Статистичні методи оцінки вимірів в експериментальних дослідженнях

Статистичні методи оцінки вимірів в експериментальних дослідженнях

 

Статистичні методи оцінки вимірів в експериментальних дослідженнях. Класифікація помилок вимірювання

Вимірювання – це процес знаходження якої-небудь фізичної величини дослідним шляхом за допомогою спеціальних технічних засобів; це пізнавальний процес порівняння величини чого-небудь з відомою величиною, прийнятою за одиницю (еталон).

Вимірювання бувають статичні, коли вимірювальна величина не змінюється і динамічні, коли вимірювальна величина міняється.

Вимірювання поділяються на прямі і посередні.

При прямих вимірюваннях шукана величина визначається безпосередньо з досліду, при посередніх – функціонально із других величин, які визначені прямими вимірами.

Розрізняють три класи вимірювань.

Особливо точні – еталонні вимірювання з максимально можливою точністю. (Він не застосовується в експериментальних дослідженнях будівельної галузі).

Високоточні – вимірювання, похибка яких не повинна перевищувати заданих значень.

Технічні вимірювання у яких похибка визначається особливостями засобів вимірювання.

Розрізняють абсолютні вимірювання і відносні.

Абсолютні – це прямі вимірювання в одиницях вимірювальної величини (в процентах).

Відносні – вимірювання, які представлені відношенням величини, що вимірюється до однойменної величини, яка є порівняльною. Наприклад відносна вологість грунту W/W_т, де W_т – абсолютна вологість грунту.

Результати вимірювань оцінюються різними показниками:

Похибка вимірювання – це алгебраїчна різниця між дійсним значенням вимірювальної величини (х_д) і отриманим при вимірюванні (х_і).

 (6.1)

Е - абсолютна похибка вимірювання;

δ – відносна похибка вимірюється в процентах;

δ= (6.2)

 

Точність вимірювань – це степінь наближення вимірювання до дійсного значення величини.

Вірогідність вимірювань показує степінь довіри до результатів вимірювання, тобто ймовірність відхилень вимірювання від дійсних значень.

Похибки класифікують на систематичні і випадкові.

Систематичні – це такі похибки вимірювання, які при повторних експериментах залишаються постійними.

Випадкові – похибки, які виникають випадково при повторному вимірюванні, вони можуть бути виключені як систематичні. Різновидністю випадкових похибок є грубі похибки або промахи, які в розрахунок не приймаються, і при обчисленні х_д їх виключають. Таким чином:

Е=Е₁+Е₂ (6.3)

де Е₁, Е₂ – систематичні і випадкові похибки.

Аналіз випадкових похибок основується на теорії випадкових величин.

Числові значення випадкової величини ще не дають повної уяви про цю випадкову величину.

Систематична похибка спостерігається у тих випадках, коли середнє значення послідовних вимірів постійно відхиляється від відомого точного значення в одну сторону – незалежно від числа вимірів. Одним із ефективних способів виявлення і оцінки систематичних похибок є різні рівняння, які описують ті або інші закономірності. При цьому використовується поняття абсолютної і відносної похибки.

Під абсолютною похибкою ΔX розуміють різницю між результатом виміру X і правдивим значенням вимірювальної величини X_0.

ΔX=X-X₀ (6.4)

Під відносною похибкою δ_x розуміють відношення абсолютної похибки до правдивого значення вимірювальної величини:

 (6.5)

В основі теорії похибок лежать дві такі думки, які підтверджені досвідом:

Ø  остаточна похибка любого вимірювання є результатом великого числа малих похибок, розпреділених випадково;

Ø  додатні і відємні відхилення відносно правдивого значення вимірювальної величини рівноймовірні, причому великі похибки зустрічаються рідко чим малі. Це дає можливість рахувати, що похибки роз приділяються у відповідності з нормальним законом розподілу Гаусса. Щільність нормального розподілу рівна:

 (6.6)

де x-- вимірювальна величина;

f(x)--щільність розподілу, що характеризує ймовірність деякого відхилення X від його математичного сподівання m_x (тобто від правдивого значення);

σ_x--середнє квадратичне відхилення.

З даного виразу витікає, що для характеристики розподілу величини достатньо знати величини Х і σ_x, якщо рахувати, що всі можливі значення Х виміряні, тобто є безмежна кількість вимірювань, яка називається генеральною сукупністю. Кожний конкретний результат експерименту являє собою скінчене число вимірів, сукупність яких можна розглядати як випадкову вибірку із генеральної сукупності.

 

Математичне сподівання випадкової величини

Число, навколо якого групуються значення випадкової величини, є характеристикою положення; число, що характеризує ступінь розкиданості значень випадкової величини навколо характеристики положення, є характеристикою розсіяння.

Однією з основних характеристик положення випадкових величин є математичне сподівання.

Математичним сподівання випадкової дискретної величини називається сума добутків окремих значень, що їх набуває на їх, відповідні ймовірності.

Нехай дано ряд розподілу дискретної випадкової величини:

Таблиця 6.1.

Х	Х1	Х2	.....	Хп
Р	Р1	Р2	.....	Рп

Позначивши математичне сподівання через Е(х) за означенням, дістанемо:

 (6.7)

Математичне сподівання часто називають центром розподілу або центром розсіяння. Математичне сподівання випадкової величини дорівнює середній їй, значень зваженій за ймовірностями:

ПРИКЛАД.

Дано розподіл кількості написаних знаків за 5 хв. певною групою студентів (табл.6.2).Визначити математичне сподівання (середню кількість знаків, що їх може написати студент за 5 хв.) кількості написаних знаків:

  Таблиця 6.2

Кількість написаних знаків за 5 хв.	230	254	262	274	281	282	285	302	307	308
Імовірність Рі	0,075	0,125	0,025	0,075	0,175	0,25	0,025	0,10	0,10	0,05
Хі * Рі	17,25	31,75	6,55	20,55	49,175	70,50	7,125	30,2	30,7	15,40

РОЗВ’ЯЗАННЯ

Математичне сподівання визначається за формулою 6.7.

Отже, в середньому один студент за 5 хв. напише 279 знаків.

Математичне сподівання неперервної випадкової величини визначається за формулою:

 (6.8)

де f(x)--функція щільності розподілу iмовірностей.

Властивості математичного сподівання:

Ø  Математичне сподівання сталої величини дорівнює цій самій сталій:

E(a) = a (6.9)

Ø  Сталий множник можна виносити за знак математичного сподівання:

E(cX) = cE(X) (6.10)

Ø  Математичне сподівання алгебраїчної суми випадкових величин дорівнює алгебраїчній сумі їх математичних сподівань:

  E(X±Y±Z±…±W)=E(X)±E(Y)±E(Z)±…±E(W) (6.11)

Ø  Математичне сподівання добутку незалежних випадкових величин дорівнює добутку їх математичних сподівань:

E(XY)=E(X)*E(Y) (6.12)

Ø  Математичне сподівання випадкової величини завжди обмежене найбільшим і найменшим її значеннями :

x_min < E(X) < x_max(6.13)