Если случайно мы встречаем сумму

1.  Если случайно мы встречаем сумму

,

мы можем подметить, что ее можно записать в любопытной форме:

.

Естественно возникает вопрос: часто ли сумма кубов последовательных чисел, т.е.

,

оказывается полным квадратом? Задавая этот вопрос, мы обобщаем.

Наше обобщение очень удачно: оно приводит нас от одного наблюденного факта к замечательному общему закону. Многие результаты в математике, физике и других естественных науках были найдены в результате удачного обобщения.

2.  Обобщение часто может помочь решить задачу. Рассмотрим следующую стереометрическую задачу:

«Правильный октаэдр и прямая занимают в пространстве фиксированное положение. Найти плоскость, проходящую через данную прямую и делящую октаэдр на две равновеликие части». Задача эта может показаться сложной; однако достаточно небольшого знакомства с формой правильного октаэдра, чтобы прийти к следующему обобщению:

«Замкнутая поверхность, обладающая центром симметрии, и прямая занимают в пространстве фиксированное положение. Найти плоскость, проходящую через данную прямую и делящую объем тела, ограниченного данной поверхностью, на две равновеликие части». Искомая плоскость, конечно, проходит через центр симметрии поверхности и определяется этой точкой и данной прямой. Так как октаэдр обладает центром симметрии, тем самым первоначальная задача оказывается решенной.

Конечно, нельзя не заметить, что вторая задача была более общей, чем первая, и, тем не менее, она оказалась проще. Нашим главным достижением при решении первой задачи было то, что мы придумали вторую задачу. Придумав вторую задачу, мы выяснили роль центра симметрии; мы выделили то свойство октаэдра, которое является существенным в данной задаче, именно – наличие у него центра симметрии.

Более общая задача может оказаться проще. Это звучит парадоксально; однако рассмотренный пример убеждает нас в истинности этого утверждения. Главное достижение при решении частной задачи состояло в том, что мы придумали общую задачу. После этого нам осталось совсем немного работы, чтобы довести задачу до конца.

Итак, в рассматриваем случае решение общей задачи явилось лишь общей частью решения частной задачи.

3.  «Найти объем усеченной пирамиды с квадратным основанием, если сторона нижнего основания равна  м, сторона верхнего  м и высота пирамиды  м ». Если числа , ,  мы заменим буквами, например , , , мы тем самым обобщим задачу, более общую по сравнению с первоначальной, именно:

«Найти объем усеченной пирамиды с квадратным основанием, если сторона нижнего основания равна , сторона верхнего  и высота пирамиды ». Подобное обобщение может оказаться очень полезным. Перейдя от задачи «в числах» к задаче «в буквах», мы приобретаем новые возможности; так, например, мы оказываемся в состоянии на данные величины как на переменные, что дает нам разнообразные возможности проверки результата.

 

Взаимосвязь обобщения и анализа

 

Рассмотрим пример зависимости обобщения и анализа. Результаты действий (как практических, так и мыслительных) над какими-либо объектами обычно определяются взаимным соотношением этих объектов и их свойств. Действия как бы служат средством для проведения анализа, с помощью которого эти соотношения устанавливаются.

На одном из экспериментальных занятий учащимся была предложена следующая задача: «Доказать, что треугольники ABO и DCO, заключенные между диагоналями трапеции, равновелики» (рис. 3). Наряду с этой основной задачей учащимся была предложена и другая, вспомогательная задача, менее трудная для решения и вместе с тем такая, что ее решение и решение основной задачи было основано на одном и том же принципе. В этой вспомогательной задаче требовалось доказать конгруэнтность диагоналей прямоугольника ABCD (рис. 4).

рис. 3 рис. 4

Убедиться в конгруэнтности диагоналей прямоугольника учащимся легко, так как по существу эта задача представляет собой известную учащимся теорему, восстановить ход доказательства которой нетрудно. После этого и основная задача была быстро решена учащимися, которые сумели осуществить мысленный «перенос» хода решения вспомогательной задачи на решение основной. Общим ключом к решению этой и другой задачи оказалось использование в ходе доказательства общего основания AD треугольников ABD и ACD, которое в первом случае выступало как общее основание равновеликих, а во втором – конгруэнтных треугольников ABD и ACD. Для отыскания решения основной задачи достаточно было установить равновеликость фигур ABD и ACD (связанных с треугольниками ABO и OCD). Достаточно было выделить это звено решения двух данных задач в качестве существенно общего свойства, т. е. совершить обобщение.

Таким образом, возможность обобщения и использования его результата – переноса – в процессе решения этих задач зависели прежде всего от мысленного включения обеих задач в единый процесс аналитико-синтетической деятельности. Успешное проведение обобщения (и переноса) было обусловлено тем, что на отдельных этапах анализа учащимися совершалось соотнесение условий основной задачи и задачи-подсказки. Результат процесса (перенос, использование задачи-подсказки) зависел, таким образом, от работы, проведенной учащимися в процессе анализа условия основной задачи. Это оказалось возможным потому, что объект изучения (основная задача) был включен в систему связей и отношений с другим известным объектом (вспомогательная задача).

Аналогичную ситуацию мы можем неоднократно наблюдать в процессе обучения математике в школе. Вернувшись к примеру с прогрессиями, нетрудно обнаружить ту же схему умственной деятельности школьника при правильно поставленной методике изучения этого вопроса. В самом деле, анализируя каждую из данных последовательностей отдельно (а затем совместно), школьник выявляет существенные свойства, общие для некоторых их этих последовательностей, свойства, позволяющие выделить их в особый класс – арифметических прогрессий и провести естественно вытекающее отсюда обобщение – сформулировать определение прогрессии.

Таким образом, обобщение с анализом являются мощным средством для выявления существенных для решения данной задачи (вопроса) свойств.

ОБОБЩЕНИЕ КАК ПРИМЕР ВАРЬИРОВАНИЯ ПРИ ПОИСКЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

В современных условиях модернизации образования осуществляется обновление содержания и совершенствование механизмов обучения и контроля за качеством, что предполагает: принятие государственных стандартов общего образования; его разгрузку, ориентацию на потребности личности и современную жизнь страны; экспериментальную обработку нового содержания общего образования и т.д.

Говоря о творчестве в любой области деятельности человека, мы всегда обращаемся к понятию гибкости мышления, от активности формирования которого зависит темп обучения.

К числу способностей человека, дающих ему возможность успешно осуществлять творческую деятельность, Ю.М.Колягин относит:

- способность к быстрому сосредоточению и переключению внимания с сохранением его устойчивости и интенсивности на любых избранных объектах (в частности, на объекте изучения или исследования);

- способность оценивать ситуацию сразу с различных точек зрения, способность видеть больше того, что есть и что очевидно;

- способность из многообразия свойств изучаемого объекта выделить наиболее важные и существенные и в том случае, когда эти свойства существуют в скрытом виде;

- способность к открытию различных связей между объектами идеями, умение использовать логические связи для проверки достоверности сделанного вывода.

Вышеназванные способности у человека не появляются автоматически сами по себе. Одним из путей их формирования является обеспечение динамики внимания, которая осуществляется вариативностью упражнений. Это позволяет преподавателю управлять процессом внимания и ведет к формированию гибкости мышления обучаемых.

Из всех видов варьирования на занятиях по методическим дисциплинам наиболее видное место занимает варьирование содержания обучения математике, связанное с решением вопросов уровневой и профильной дифференциации обучения, что объясняется наибольшей разработанностью данного вопроса исследователями.

Нас будет интересовать варьирование условий задачи как один из способов её решения. Пути поиска решения задачи отражает Д.Пойа в своих работах, не называя термина «варьирование». Но именно этот термин обобщает его рекомендации в области поисков решения задачи.

В самом деле, поиски решения задачи начинаются с анализа условий (Что дано? Что неизвестно? В чём состоит условие?). Казалось бы, это – пустая формальность, и чтобы уяснить суть условия, достаточно внимательно прочитать задачу, может быть, не один раз. Между тем, это не так. Действительно, могут встречаться такие ситуации, когда условие задачи представлено в неявной форме, и тогда её данные могут быть записаны не полностью. Итог – «задача не решается».

Например, в геометрической задаче среди числовых данных встречается условие, когда выполняется движение фигуры. Это означает, что каждый отрезок данной фигуры перешёл в равный ему отрезок. Если представленную здесь часть условия «не заменить», то кажется, что не хватает данных для решения.

В подобных случаях рекомендуется исключить в формулировке задачи условие о движении, ученикам задать вопросы: что изменилось в задаче? Для чего было дано автором это условие?

Иногда задачу требуется иллюстрировать чертежом (особенно, если она геометрическая). При решении текстовых алгебраических задач необходимо осуществить своеобразный перевод на чисто математический язык уравнений (иногда неравенств).

Всё названное – представление условия задачи и его запись в разных вариантах. Примеры варьирования условий задачи можно продолжить.

Иногда условие задачи или теоремы таково, что её можно разбить на несколько задач. Например:

«Доказать, что если при пересечении двух прямых третей либо равны внутренние накрест лежащие углы, либо равны соответственные углы, либо сумма внутренних односторонних углов равна 180, то прямые параллельны» (известная теорема).

Эта задача фактически состоит из трёх задач, условие каждой из которых начинается после очередного слова «либо»; а заключение – одно. Конечно, такую задачу целесообразно разбить на три разные, а затем показать, как может быть осуществлено обобщение результатов задачи.

Полезно тут же сформулировать задачу, обратную данной. Это тоже будут три разные задачи, условия которых одинаковы (две параллельные прямые пересечены третьей). А заключения различные.

Так путём варьирования формулировки задачи можно показать учащимся, как возможности обобщения задач, так и возможности разбития их на несколько.

Иногда частные случаи позволяют выявить следствия из задачи или теоремы. Например, следствие теоремы. «В равнобедренном треугольнике углы при основании равны» является предложение: «В равностороннем треугольнике все углы равны».

Наконец, условия задачи проанализированы, заключение ясно, всё чётко переформулировано так, как удобно ученику в данный момент, и можно переходить к поиску решения задачи.

Что рекомендует Д.Пойа? Первое: «Известна ли вам какая-нибудь родственная задача?» Если известна, то решение предлагаемой задачи становиться «решением по образцу», и его поиск совершенно не нужен.

Вторая рекомендация Д.Пойа: «Встречалась ли вам какая-нибудь задача с тем же неизвестным?» Этот вопрос далеко не всегда приведёт к правильному ответу на него.

Допустим, что нам требуется найти высоту в треугольнике. Какой метод использовать? Вспомнить о признаках равенства треугольников? О признаках подобия? О вычислении площадей треугольников? Или использовать факт о диаметре, перпендикулярном к хорде, выполнив какие-нибудь дополнительные построения?

Чтобы прояснить наши дальнейшие действия, нужно связать условие с заключением. Как? В текстовых задачах требуется обычно составить уравнение, а может быть, неравенство или систему неравенств для того, чтобы обеспечить такую связь. В геометрии полезно начать с обращения к определениям понятий, содержащихся в условии и заключении задачи. Вопрос: «не можем ли мы указать родственную задачу?» заставляет нас обратиться к аналогам, но иногда это приводит к ошибочному пути, так как сравнение в каждом из различных случаев производиться по различным основаниям, что учащимся не всегда видно.

Например, ученику кажутся аналогичными по способу решения следующие задачи.

1.  Дан угол и внутри него две точки. Построить четырёхугольник минимального периметра, у которого две смежные вершины лежат в данных точках, а две другие – на сторонах данного угла.

2.  Дана прямая х и две точки А и В по разные стороны от неё. Поместить на прямой х отрезок МN = а, так, чтобы длина ломаной АМNВ была наименьшей.

Основания для такого утверждения дают следующие общие факты из содержания задачи:

 - требуется построить ломаную наименьшей длины;

 - даны прямые и точки, взаимное расположение которых известно;

 - заметно некоторое внешнее сходство чертежей.

Между тем, первая задача решается методом симметрии, вторая – методом параллельного переноса.

Прекрасным примером варьирования является обобщение. При различных способах обобщения изменяется эффективность выбранной преподавателем методики обучения. Все знания, умения и навыки, формируемые у учащихся в обучении математике можно разделить на следующие:

- частные (они распространяются на один математический объект или бесконечно много таких объектов, например, знание таблицы Пифагора);

- обобщенные.

Очевидно, что между частными и обобщенными знаниями, умениями и навыками нет конкретной границы, они часто проявляются в единстве. Обобщить – это значит зафиксировать общее, что имеется в конкретной теме урока, т.е. в каждом объекте рассматриваемой совокупности. Обобщение в обучении математике – это мысленное выделение общих и существенных признаков математических объектов (или способов действий с ними) и объединение их на этой основе в пределах заданной области (темы, раздела, всего учебного предмета).

Вариативность обучения математике на наш взгляд не осуществима без обобщения.

В свою очередь, понимание и овладение учащимися в полной мере основными обобщениями в математике может произойти только посредством методов вариативного обучения.

Большое внимание обобщению уделяет Г.И.Саранцев, предлагая вниманию учащихся различные приёмы использования обобщения и конкретизации на примерах решения задач.

Структурное представление технологии формирования обобщенного подхода к решению математических задач.

	Этапы	Задачи	Средства	Результаты	Диагностирование
1	Выявление исходного уровня сформированности обобщенного подхода к решению задач по математике	Разработать системы задач и заданий, ориентированных на формирование у учащихся обобщенного подхода к решению задач по математике. Развитие мыслительных операций классификаций, сравнения, систематизации, обобщения	Технологические (учебные) карты, раскрывающие структуру деятельности учащихся по поиску решения задач.	Умение отыскивать ход мыслительных операций при выборе способа решения математических задач.	Математические диктанты, устные и письменные ответы, тестирование.
2	Формирование методологических умений (общеучебных)	Разработать модель управления формированием у учащихся обобщенного подхода к решению задач по математике	Комплекс учебно-исследовательских заданий, структурно-логические схемы, диагностические материалы и критерии для определения уровня сформированности обобщенного подхода к решению задач по математике.	Выделить главное, не оставляя без внимания второстепенное, владеть общим подходом к решению учебных задач.	Диагностические работы, уроки-семинары по конструированию поиска решения задач.
3	Решение задач на производственном уровне	Использовать модель управления формированием у учащихся обобщенного подхода к решению задач по математике на продвинутом уровне	Система задач для развития умений и навыков решать задачи на продвинутом уровне	Использовать альтернативные способы решения задач, адаптировать теоретические знания к конкретным практическим ситуациям	Педагогический эксперимент по апробации эффективности исследуемых технологий формирования у учащихся обобщенного подхода к решению задач по математике.
4	Проведение практикумов по решению задач и эксперименту	Раскрытие значимости технологии формирования обобщенного подхода к решению задач по математике	Структурно-логические схемы, учебные карты, методические рекомендации	Умения: осуществлять анализ при решении задач, пользоваться логическими операциями: синтез, сравнение, обобщение, определять последовательность действий в каждом конкретном случае	Письменные диагностические работы. Научно-практическая конференция учащихся по теме исследования.

ОБОБЩЕНИЕ КАК ЭВРИСТИЧЕСКИЙ ПРИЕМ РЕШЕНИЯ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ

 

Решение многих некоторых задач предполагает использование эвристических приемов группы парадигмы. Под парадигмой понимается система приемов формоизменения текста условия задачи, с помощью которых учащийся по существу заменяет текст условия задачи в определенном смысле эквивалентным ему, но позволяющим в то же время быстрее обнаружить решение. Такая замена может осуществляться по преимуществу тремя путями.

1. Посредством соблюдения правил построения составных знаков математического языка из более простых выражений (синтаксическая парадигма). К данному типу относятся следующие приемы: выражение одной переменной через другую, введение вспомогательной неизвестной, идентификация того или иного геометрического объекта в различных конфигурациях, реконструкция целого по частям, разбиение целого на части, инверсия – расположение рассматриваемых объектов в особом порядке, облегчающем решение.

2. Через переформулирование условия задачи на основе учета связей между знаками исходного языка описания заданной ситуации и их значениями (семантическая парадигма). Сущность приемов, относящихся к данному типу, состоит в переходе от исходной к равносильной задаче путем перевода текста исходной задачи на другой язык, например, с естественного на символический при решении текстовых задач, или нахождение новой интерпретации заданных условий в рамках того же языка.

3. На основе использования логических законов контрапозиции и исключенного третьего (логическая парадигма). Здесь в основном используется метод доказательства от противного, а также приведение контрпримера или подтверждающего примера.

Можно выделить вторую группу эвристических приемов, используемых при решении нестандартных задач, - группу эксперимента. Если в предыдущем случае поиск решения задачи осуществлялся в основном за счет внешней модификации ее условия, без изменения самой задачной ситуации, то эвристические приемы второй группы предполагают активное вмешательство реципиента в ситуацию, описанную в задаче, которое осуществляется посредством анализа и экспериментального исследования взаимоотношений между данными и искомыми этой задачи. В данную группу входят следующие эвристические приемы: рассмотрение частных случаев (неполная индукция), использование предельного перехода, метод математической индукции, групповой анализ, различные дополнительные построения в геометрических задачах, метод малых изменений, использование соображений симметрии, применение свойств монотонности или непрерывности функций и другие.

Зачастую при решении нестандартной задачи используется не один эвристический прием, а сразу несколько, причем, может быть, из разных групп. Часто при решении задач наряду используются эвристические приемы группы парадигмы – метод от противного и идентификация геометрических объектов в рамках различных конфигураций. Каждый из затронутых выше эвристических приемов позволяет реализовать определенный набор мыслительных операций (анализ, синтез, обобщение, аналогию и т.п.). Для полноценного умственного развития учащихся при обучении математике целесообразно предусмотреть использование максимального количества различных эвристик.

Урок обобщения и систематизации знаний

Уроки обобщения и систематизации знаний проводятся по окончанию изучения темы или раздела учебного материала. Основное их назначение заключается в усвоении связей и отношений между понятиями, теоремами, в формировании целостного представления у учащихся об изученном материале. Наиболее сложным в подготовке такого урока является организация повторения, выбор средств систематизации и обобщения знаний и умений школьников. Следует иметь в виду, что логика обобщающего повторения содержательнее логики первоначального изучения учебного материала. Она предполагает выделение связей между основным и второстепенным, между блоками главного, а также во второстепенном материале. Среди средств систематизации и обобщения знаний и умений школьников особое место занимают упражнения, выполнение которых основано на актуализации всего комплекса знаний и умений, подлежащих систематизации, упражнения, ориентированные на углубление и расширение знаний, на применение обобщений в различных конкретных ситуациях. К упражнениям такого вида относят упражнения на составление таблиц, схем, на классификацию понятий, на выявление отношений между понятиями, на составление «родословных» понятий и теорем.

Следует иметь в виду, что обобщающие уроки могут заключать не только пройденную тему, но и изучение исходного материала из разных разделов.

В уроке обобщения и систематизации знаний выделяют следующие структурные элементы:

1)  сообщение темы, цели, задачи урока и мотивации учебной деятельности школьников;

2)  воспроизведение и коррекция опорных знаний;

3)  повторение и анализ основных фактов, событий, явлений;

4)  повторение, обобщение и систематизация понятий, усвоение соответствующей системы знаний, ведущих идей и основных теорий.

Рассмотрим конкретный пример урока обобщения и систематизации знаний.

Урок на тему «Иррациональные уравнения» (10 класс)

Цель: обобщить и систематизировать способы решения иррациональных уравнений и умения применять их в различных ситуациях.

Основными методами решения иррациональных уравнений являются:

1)  метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень, т. е. замена уравнения  уравнением ;

2)  метод введения новой переменной.

Однако зачастую иррациональные уравнения решаются с помощью рассуждений, основанных на анализе структуры уравнения, путем установления множества допустимых значений неизвестного, извлечения корня -ной степени из степени с показателем , на основе теорем равносильности. Отметим и то, что иррациональные уравнения могут содержать один, два и больше корней, причем они могут быть одной степени или разных степеней. Проиллюстрируем сказанное конкретными примерами.

1.  Решите уравнения:

а)  ;

б)  ;

в)  .

Исследование структуры уравнения а) показывает, что оно не имеет корней, так как , и потому ; в случае б) имеем  при допустимых значениях  и . Анализ структуры уравнения в) показывает, что его решением является каждое значение , для которого одновременно  и . Этому требованию удовлетворяет .

2.  Решите уравнения:

а)  ;

б)  .

Подкоренные выражения просты, поэтому целесообразно, прежде всего, выявить множество допустимых значений неизвестного. Легко установить, что область определения уравнения а) – пустое множество, а потому уравнение не имеет решений. В случае б) уравнение может иметь решение при , т. е. при . Учитывая, что левая часть уравнения имеет смысл при , получаем, что уравнение имеет единственный корень: .

3.  Решите уравнения:

а)  ;

б)  .

Уравнения а) и б) можно записать соответственно в виде:

а)  ;

б)  ,

которые, в свою очередь, равносильны уравнениям:

а)  ;

б)  .

Решим уравнение б), для чего воспользуемся методом интервалов:

1)  при  уравнение  равносильно уравнению , корнем которого является ;

2)  если , то исходное уравнение равносильно уравнению  или , которое не имеет решений;

3)  при  уравнение  преобразуется в уравнение , или , откуда .

Часто решение иррациональных уравнений основывается на возведении обеих частей уравнения в одну и ту же степень. Рассмотрим, например, решение уравнения . Запишем данное уравнение в виде  и возведем обе его части в квадрат. Получим

,

, ,

.

Так как при возведении обеих частей уравнения в одну и ту же степень возможно появление посторонних корней, то обязательна проверка найденных корней. Число  удовлетворяет исходному уравнению, а число  нет.

Уравнение  можно решить с применением теорем равносильности. Известно, что уравнение  равносильно системе

Заданное уравнение равносильно системе

которая имеет единственное решение .

К решению исходного уравнения можно было бы применить и метод введения новой переменной. Запишем данное уравнение в виде . Положив , получаем . Продолжение решения не вызывает трудностей.

Рассмотрим еще пример уравнения, содержащего квадратные, кубические и другие корни.

Решите уравнения:

а)  ;

б)  .

Положив в уравнении а)  и , приходим к системе уравнений  и , откуда , ; , ; , .

Подставив в одно из равенств значения  или , получим , , .

Область допустимых значений уравнения б) такова: . Если  - корень уравнения, то , или . Но , следовательно, уравнение б) не имеет решений.

Систематизация и обобщение указанных способов решения иррациональных уравнений и составляет содержание рассматриваемого урока. Осуществляется она в процессе выполнения следующих упражнений:

1.  Назовите, какие из данных уравнений иррациональные:

а)  ;

б)  ;

в)  ;

г)  ;

д)  ;

е)  .

Иррациональные уравнения, содержащие только квадратные корни.

  I.  Уравнения, решаемые с помощью анализа структуры уравнения.

2.  Решите каждое из уравнений:

а)  ;

б)  .

  II.  Уравнения, решаемые установлением множества допустимых значений неизвестного.

3.  Решите уравнения:

а)  ;

б)  .

  III.  Уравнения, решаемые с помощью извлечения квадратного корня.

4.  Решите уравнения:

а)  ;

б)  .

  IV.  Уравнения, решаемые с помощью теорем равносильности.

5.  Дано уравнение . Почему и где в нижеуказанных в связи с его решением рассуждениях «потерян» корень?

,

,

, , ,

, ,

, . Решений нет.

Найдите «потерянный» корень.

6.  Дано уравнение . Прокомментируйте следующие его решения:

а)  , , , , ;

б)  , , .

а.  , , , ;

б.  , , , .

  V.  Уравнения, содержащие один корень.

7.  Решите уравнения:

а)  ;

б)  .

  VI.  Уравнения, содержащие два корня.

8.  Решите уравнения:

а)  ;

б)  .

Иррациональные уравнения, содержащие квадратные, кубические и другие корни.

9.  Решите уравнения:

а)  ;

б)  .

Учитывая сложность темы «Иррациональные уравнения», для обобщающего урока целесообразно планировать сдвоенный урок. Формы выполнения упражнений могут быть различны: выполнение упражнений у доски, комментированное решение, самостоятельная работа и т. д.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

Следует отметить, что включение учащихся в деятельность по отысканию обобщений математических фактов играет большую роль в воспитании качеств творческой личности. При этом ученики учатся самостоятельно ставить и решать новые для них задачи, учатся продуктивному умственному труду. Кроме того, такая деятельность способствует лучшему усвоению знаний, обнаружению связей между ними, учит рассматривать определенные факты, закономерности с более общей точки зрения, с позиции общих закономерностей, что чрезвычайно важно при изучении математики.

ЛИТЕРАТУРА.

1.  Саранцев Г. И. «Упражнения в обучении математике». – М.: Просвещение, 1995.

2.  Саранцев Г. И. «Общая методика преподавания математики» - М.: Просвещение, 1999.

3.  Оганесян В. А., Колягин Ю.М., Луканкин Г. Л., Саннинский В. Я. «Методика преподавания математики в средней школе». – М.: Педагогика, 1976.

4.  Пойа Д. «Как решать задачу?».

5.  Зильберберг Н. И. «Урок математики. Подготовка и проведение». – М.: Просвещение, 1996.

6.  Епишева О. Б., Крупич В. И. «Учить школьников учиться математике».

7.  Пичурин Л. Ф. «Воспитание учащихся при обучении математике».