Частотные критерии устойчивости

Частотные критерии устойчивости – 2 часа

Введение

 

При формулировке алгебраических критериев и критерия Михайлова не имеет значения, какой системы (разомкнутой или замкнутой) исследуется устойчивость, т. е. рассмотренные критерии в равной мере применимы для исследования устойчивости разомкнутой и замкнутой систем.

Алгебраические критерии и критерий Михайлова применяются для исследования устойчивости и разомкнутой и замкнутой систем.

Разомкнутая система – это система, в которой отсутствует обратная связь между входом и выходом, т.е. управляемая величина (выходная) не контролируется.

Замкнутая система – это система регулирования по отклонению, на вход УУ через обратную связь поступает информация о фактическом изменении выходной величины.

Критерий Найквиста предназначен для исследования только замкнутых систем. Он позволяет по виду амплитудно-фазовой частотной характеристики разомкнутой системы судить об устойчивости замкнутой системы.

АФЧХ разомкнутой системы – это кривая, которую описывает конец вектора частотной передаточной функции  разомкнутой системы в комплексной плоскости.

1. Частотные критерии устойчивости

Частотными критериями называются критерии устойчивости, основанные на, построении частотных характеристик и кривой Михайлова.

Будут рассмотрены следующие частотные критерии: критерий Михайлова, Найквиста и логарифмический частотный критерий.

Рис.1 Схема для формулировки критерия Михайлова

Пусть характеристический полином системы равен:

Подставим в него :

Кривая Михайлова – это кривая, которую описывает конец вектора на комплексной плоскости при изменении  от 0 до .

Критерий Михайлова. Для того чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы кривая Михайлова, начинаясь при  с действительной положительной полуоси, при возрастании  от 0 до  последовательно обходила п квадрантов в положительном направлении, не попадая в начало координат (рис.1).

Пример Задан характеристический полином системы:

.

Оценить устойчивость системы по критерию Михайлова.

Сначала необходимо подставить в него , получим:

.

Для того, чтобы построить кривую Михайлова, представим характеристический полином в виде:

, т.е. ,

Для построения кривой составим таблицу:

	0	0<<1	1	1<<		>	® ¥
	2	>0	1	>0	0	<0	® – ¥
	0	>0	0	<0	-1,4	<0	® – ¥

Построим кривую Михайлова (рис. 2, кривая 1). В пределах квадранта вид кривой Михайлова на устойчивость не влияет, и она строится весьма приблизительно. Система неустойчива.

Рис.2. Кривые Михайлова

При формулировке алгебраических критериев и критерия Михайлова не имеет значения, какой системы (разомкнутой или замкнутой) исследуется устойчивость, т. е. рассмотренные критерии в равной мере применимы для исследования устойчивости разомкнутой и замкнутой систем.

Алгебраические критерии и критерий Михайлова применяются для исследования устойчивости и разомкнутой и замкнутой систем.

Разомкнутая система – это система, в которой отсутствует обратная связь между входом и выходом, т.е. управляемая величина (выходная) не контролируется.

Замкнутая система – это система регулирования по отклонению, на вход УУ через обратную связь поступает информация о фактическом изменении выходной величины.

Критерий Найквиста предназначен для исследования только замкнутых систем. Он позволяет по виду амплитудно-фазовой частотной характеристики разомкнутой системы судить об устойчивости замкнутой системы.

АФЧХ разомкнутой системы – это кривая, которую описывает конец вектора частотной передаточной функции  разомкнутой системы в комплексной плоскости.

Критерий Найквиста: Пусть l корней характеристического уравнения разомкнутой системы находятся в правой полуплоскости, а остальные п – l корней — в левой полуплоскости. Тогда, для того чтобы замкнутая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая частотная характеристика ее разомкнутой системы с ростом от 0 до  охватывала точку (—1, j0) в положительном направлении, т. е. против движения часовой стрелки, l/2 раз.

В частности, если разомкнутая система устойчива (и, следовательно, l = 0), то, для того чтобы замкнутая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая частотная характеристика ее разомкнутой системы не охватывала точку (—1, j0).

Пример. Дана замкнутая система (рис. 2, а). Оценить устойчивость системы по критерию Найквиста.

Для этого необходимо получить частотную передаточную функцию  разомкнутой системы и построить АФЧХ.

;

Частотная передаточная функция ее разомкнутой системы

W (jw) = U(w) + jV (w),

U(w) = –2/(w² + 1),

V (w) = –2w /(w² + 1).

Для построения АФЧХ составим таблицу:

w	0	w >0	®¥
U(w) V(w)	–2 0	< 0 <0	® 0 ® 0

Амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой системы (рис. 3, б) охватывает точку (–1, j0) в положительном направлении 1/2раз. Необходимо составить характеристическое уравнение разомкнутой системы:

Характеристическое уравнение разомкнутой системы имеет один правый корень, т.е. l= 1. Поэтому замкнутая система по Критерию Найквиста устойчива, поскольку АФЧХ разомкнутой системы охватывает точку (-1;j0) ½ раза в положительном направлении. Алгебраические критерии и критерий Михайлова применяются для исследования устойчивости и разомкнутой и замкнутой систем.

Рис. 3. Структурная схема и амплитудно-фазовая частотная характеристика

Если характеристическое уравнение разомкнутой системы имеет u(u³ 1) нулевых корней или, что-то же, передаточная функция разомкнутой системы имеет вид

W (s) =kW₀(s)/s^u,

где W₀ (0) = 1, то система называется астатической с астатизмом u-го порядка.

Как следует из критерия Найквиста, на устойчивость замкнутой системы влияет не конкретный вид амплитудно-фазовой частотной характеристики ее разомкнутой системы, а только то, сколько раз она охватывает точку (–1, j0). Это можно установить по числу переходов (пересечений) амплитудно-фазовой частотной характеристики отрезка (–¥, –1) действительной оси [левее точки (-1;j0)].

Дадим определения:

Положительный переход (при возрастании частоты) – переход АФЧХ отрезка (–¥, –1) сверху вниз.

Отрицательный переход — это переход АФЧХ отрезка (–¥, –1) снизу вверх (рис. 4, а).

То, сколько раз АФЧХ охватывает точку (–1, j0) в положительном направлении, равно разности между числами положительных и отрицательных переходов на отрезке (-¥, -1).

Поэтому критерий Найквиста можно сформулировать также следующим образом: для того чтобы замкнутая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы разность между числами положительных и отрицательных переходов амплитудно-фазовой частотной характеристики разомкнутой системы отрезка (-¥, -1) была равна l/2 (l — число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы).

Используя связь между амплитудно-фазовой частотной характеристикой и логарифмическими частотными характеристиками, на основе критерия Найквиста нетрудно сформулировать логарифмический частотный критерий устойчивости.

При пересечении амплитудно-фазовой частотной характеристики отрезка (-¥, -1) А(w ) > 1 или L(w ) = 20 lq А (w ) > 0 амплитудно-фазовой частотной и

j (w ) = – (2i + 1)p, i = 0, 1, ... .

Рис. 4 Схема для формулировки логарифмического частотного критерия

Логарифмический частотный критерий: Для того чтобы замкнутая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы разность между числами положительных и отрицательных переходов логарифмической фазовой частотной характеристики разомкнутой системы прямых j (w ) = – (2i + 1)p, ( i = 0, 1, ...) при частотах, при которых L(w ) > 0 (логарифмическая амплитудная частотная характеристика положительна), была равна l/2 (l — число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы).

Положительный переход ЛФЧХ – это пересечение ЛФЧХ прямой j = – (2i + 1)p снизу вверх, отрицательный — сверху вниз (рис. 4, б, в).

Устойчивость систем с запаздыванием. Если система содержит звено чистого запаздывания, включенного последовательно с ее остальной частью, то передаточная функция разомкнутой системы имеет вид

W(s) = W₀ (s)e^st=P (s)e^-st/Q(s).

Наличие запаздывающего звена не влияет на характеристическое уравнение Q(l) = 0 и соответственно на устойчивость разомкнутой системы. Характеристическое уравнение замкнутой системы Q(l) + P(l)e^-lt = 0 становится трансцендентным и к нему непосредственно нельзя применить алгебраические критерии и критерий Михайлова. Критерий Найквиста (включая логарифмический частотный критерий) остается справедливым без изменений для систем с запаздыванием.

Частотная передаточная функция системы с чистым запаздыванием

W(jw) =/W₀ (jw)/e ^j[j(w)-wt] отличается от частотной передаточной функции системы без чистого запаздывания W(jw) = W₀ (jw)/e^-jj(w) только дополнительным сдвигом фазы q(w) =-wt. Запаздывание может сделать устойчивую без запаздывающего звена систему неустойчивой.

Сравнительная характеристика алгебраических и частотных критериев устойчивости. Построение частотных характеристик является более трудоемким, чем вычисление определителей, необходимых для установления устойчивости. Поэтому если параметры системы фиксированы и нужно проверить только ее устойчивость, то, когда это возможно, лучше пользоваться алгебраическими критериями. Если система задается только частотными характеристиками, снятыми экспериментально, или она содержит звено чистого запаздывания, то следует воспользоваться частотными критериями, так как в этом случае алгебраические критерии непригодны.

Как показано в гл. 6, частотные характеристики позволяют судить и о качестве системы. И поэтому если кроме проверки устойчивости нужно оценить качество системы, то и в этом случае целесообразно использовать частотные критерии.

2. Методы выделения области устойчивости

Критерии устойчивости позволяют характеризовать устойчивость системы, если все ее параметры фиксированы. Но часто приходится решать задачу, когда часть параметров системы не фиксирована и их (варьируемые параметры) нужно выбрать так, чтобы система была устойчива и выполнялись какие-либо дополнительные требования к ней. В этих случаях возникает необходимость определения множества всех тех значений варьируемых параметров, при которых система устойчива. Это множество называют областью устойчивости в пространстве параметров, т. е. во множестве различных значений варьируемых параметров.

Область устойчивости – это множество всех значений варьируемых параметров, при которых система устойчива.

Задачу выделения области устойчивости в простейших случаях можно решить, используя критерии устойчивости.

Граница устойчивости. Если часть корней характеристического уравнения находится на мнимой оси, а остальные корни — в левой полуплоскости, то считают, что система находится на границе устойчивости. Значения параметров, при которых система находится на границе устойчивости, называются граничными.

Чтобы найти граничные значения, можно воспользоваться любым из рассмотренных критериев устойчивости. При использовании алгебраических критериев нужно исходить из условия, что система находится на границе устойчивости, если часть коэффициентов и определителей Гурвица равна нулю, остальная часть — больше нуля. Поэтому для определения граничных значений варьируемых параметров нужно приравнять нулю наиболее критичные коэффициенты и определители. Обычно среди коэффициентов такими являются а₀ и а_n, а среди определителей  (предпоследний определитель Гурвица).

Поэтому можно составить следующие три условия нахождения системы на границе устойчивости:

1)  а₀=0

2)  а_n=0

3)  =0.

После нахождения варьируемых параметров из этих уравнений нужно проверить остальные неравенства, входящие в условие устойчивости. Нужно, чтобы они были больше нуля или равны нулю при найденных значениях варьируемых параметров. Тогда найденные значения будут граничными.

Метод Д-разбиения; Выделение области устойчивости на плоскости одного параметра.

3. Методы выделения области устойчивости

Критерии устойчивости позволяют характеризовать устойчивость системы, если все ее параметры фиксированы. Но часто приходится решать задачу, когда часть параметров системы не фиксирована и их (варьируемые параметры) нужно выбрать так, чтобы система была устойчива и выполнялись какие-либо дополнительные требования к ней. В этих случаях возникает необходимость определения множества всех тех значений варьируемых параметров, при которых система устойчива. Это множество называют областью устойчивости в пространстве параметров, т. е. во множестве различных значений варьируемых параметров.

Область устойчивости – это множество всех значений варьируемых параметров, при которых система устойчива.

Задачу выделения области устойчивости в простейших случаях можно решить, используя критерии устойчивости.

Граница устойчивости. Если часть корней характеристического уравнения находится на мнимой оси, а остальные корни — в левой полуплоскости, то считают, что система находится на границе устойчивости. Значения параметров, при которых система находится на границе устойчивости, называются граничными.

Чтобы найти граничные значения, можно воспользоваться любым из рассмотренных критериев устойчивости. При использовании алгебраических критериев нужно исходить из условия, что система находится на границе устойчивости, если часть коэффициентов и определителей Гурвица равна нулю, остальная часть — больше нуля. Поэтому для определения граничных значений варьируемых параметров нужно приравнять нулю наиболее критичные коэффициенты и определители. Обычно среди коэффициентов такими являются а₀ и а_n, а среди определителей  (предпоследний определитель Гурвица).

Поэтому можно составить следующие три условия нахождения системы на границе устойчивости:

4)  а₀=0

5)  а_n=0

6)  =0.

После нахождения варьируемых параметров из этих уравнений нужно проверить остальные неравенства, входящие в условие устойчивости. Нужно, чтобы они были больше нуля или равны нулю при найденных значениях варьируемых параметров. Тогда найденные значения будут граничными.