Параметрическое уравнение циклоиды и уравнение в декартовых координатах

5. Параметрическое уравнение циклоиды и уравнение в декартовых координатах

Допустим, что у нас дана циклоида, образованная окружностью радиуса а с центром в точке А.

Если выбрать в качестве параметра, определяющего положение точки, угол t=∟NDM на который успел повернуться радиус, имевший в начале качения вертикально е положение АО, то координаты х и у точки М выразятся следующим образом:

х= OF = ON - NF = NM - MG = at-a sin t,

y= FM = NG = ND – GD = a – a cos t

Итак параметрические уравнения циклоиды имеют вид:

 (0

≤ t ≤ 2π).

При изменении t от -∞ до +∞ получится кривая, состоящая из бесчисленного множества таких ветвей, какая изображена на данном рисунке.

Так же, помимо параметрического уравнения циклоиды, существует и ее уравнение в декартовых координатах:

, где r – радиус окружности, образующей циклоиду.

 

6. Задачи на нахождение частей циклоиды и фигур, образованных циклоидой

 

Задача №1. Найти площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды, уравнение которой задано параметрически

и осью Ох.

Решение. Для решения данной задачи, воспользуемся известными нам фактами из теории интегралов, а именно:

Площадь криволинейного сектора.

Рассмотрим некоторую функцию r = r(ϕ), определенную на [α, β].

Будем считать, что r и ϕ — полярные координаты точки. Тогда любому

ϕ₀ ∈ [α, β] соответствует r₀ = r(ϕ₀) и, значит, точка M₀(ϕ₀, r₀), где ϕ₀,

r₀ — полярные координаты точки. Если ϕ будет меняться, «пробегая» весь[α, β], то переменная точка M опишет некоторую кривую AB, заданную

уравнением r = r(ϕ).

Определение 7.4. Криволинейным сектором называется фигура, ограниченная двумя лучами ϕ = α, ϕ = β и кривой AB, заданной в полярных

координатах уравнением r = r(ϕ), α ≤ ϕ ≤ β.

Справедлива следующая

Теорема. Если функция r(ϕ) > 0 и непрерывна на [α, β], то площадь

криволинейного сектора вычисляется по формуле:

Эта теорема была доказана ранее в теме определенного интеграла.

Исходя из приведенной выше теоремы, наша задача о нахождении площади фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды, уравнение которой задано параметрические x= a (t – sin t) , y= a (1 – cos t) , и осью Ох, сводится к следующему решению.

Решение. Из уравнения кривой dx = a(1−cos t) dt. Первая арка циклоиды соответствует изменению параметра t от 0 до 2π. Следовательно,

Задача №2. Найти длину одной арки циклоиды

Так же в интегральном исчислении изучалась следующая теорема и следствие из нее.

Теорема. Если кривая AB задана уравнением y = f(x), где f(x) и f^’(x) непрерывны на [a, b], то AB является спрямляемой и

Следствие. Пусть AB задана параметрически

L_AB =  (1)

Пусть функции x(t), y(t) непрерывно-дифференцируемые на [α, β]. Тогда

формулу (1) можно записать так

Сделаем замену переменных в этом интеграле x = x(t), тогда y’(x)= ;

dx= x’(t)dt и, следовательно:

То есть:

А теперь вернемся к решении нашей задачи.

Решение. Имеем , а поэтому

 = 8a

 

Задача №3. Надо найти площадь поверхности S, образованной от вращения одной арки циклоиды

L={(x,y): x=a(t – sin t), y=a(1 – cost), 0≤ t ≤ 2π}

В интегральном исчислении существует следующая формула для нахождения площади поверхности тела вращения вокруг оси х кривой, заданной на отрезке [a,b] параметрически: x=φ(t), y=ψ(t) (t₀ ≤t ≤t₁)

|S|=

Применяя эту формулу для нашего уравнения циклоиды получаем:

 

Задача №4. Найти объем тела, полученного при вращении арки циклоиды

Вдоль оси Ох.

В интегральном исчислении при изучении объемов есть следующее замечание:

Если кривая, ограничивающая криволинейную трапецию задана параметрическими уравнениями и функции в этих уравнениях удовлетворяют условиям теоремы о замене переменной в определенном интеграле, то объем тела вращения трапеции вокруг оси Ох, будет вычисляться по формуле

Воспользуемся этой формулой для нахождения нужного нам объема.

Задача решена.

Заключение

Итак, в ходе выполнения данной работы были выяснены основные свойства циклоиды. Так же научились строить циклоиду, выяснила геометрический смысл циклоиды. Как оказалось циклоида имеет огромное практическое применение не только в математике, но и в технологических расчетах, в физике. Но у циклоиды есть и другие заслуги. Ею пользовались ученые XVII века при разработке приемов исследования кривых линий, — тех приемов, которые привели в конце концов к изобретению дифференциального и интегрального исчислений. Она же была одним из «пробных камней», на которых Ньютон, Лейбниц и их первые исследователи испытывали силу новых мощных математических методов. Наконец, задача о брахистохроне привела к изобретению вариационного исчисления, столь нужного физикам сегодняшнего дня. Таким образом, циклоида оказалась неразрывно связанной с одним из самых интересных периодов в истории математики.

Литература

 

1.  Берман Г.Н. Циклоида. – М., 1980

2.  Веров С.Г. Брахистохрона, или еще одна тайна циклоиды // Квант. – 1975. - №5

3.  Веров С.Г. Тайны циклоиды// Квант. – 1975. - №8.

4.  Гаврилова Р.М., Говорухина А.А., Карташева Л.В., Костецкая Г.С.,Радченко Т.Н. Приложения определенного интеграла. Методические указания и индивидуальные задания для студентов 1 курса физического факультета. — Ростов н/Д: УПЛ РГУ, 1994.

5.  Гиндикин С.Г. Звездный век циклоиды // Квант. – 1985. - №6.

6.  Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.1. – М.,1969

[1] Такая линия и называется «огибающей». Всякая кривая линия есть огибающая своих касательных.