Застосування нарисної геометрії у геодезії

Розділ. І . Метод проекцій з числовими відмітками, проекції точки

1.1 Суть та область застосування метода проекцій з числовими відмітками

Метод проекцій з числовими відмітками /позначками/ застосовується при зображенні рельефа, земної поверхні та проектуванні на ній різних земних споруджень.

Суть методу проекцій з числовими відмітками полягає в тому, що об'єкт, наприклад ділянка земної поверхні, ортогонально проектується тільки на одну, як правило, горизонтальну площину проекцій, При цьому оборотність креслення досягається тим, що поряд з проекціями характерних точок об'єкта проставляються числові відмітки, які вказують, на скільки одиниць довжини віддалені характерні точки об'єкта від горизонтальної площини проекцій.

Пояснимо це на такому прикладі /рис. 1.1./. Нехай трикутник AВС (∆ АВС) являє собою частину площини земного укоса. Ортогонально проектуємо ∆ АВС на горизонтальну площину проекцій π₀ , яку в проекціях з числовими відмітками називають основною площиною, або площиною нульового, рівня. Для цього через вершини ∆ ABC проводимо перпендикулярно до π₀ проецюючі прямі, в перетині яких з π₀ одержимо точки А₄ , В₅ , С₄ , що являють собою проекції вершин ∆ ABC. 3'єднавши точки А₄ , В₅, С₄ відрізками прямих ліній, одержимо ортогональну проекцію ∆АВС на площині π₀.

Для визначення положення точок А , В та С відносно основної площини ∆АВС та площину π₀ віднесемо до просторової прямокутної системи координат О_xyz , розташованої таким чином, щоб дві осі координат O_x та О_y знаходились в основній площині π₀.

Положення точок А₄ , В₅ та C₅ на основній площині π₀ визначається двома координатами - х та y . Наприклад, координати х , у точки А з урахуванням вибраної масштабної одиниці, наведеної на рис. 1.1., мають такі величини: х_А = 8,5; у_А = 2. Це записується так: А₄ /8,5; 2/. Проте по двох координатах точки об'єкта або по одній її проекції неможливо визначити положення точка в просторі.

Для визначення положення точок об'єкта в просторі необхідно знати величини їх третьої координати - координати Z або мати другу ортогональну проекцію об'єкта. Маючи координати х , у , z точок А , В та С , можна визначити їх положення, а отже, і положення л ABC в просторі відносно площини π_{0 .} Координата z вказує на відстань точок об'єкта до горизонтальної площини π₀, тобто визначає висоти цих точок.

Враховуючи, що в проекціях з числовими відмітками об'єкт проектується тільки на одну площину проекцій, а одна проекція на визначає положення об'єкта в просторі, другу фронтальну проекцію, яка дозволяє визначити недостаючу координату z , замінюють числами /числовими відмітками/, що позначають висоти точок відносно площини проекцій π₀ . Числові відмітки проставляють у вигляді індекса справа внизу від позначення горизонтальних проекцій точок об'єкта.

На рис. 1.1. координати Z точок А , В та С : z_А= 4, Z_В = 5, Z _С = 4. Таким чином, А₄ означав, що точка А знаходиться, від основної площини π₀ на віддалі, що дорівнює 4 одиницями вибраного масштаба.

Очевидно, що при доповненні горизонтальних проекцій точок об'єкта їх числовими відмітками, креслення в проекціях з числовими відмітками стає оборотним, тобто таке креслення дає можливість визначити положення будь-якої точки об'єкта відносно площини проекцій або відносно іншої точки об'єкта.

У геодезії за допомогою методу проекцій з числовими відмітками зображають рельєф місцевості, що дозволяє виконувати інженерно-геодезичну розвідку і розбивку споруджень, а в гірництві та геології - вирішувати різноманітні метричні задачі. Цей метод використовують також для зображення і проектування на земній поверхні різних меліоративних та гідротехнічних споруд /греблі, дамби, насипи, виїмки, штучні і регуляційні споруди, меліоративні канали/і інженерно-будівельних споруджень /котловани, будівельні майданчики, мости, тунелі, дорожні естакади/.

Основні переваги методу проекцій з числовими відмітками: простота в побудові зображення об'єкта /найбільш простий метод проектування - ортогональне проектування об'єкта тільки на одну площину проекцій/; зручність у визначенні висотних розмірів об'єкта, поданих у вигляді числових відміток його характерних точок і відносна простота розв'язування метричних задач. До недоліків слід віднести недостатній наочність зображання, а також необхідність у деяких випадках доповнити основне зображення вертикальними перерізами /так званими профілями/.

1.2 Проекції точки. План

На комплексному кресленні /рис. 1.2/віддаль точки А від горизонтальної площини проекцій визначається відрізком А"А_х , тобто координатою z точка А : \ А"А_х \=Z_А. Довжина відрізка \ А"А_х\ -це висота точки А або перевищення її відносно горизонтальної площини проекцій. На рис. 1.1. висота точки А з урахуванням масштабної одиниці дорівнює 4, тобто точка А має координату Z_А= 4.

У методі проекцій з числовими відмітками проекції точок можна розглядати як горизонтальні проекції комплексного креслення.

На рис. 1.3. зображена горизонтальна проекція тієї ж точки А, що і на рис. 1.2. яка визначена координатами х та у точки А : А₄ (х,у). Недостаючу координату Z точки А одержимо, вимірюючи довжину відрізка \А"А_х\ на комплексному кресленні /див. рис. 1.2/: z = А"А_х = 4. Цю висоту точки А , що дорівнює 4 і вказує на віддаль точки А від площини π₀ , записуємо у вигляді числової відмітки. Вона проставляється поряд з горизонтальною проекцією точки А : А₄ , де 4 - числова відмітка точки А .

Числові значення висот точок, що вказують на віддаль точок від горизонтальної площини проекцій /основної площини/, називають числовими відмітками або просто відмітками точок.

Очевидно, що числова відмітка точки разом з її горизонтальною проекцією становить оборотне креслення точки, одержане при її проектуванні на одну площину проекцій, оскільки числова відмітка замінює проекцію точки А на вертикальну площину проекцій, яку можна не відтворювати.

У проекціях а числовими відмітками проекцією точки називається. Її ортогональна проекція на основну площину, що супроводжується числовими відмітками, які вказують на віддаль точки від цієї ж основної площини. При цьому слід пам'ятати, що ортогональні проекції точок можуть не мати літерних позначень. В цьому випадку поряд з проекціями точок проставляються тільки їх числові відмітки.

Числові відмітки можуть бути як додатними, так і від'ємними.

Проілюструємо це на рис. 1.4. де побудовані прямокутні ізометричні проекції точок з урахуванням одиниці масштаба по заданих координатах точок: А /3, 2, 3/; С /2, 3,0/; В /4, З, -З/.

Далі виконуємо такі дії:

1. Через аксонометричні осі О_х та О_у проводимо основну площину π₀

2. Спроектуємо точки А , В та С на площину π₀ одержимо горизонтальні проекції точок А , В та С.

3. Поряд з горизонтальними проекцїями точок проставляємо їх числові відмітки з урахуванням одиниці масштаба /рис. 1.4/. При цьому точка А , яка розташована вище площини π₀, має додатну числову відмітку: 3 - числова відмітка точки А ; точка В , яка розташована нижче площини π₀ , має від'ємну числову відмітку; -З - числова відмітка точки В; точка С , яка знаходиться в площні π₀ , має числову відмітку, що дорівнює нулю.

4. Площину π₀ разом з проекціями точок з числовими відмітками і масштабом сумістимо з площиною креслення /рис. 1.5/. Одержане таким чином креслення називається планом або кресленням у проекціях в числовими відмітками.

Планом називається креслення, що являє собою зменшене та подібне зображення проекцій об'єкта, наприклад ділянки місцевості, на основну площину проекцій.

На плані проекцій точок, що лежать над площиною J, мають додатні числові відмітки, під площиною π₀ - від'ємні /перед числовою відміткою ставиться знак "-"/, а в площині π₀ - нуль.

Осі О_х та О_у , які показані на рис. 1.5. при зображенні місцевості на плані, як правило, не проводять, а положення проекцій точок на плані можна визначити не відносно осей O_х та О_у , а відносно інших точок місцевості, зображених на плані. При цьому рис. 1.5. набуває вигляду рис. 1.6.

В CРСP при зображенні рельєфу земної поверхні висоти її точок введені до нуля Кронштадського футштока /риска на мідній дошці, встановленій у гранітному стояні моста через Обвідний канал у Кронштадті/. При цьому одержимо значення абсолютних висот точок. Проте вдаються до вимірювання умовних висот точок відносно довільно розташованої горизонтальної площини, яку приймають за основну площину /площину нульового рівня/. Наприклад, при розробленні будівельних креслень площину нульового рівня умовно розташовують на рівні підлоги першого поверха будинку.

На практиці часто буває зручно перейти від однієї основної площини проекцій до іншої, їй паралельної і розташованої вище aбo нижче первісно вибраної основної площини. При цьому положення проекцій не змінюється, а тільки змінюються їх числові відмітки на величину, на яку переміщена основна площина.

Наприклад, якщо нова основна площина π₅ розташована вище /рис. 1.7/ первісної площини π₀ на 5 масштабних одиниць, то додатні числові відмітки усіх точок зменшаться на 5 одиниць, а від'ємні - збільшаться за модулем на 5 одиниць; якщо нова основна площина проекцій π_-4 розташована нижче /рис. 1.8/ первісної основної площини π₀ на 4 одиниці , то додатні числові відмітки усіх точок збільшаться на 4 одиниці, а модуль від'ємних відміток зменшиться на 4 одиниці. Нову основну площину позначають буквою Ж з відповідним індексом: π_5,4 /див. рис. 1.7, 1.8/. Така заміна основних площин застосовується при переході від умовних числових відміток до абсолютних і навпаки.