интервала D_γ составляет 1,708 раза:

D_γ = γ_mаx / γ_min = 45,79 / 26,808 = 1,708.

 

Задача 2

Зависимость валовой продукции сельского хозяйства (y – млн. руб.) от валового производства молока (x₁ – тыс. руб.) и мяса (x₂ – тыс. руб.) на 100 га сельскохозяйственных угодий по 26 районам области характеризуется следующим образом:

= - 2,229 + 0,039* x₁ + 0,303* x₂ R² = 0,956.

Матрица парных коэффициентов корреляции и средние значения:

	y	x1	x2	Среднее
y	1			25,8
x1	0,717	1		364,9
x2	0,930	0,489	1	45,3

Задание

1.  Оцените значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера с вероятностью 0,95. Сделайте выводы.

2.  Найдите скорректированный коэффициент множественной корреляции.

3.  Постройте уравнение множественной регрессии в стандартизованном масштабе и сделайте вывод.

4.  Найдите частные средние коэффициенты эластичности и корреляции; сделайте выводы.

5.  Постройте таблицу дисперсионного анализа для оценки целесообразности включения в модель фактора x₂ после фактора x₁, если известно, что = 1350,5.

6.  Оцените значимость интервала при факторе x₂ через t-критерий Стьюдента и дайте интервальную оценку коэффициента регрессии с вероятностью 0,95.