Дисперсія

6.3 Дисперсія

Другою важливою характеристикою випадкової величини є дисперсія, яка характеризує ступінь розсіяння значень випадкової величини навколо її середньої. Математичне сподівання квадрата відхилення випадкової величини від її математичного сподівання називається дисперсією і позначається через D(x) або σ² .

Для дисперсії випадкової величини дисперсія обчислюється за формулою:

 (6.14)

Дисперсія має такі основні властивості :

Ø  Дисперсія сталої величини дорівнює нулю. Справді, нехай X=c. Тоді:

D(X)=D(c)=E(c-c)²=E(c-c)²=0 (6.15)

через те що середнє значення сталої величини дорівнює самій сталій.

Ø  Сталий множник можна винести за знак дисперсії. При цьому його треба піднести до квадрата:

 (6.16)

Ø  Дисперсія суми кількох незалежних випадкових величин дорівнює сумі їх, дисперсій:

 (6.17)

Ø  Дисперсія випадкової величини дорівнює середньому значенню її квадрата мінус квадрат її середнього значення:

 (6.18)

Величина

 

 (6.19)

називається середнім квадратичним відхиленням і є мірою для характеристики ступеня розсіяння випадкової величини.

ПРИКЛАД

За даними прикладу попереднього параграфа ( табл.6.2) обчислити дисперсію та середнє квадратичне відхилення.

РОЗВ’ЯЗАННЯ

Дисперсію обчислюємо за формулою ( 6.14 ) :

σ²=(230-279)²·0,075+ (254-279)²·0,125+ (262-279)²·0,25+ (274- -279)²·0,075+ (281-279)²·0,175+ (282-279)²·0,25+ (285-279)²·0,025+ +(302-279)²·0,1+ (307-279)²·0,1+ (308-279)²·0,05=444

Середнє квадратичне відхилення обчислюємо за формулою ( 6.19 ) :

За міру розсіяння можна взяти модуль імовірностей , який визначається за формулою:

 (6.20)

Інколи розсіяння нормальної кривої характеризують мірою точності, яка є оберненою величиною до модуля ймовірностей:

 (6.21)

Для великої вибірки і нормального закону розподілу загальною оціночною характеристикою вимірювання є дисперсія й коефіцієнт варіації.

,  (6.22)

 

Дисперсія характеризує однорідність вимірювання. Чим вище Д, тим більший розкид вимірів. Коефіцієнт варіації характеризує мінливість. Чим вище Кв, тим більша мінливість вимірювань відносно середніх значень. Кв оцінює також розкид при оцінюванні декількох вибірок.

В цій задачі можливий другий варіант. На основі визначених даних встановлена певна (надійна) ймовірність Р_д. Дуже часто її приймають рівною 0,9; 0,95; 0,9973. Необхідно встановити точність вимірювання, тобто надійний інтервал 2µ.

Так як , то по таблиці можна визначити половину надійного інтервалу:

 (6.23),

де Ф(Р_д) – аргумент функції Лапласа, або при n<10 Стьюдента (табл. 6.2). Надійний інтервал характеризує точність вимірювання даної вибірки, а надійна ймовірність – вірогідність вимірювання.

Приклад.

Виконано 30 вимірювань міцності одежи ділянки автомобільної дороги. При цьому середній модуль пружності одежи Е_э=170 МПа. Визначене значення середньоквадратичного відхилення є =3.1 МПа. Визначити точність і вірогідність експерименту.

Точність вимірювання визначаємо для різних рівнів вірогідної ймовірності, прийнявши, відповідно значення argФ(t) із таблиці 6.1: Р_д=0,9; 0,95; 0,9973; µ= ;

µ=;

µ=МПа.

Отже для даного засобу і методу надійний інтеграл зростає приблизно в два рази, якщо Р_д збільшити тільки на 10%. Необхідно визначити вірогідність вимірів для встановленого надійного інтервалу, наприклад  за формулою (6.5) .

За табл. 6.1 для 2.26 визначаємо . Це означає, що в заданий надійний інтервал із 100 вимірювань не попадає тільки три.

Значення 1 - Ф(t) називають рівнем значності. Із нього виходить, що при нормальному законі розподілу похибка, яка перевищує надійний інтервал, буде зустрічатися один раз із n_и вимірів:

 (6.24)

або вибірковувати одне із n_и вимірів.

Встановлення мінімальної кількості вимірів.

Всі експериментальні дослідження в техніці базуються на вимірах. Задача зводиться до встановлення мінімального, але достатнього об’єму вибірки (числа вимірювань) N_min при заданих значеннях надійного інтервалу  і надійної ймовірності. При виконанні вимірювання необхідно знати їх точність Δ, яку характеризують δ₀ – середньоарифметичне значення середньоквадратичного відхилення :

;  (6.25)

 - середня помилка.

Надійний інтервал помилки вимірювання Δ визначається аналогічно, як і для вимірювань . За допомогою t легко визначити надійну ймовірність помилки вимірювання з таблиці 6.1.

В дослідженнях за заданою точністю Δ і надійною ймовірністю визначають мінімальну кількість вимірювань, яка гарантує потрібні значення Δ і Ф(t).

Аналогічно рівнянню (6.23) з урахуванням (6.25) запишемо

 (6.26)

звідси, приймаючи N_min=n, будемо мати

 (6.27)

- коефіцієнт варіації (мінливості), %;

D - точність вимірювання, %.

Для визначення  можна прийняти таку послідовність:

1.  Нехай n – кількість вимірів від 20 до 50, в залежності від складності дослідів.

2.  Визначають середнє квадратичне відхилення m (6.21).

3.  Встановлюють необхідну точність вимірювань m, D, яка повинна бути не менше точності приладу.

4.  Установлюють нормативне відхилення t, значення якого задають, наприклад при великій точності вимірювань t=3.0, при малій – t=2.0, можна прийняти t=2.5.

5.  Із (6.26) визначають . В процесі експерименту число вимірів не повинно бути менше .

Приклад

при прийманні споруди, комісія в якості одного із параметрів, вимірює її ширину. Необхідно виконати 25 вимірів, допустиме відхилення параметра м. Необхідно визначити, з якою вірогідністю комісія оцінює даний параметр. Попереднє обчислення значення м.

Допустиме відхилення параметра м. з рівняння (6.27) запишемо . ; . У відповідності з таблицею (6.). Надійна ймовірність для   це низька ймовірність. Похибка перевищує надійний інтервал м, згідно формули (6.) ,буде зустрічатися один раз із , тобто із чотирьох вимірювань. Це не допустимо. Вирахуємо мінімальну кількість вимірів, з надійною ймовірністю Р_Д , рівною 0,9 і 0,95. За формулою (6.27) маємо  виміри при Р_Д =0,90 і 64 виміри при Р_Д =0,95. Результати вимірювань за допомогою  і  справедливі при . Для знаходження границь надійного інтервалу при малих значеннях застосовують метод запропонований в 1908 році англійським математиком

В.С. Гессетом (псевдонім Стьюдент). Криві розподілення Стьюдента у разі  переходять в криві нормального розпреділення (рис. 6.1).

Для малої вибірки надійний інтервал

 (6.28)

де  - коефіцієнт Стьюдента, який приймається з табл. 6.2 в залежності від значення надійної ймовірності Ф_ст знаючи m_ст, можна визначити дійсне значення величини, що вивчається для малої вибірки:

 (6.29).

Можлива інша постановка задачі. Маючи n відомих вимірів малої вибірки необхідно визначити необхідну ймовірність Р_Д за умовою, що похибка середнього значення не вийде за межі .

Задачу розв’язують у такій послідовності:

1.  Визначають середнє значення ,  і .

2.  За допомогою величини , відомого n і таблиці 6.2 визначають надійну ймовірність.

Інтегральна формула Лапласа

Надійним називається інтервал значень х_і у який попадає правдиве значення х_д величини, що вимірюється, попадає в даний інтервал.

Надійною ймовірністю ( вірогідністю) вимірювання називається імовірністю Р_д того, що правдиве значення х_д величини, що вимірюється попадає в даний надійний інтервал.

Ця величина визначається в долях одиниці або в процентах. Необхідно встановити ймовірність того, що х_д попаде в зону а<x_д<в. Надійна імовірність Р_д описується виразом:

 (6.30)

де Ф_(t) – функція Лапласса, аргументом якої є відношення µ до середньоквадратичного σ, тобто

t=µ/ σ (6.31)

µ=b-x; µ= - (a-x), t – гарантований коефіцієнт.

Функція Ф(t) – це інтегральна функція Лапласа:

 (6.32)

Її можна записати так:

 (6.33)

Числові значення Ф_(t), приведені в додатку табл. I.

Коли задані межі появи події А(m₁ i m₂ ), які відрізняються від np на [x], то інтегральна формула Лапласа набуде такого вигляду:

 (6.34)

У цьому випадку:

 (6.35)

Застосовуючи інтегральну формулу Лапласа, слід врахувати, що функція Лапласа – непарна функція тобто, що:

F(-a)= -F(a)

Виходячи з того і взявши до уваги, що:

 (6.36)

можна записати:

 (6.37)

Отже функція Лапласа  виражає ймовірність того, що випадкове відхилення t буде в межах –t₁ ≤ t ≤ t₁. Величина цієї імовірності чисельно дорівнює площі між кривою Лапласа  віссю ot і ординатою t=-t1; t=t1( 6.2 ).

-t 0 t t

Щоб знайти ймовірність P(m₁ ≤ m ≤ m₂), треба:

1)  визначити відхилення:

x₁=m₁-np i x₂=m₂-np;

2)  знайти одиницю стандартного відхилення:

3)  знайти величини:

  

4)  за таблицею (додаток 1) знайти:

F(t₁) i F(t₂)

  Після цього імовірність визначаємо за формулою ( 6.36 )

Інтервал ймовірностей широко використовується в розрахунках, що пов’язані із застосуванням методів вибірок, зокрема, коли треба:

1)  оцінити результати вибірки з певною імовірністю;

2)  визначити найменшу чисельність вибірки, яка забезпечує потрібну точність;

3)  визначити границі відхилень генеральної середньої від вибіркової.

  Метод виключення грубих помилок

При вимірюванні один із результатів різко відрізняється від інших, виникає підозра, що допущена груба помилка.

Позначимо значення, яке відрізняється від ряду інших вимірів – статистичного ряду –Х_*, а всі останні результати Х₁, Х_2..., Х_n, підрахуємо середнє арифметичне:  і порівняємо абсолютну величину різниці х_* -  звеличиною . Для отриманого відношення

підрахуємо ймовірність 1-2Ф(t) за допомогою таблиці I (додаток I ). Може бути два випадки:

1). Якщо, відношення, що розглядається, буде мати значення не менше ніж t, при умові, що значення х_* не має грубої помилки, що помилка результату х_* є випадковою.

2).Якщо підрахована таким чином ймовірність буде дуже малою, то значення, яке “вискакує” має грубу помилку і його необхідно виключити з ряду. Яку ймовірність рахувати дуже малою, залежить від конкретних умов розв’язку задачі; якщо вибрати (призначити) дуже низький рівень малих ймовірностей, то грубі помилки можуть залишитися, якщо ж взяти цей рівень невизначено великим, то можна виключити результати із випадковими помилками, необхідними для правильної обробки результатів вимірювання. Взагалі приймають один з трьох рівнів малих ймовірностей:

Ø  5% рівень (виключаються помилки, ймовірність появи яких менше 0,05);

Ø  1% рівень (виключаються помилки, ймовірність появи яких менше 0,01);

Ø  0,1% рівень (виключаються помилки, ймовірність появи яких менше 0,001);

При вибраному рівні a малих ймовірностей, значення х_*, яке “вискакує” має грубу помилку, якщо для відповідного відношення t ймовірність , тоді підкреслюють, що х_* має грубу помилку з надійністю висновку , значення , для якого , і, значить, , називається критичним значенням відношення t при надійності Р. Так, якщо  (1% рівень), то Р=0,99, критичне значення  (див. Додаток I), і як тільки відношення t перевищить це критичне значення, ми можемо бракувати (значення х_*, яке “вискакує” з надійністю висновка 0,99). Підкреслимо, що цей спосіб застосовується тоді, коли величина d середньої квадратичної помилки точно відома раніше.

Найбільш простий спосіб вилучення із статистичного ряду х_*, яке різко виділяється є правило трьох сігм. Розкид випадкових величин від середнього значення не перевищує

х_max,min= (6.38).

Більш вірогідний є метод, який базується на використанні надійного інтервалу. Нехай є статистичний ряд малої вибірки, який підчиняється закону нормального розподілу. При наявності грубих помилок критерій їх появи:

 ; ; (6.39)

де х_max, x_min найбільше і найменше значення із n вимірів.

В таблиці 6.3 наведенні максимальні значення , які виникають внаслідок статистичного розкиду. Якщо , то значення  необхідно виключити із статистичного ряду, як грубу помилку. При  виключається величина . Після виключення грубих помилок визначають нові значення  і із  або  вимірів.

Таблиця 6.3

n	bmax при Рд			n	bmax при Рд
	0.90	0.95	0.99		0.90	0.95	0.99
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14	1.41 1.64 1.79 1.89 1.97 2.04 2.10 2.15 2.19 2.23 2.26 2.30	1.41 1.69 1.87 2.00 2.09 2.17 2.24 2.29 2.34 2.39 2.43 2.46	1.41 1.72 1.96 2.13 2.26 2.37 2.46 2.54 2.61 2.66 2.71 2.76	15 16 17 18 19 20 25 30 35 40 45 50	2.33 2.35 2.38 2.40 2.43 2.45 2.54 2.61 2.67 2.72 2.76 2.8	2.49 2.52 2.55 2.58 2.60 2.62 2.72 2.79 2.85 2.90 2.95 2.99	2.80 2.84 2.87 2.90 2.93 2.96 3.07 3.16 3.22 3.28 3.33 3.37

Третій спосіб: задається надійна ймовірність Р_Д із таблиці 6.4 в залежності від  знаходять коефіцієнт q. Визначають гранично допустиму абсолютну похибку окремого виміру

 (6.40).

Якщо , то виключається. Визначають відносну похибку результатів серії вимірювань при заданій надійній ймовірності Р_Д;

 (6.41)

 - коефіцієнт Стьюдента.

Якщо похибка серії вимірювань сумісна з похибкою приладу В_пр, то границі надійного інтегралу

 (6.42)

Таблиця 6.4

Значення q при РД
n	0.95	0.98	0.99	0.995
2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14 16 18 20	4.97 3.56 3.04 2.78 2.62 2.51 2.43 2.37 2.29 2.24 2.20 2.17 2.15	38.97 8.04 5.08 4.10 3.64 3.36 3.18 3.05 2.96 2.83 2.14 2.68 2.64 2.60	77.96 11.46 6.53 5.04 4.36 3.96 3.71 3.54 3.41 3.23 3.12 3.04 3.00 2.93	779.7 36.5 14.46 9.43 7.41 6.37 5.73 5.31 5.01 4.62 4.37 4.20 4.07 3.93

Формулою (6.35) слід користуватися при . Якщо ж , то надійний інтервал визначають за допомогою формул (6.31).

Приклад

Для визначення якості знань студентів з даної дисципліни, дають контрольні роботи 120 студентам. Імовірність виконання контрольної роботи на “відмінно” становить 0,3. яка імовірність того, що контрольні роботи напишуть на відмінно:

а)Не менше як 25 і не більше як 46 студентів;

б)Не менше як 50?

Розв’язання.

Дано:

а) p=0,3; m₁=25; m₂=46; n=120.

б) p=0,3; m₁=50; m₂=120; n=120.

а) x₁=m₁-np=25-120*0,3=25-36= -9

x₂=m₂-np=46-120*0,3=46-36=10

 

 

 

б) x₁=m₁-np=50-120*0,3=50-36= 14

x₂=m₂-np=120-120*0,3=120-36=84

 

 

Тобто, майже неможливо, щоб більше 50 студентів написали контрольну роботу на “відмінно” за даних умов.