Дослідження двовимірної квадратичної стаціонарної системи із двома приватними інтегралами у вигляді кривих другого порядку

Знайдемо стани рівноваги системи (2.8). Для цього дорівняємо праві частини системи нулю

23797

знаков

таблицы

изображения

Читать далее: Знайдемо стани рівноваги системи (2.8). Для цього дорівняємо праві частини системи нулю

Дипломна робота

Дослідження двовимірної квадратичної стаціонарної системи із двома приватними інтегралами у вигляді кривих другого порядку

Зміст

Введення

1. Побудова квадратичних двовимірних стаціонарних систем

1.1 Побудова квадратичної двовимірної стаціонарної системи із приватним інтегралом у вигляді параболи

1.2 Побудова квадратичної двовимірної стаціонарної системи із приватним інтегралом у вигляді окружності або гіперболи

1.3 Необхідні й достатні умови існування в системи (1.1) двох часток інтегралів (1.3), (1.13)

2. Якісне дослідження побудованих класів систем

2.1 Дослідження системи (1.1) з коефіцієнтами, заданими формулами (1.28) - (1.31)

2.2 Дослідження системи (1.1) з коефіцієнтами, заданими формулами (1.41) - (1.42)

2.3 Дослідження системи (1.1) з коефіцієнтами, заданими формулами (1.52) - (1.53)

Висновок

Список джерел

Додатки

Реферат

Дипломна робота ____ сторінок, 11 джерел.

Ключові слова й словосполучення: квадратична двовимірна стаціонарна система, приватний інтеграл, парабола, гіпербола, окружність, крапка, характеристичне рівняння, характеристичне число, вузол, сідло, фокус.

Дана робота містить результати досліджень автора, що ставляться до якісного дослідження в цілому двовимірної квадратичної стаціонарної системи.

Основним інструментом досліджень є поняття приватного інтеграла.

Робота складається із двох глав.

У першому розділі проводиться побудова квадратичних двовимірних стаціонарних систем із заданими інтегралами, при цьому коефіцієнти інтегралів виражаються через коефіцієнти системи, а коефіцієнти системи зв'язані між собою трьома співвідношеннями.

У другому розділі проводиться якісне дослідження в цілому виділених у першому розділі класів систем при фіксованих значеннях деяких параметрів.

Введення

Відомо, що в елементарних функціях і навіть у квадратурах інтегруються далеко не всі класи диференціальних рівнянь. У зв'язку із цим з'явилася необхідність у створенні такої теорії, за допомогою якої можна було б вивчати властивості рішень диференціальних рівнянь по виду самих рівнянь. Такою теорією, поряд з аналітичної, і є якісна теорія диференціальних рівнянь.

Уперше задача якісного дослідження для найпростішого випадку системи двох диференціальних рівнянь із повною виразністю була поставлена А. Пуанкаре [7]. Пізніше дослідження А. Пуанкаре були доповнені И. Бендиксоном [3, с. 191-211] і уточнені Дж.Д. Биркгофом [4, с.175-179].

(0.1)

Однієї із задач якісної теорії диференціальних рівнянь є вивчення поводження траєкторій динамічної системи (0.1) на фазовій площині в цілому у випадку, коли P (x,y) і Q (x,y) - аналітичні функції. Інтерес до вивчення цієї системи або відповідного їй рівняння пояснюється їх безпосереднім практичним застосуванням у різних областях фізики й техніки.

(0.2)

Є багато робіт, у яких динамічні системи вивчалися в припущенні, що їхніми частками інтегралами є алгебраїчні криві. Поштовхом до більшості з них послужила робота Н.П. Еругина [6, с.659 - 670], у якій він дав спосіб побудови систем диференціальних рівнянь, що мають як свій приватний інтеграл криву заданого виду.

Знання одного приватного алгебраїчного інтеграла системи (0.1) у багатьох випадках допомагає побудувати повну якісну картину поводження інтегральних кривих у цілому. Відзначимо ряд робіт цього характеру для систем (0.1), у яких P (x,y) і Q (x,y) - поліноми другого ступеня.

Н.Н. Баутиним [1, с.181 - 196] і Н.Н. Серебряковою [8, с.160 - 166] повністю досліджений характер поводження траєкторій системи (0.1), що має два алгебраїчних інтеграли у вигляді прямих. В [10, с.732 - 735] Л.А. Черкасом таке дослідження проведене для рівняння (0.2) при наявності приватного інтеграла у вигляді кривої третього порядку. Яблонський А.И. [11, с.1752 - 1760] і Филипцов В.Ф. [9, с.469-476] вивчали квадратичні системи із припущенням, що приватним інтегралом були алгебраїчні криві четвертого порядку.

У даній роботі розглядається система

(0.3)

і проводиться якісне дослідження в цілому системи (0.3) за умови, що приватним інтегралом є крива четвертого порядку, що розпадається на дві криві другого порядку, одна й з яких парабола, друга окружність або гіпербола.

Робота складається із двох глав.

1. Побудова квадратичних двовимірних стаціонарних систем 1.1 Побудова квадратичної двовимірної стаціонарної системи із приватним інтегралом у вигляді параболи

Розглянемо систему диференціальних рівнянь

(1.1)

Нехай система (1.1) має приватний інтеграл виду:

, (1.2)

де Fk (x,y) - однорідні поліноми від x і y ступеня k.

Як приватний інтеграл (1.2) візьмемо параболу виду:

F (x,y) (y+ (1 x2 + (2 x+ (3 = 0 (1.3)

Будемо припускати, що (3 (0, тобто парабола не проходить через початок координат.

Згідно [10, с.1752-1760] для інтеграла (1.3) системи (1.1) має місце співвідношення:

, (1.4)

де L (x,y) = px+my+n, p, m, n - постійні.

Тоді випливаючи формулі (1.4) одержимо рівність:

(2 (1x+ (2) (ax+by+a1x2+2b1xy+c1y2) + (cx+dy+a2x2+2b2xy+c2y2) = (y+ (1x2+ (2x+ (3) (px+my+n).

Дорівнюючи коефіцієнти при однакових ступенях xm yn ліворуч і праворуч, одержимо рівності:

(2a1-p) (1= 0 (1.51), (4b1-m) (1= 0 (1.52), 2 (1c1= 0 (1.53)

(2a-n) (1+ (a1-p) (2+a2= 0 (1.61)

2 (1b+ (2b1-m) (2+2b2+p= 0 (1.62)

(2c1+c2-m= 0 (1.63), (a-n) (2-p (3n+c= 0 (1.71)

(2b- (3m+d-n= 0 (1.72), (3n= 0 (1.73)

Нехай (1 (0, тоді з рівностей (1.51), (1.52), (1.53), (1.63) і (1.73) одержуємо, що

P=2a1, m=4b1, c1=0, c2=4b1, n=0 (1.8)

Зі співвідношень (1.61), (1.62) і (1.71) знайдемо вираження коефіцієнтів кривій (1.3) через коефіцієнти системи (1.1) у наступному виді:

a1, (1.9)

a2, (1.10)

a3. (1.11)

Рівність (1.72) з урахуванням отриманих виражень (1.9) - (1.11), дасть умову, що зв'язує коефіцієнти a, b, c, d, a1, a2, b1, b2:

(1.12)

Отже, установлена наступна теорема:

Теорема 1.1 Система (1.1) має приватний інтеграл (1.3), коефіцієнти якого виражаються формулами (1.9) - (1.11), за умови, що коефіцієнти системи зв'язані співвідношенням (1.12) і c1= 0, c2= 4b1, a1 (0, 2b1a-a1b (0.

Нехай тепер система (1.1) поряд з інтегралом (1.3) має інтеграл у вигляді:

y2+ (x2+ (x+ (y+ (=0 (1.13)

Будемо розглядати тепер систему:

(1.14)

Відповідно до формули (1.4), де L

(x,y) = m1x+n1y+p1,m1, n1, p1 - постійні для системи (1.1), маємо:

(2a1-m1) (2= 0 (1.151)

(4b1-n1) (+2a1= 0 (1.152)

m1= 4b2 (1.153)

n1=8b1 (1.154)

(2a-p1) (+ (a1-m1) (+a2 (=0 (1.161)

2b (+ (2b1-n1) (+ (2b2-m1) (+2c= 0 (1.162)

(4b1-n1) (+2d-p1= 0 (1.163)

(a-p1) (+c (+m1 (= 0 (1.171)

b (+ (d-p1) (-n1 (= 0 (1.172)

p1 (= 0 (1.173)

Припустимо, що крива не проходить через початок координат, тобто ( (0.Нехай ( (0, тоді з рівностей (1.151), (1.153), (1.154) і (1.173) одержуємо, що

m1=4b2, n1=8b1, a1=2b2, p1=0 (1.18)

А зі співвідношень (1.161), (1.163) і (1.171) знайдемо вираження коефіцієнтів кривій (1.13) через коефіцієнти системи (1.1) у наступному виді:

(1.19), (1.20)

(1.21), (1.22)

Підставляючи коефіцієнти (, (, (і (у рівності (1.162) і (1.172), одержимо дві умови, що зв'язують коефіцієнти a, b, c, d, a2, b1, b2:

(1.23)

(1.24)

Отже, установлена наступна теорема:

Теорема 1.2 Система (1.14) має приватний інтеграл (1.13), коефіцієнти якого виражаються формулами (1.19) - (1.22), за умови, що коефіцієнти системи зв'язані співвідношеннями (1.23), (1.24) і b1 (0, b2 (0, a1=2b2.

1.3 Необхідні й достатні умови існування в системи (1.1) двох часток інтегралів (1.3), (1.13)

У розділах 1.1-1.2 ми одержали, що система (1.1) буде мати дві частки інтеграла у вигляді кривих другого порядку за умови, що коефіцієнти системи зв'язані співвідношеннями:

(1.25)

Причому b1 (0, b2 (0, a1 (0, b1a-b2b (0.

Виражаючи c з першого рівняння системи (1.25), одержимо

(1.26)

Підставимо (1.26) у друге й третє рівняння системи (1.25).

Одержимо два співвідношення, що зв'язують параметри a, b, d, a2, b1, b2:

Нехай і

(1.27)

З першого рівняння системи (1.27) одержимо

Підставляючи в друге рівняння системи (1.27), знайдемо

Зі співвідношень (1.25) при умовах (1.27) одержуємо, що коефіцієнти системи (1.1) визначаються наступними формулами:

(1.28)

(1.29)

(1.30)

, , , , (1.31)

Рівності (1.9) - (1.11), (1.19) - (1.22) за умови, що мають місце формули (1.28) - (1.31), дадуть наступні вираження для коефіцієнтів інтегралів (1.3) і (1.13):

a1 (1.32)

a2 (1.33)

a3 (1.34)

s (1.35)

b (1.36)

g (1.37)

d (1.38)

Теорема 1.3 Система (1.1) має приватні інтеграли виду (1.3) і (1.13) з коефіцієнтами, певними формулами (1.32) - (1.38), за умови, що коефіцієнти системи (1.1) виражаються через параметри по формулах (1.28) - (1.31).

Нехай

(1.39)

З першого рівняння системи (1.39) знайдемо

, .

Підставляючи в друге рівняння системи (1.39), одержимо рівність:

(1.40)

Оскільки , те розглянемо два випадки: , тоді .

Зі співвідношень (1.25) при умовах (1.39) і (1.40) одержуємо, що коефіцієнти системи (1.1) визначаються наступними формулами:

, , (1.41)

, , , , (1.42)

Рівності (1.9) - (1.11), (1.19) - (1.22) за умови, що мають місце формули (1.41) - (1.42), дадуть наступні вираження для коефіцієнтів інтегралів (1.3) і (1.13):

a1 (1.43),a2 (1.44)

a3 (1.45), s (1.46)

(=0 (1.47)

g (1.48),

d (1.49)

Теорема 1.4 Система (1.1) має приватні інтеграли виду (1.3) і (1.13) з коефіцієнтами, певними формулами (1.43) - (1.49), за умови, що коефіцієнти системи (1.1) виражаються через параметри по формулах (1.41) - (1.42).

б) (1.50), (1.51)

З (1.50) знайдемо :

Зі співвідношень (1.25) при умовах (1.39) і (1.50) - (1.51) одержуємо, що коефіцієнти системи (1.1) визначаються наступними формулами:

, - будь-яке число, (1.52)

, , , , (1.53)

Рівності (1.9) - (1.11) і (1.19) - (1.22) за умови, що мають місце формули (1.52) - (1.53), дадуть наступні вираження для коефіцієнтів інтегралів (1.3) і (1.13):

(1=0 (1.54), a2 (1.55)

a (1.56)

s (1.57)

b (1.58)

g (1.59)

d (1.60)

Теорема 1.5 Система (1.1) має приватні інтеграли виду (1.3) і (1.13) з коефіцієнтами, певними формулами (1.54) - (1.60), за умови, що коефіцієнти системи (1.1) виражаються через параметри по формулах (1.52) - (1.53).

2. Якісне дослідження побудованих класів систем 2.1 Дослідження системи (1.1) з коефіцієнтами, заданими формулами (1.28) - (1.31)

Будемо проводити наше дослідження в припущенні, що , , .

Нехай ми маємо систему (1.1), коефіцієнти якої визначаються відповідно до формул (1.28) - (1.31), тоді система (1.1) запишеться у вигляді:

(2.1)

Інтегральні криві в цьому випадку мають вигляд:

(2.2)

(2.3)

Знайдемо стани рівноваги системи (2.1). Дорівнявши праві частини системи нулю й виключивши змінну y, одержимо наступне рівняння для визначення абсцис станів рівноваги:

(2.4)

З (2.4) одержуємо, що

, , , .

Ординати крапок спокою мають вигляд:

, , , .

Отже, маємо крапки

, , , .

Досліджуємо поводження траєкторій на околицях станів рівноваги , , , .

Досліджуємо крапку .

Складемо характеристичне рівняння в крапці .

Звідси

, (2.5)

Отже, характеристичне рівняння прийме вид:

= =0.

Або

Характеристичними числами для крапки системи (2.1) будуть

Коріння - дійсні, різних знаків не залежно від параметра d. Отже, крапка - сідло.

Досліджуємо крапку

Складемо характеристичне рівняння в крапці

Згідно

рівностям (2.5) характеристичне рівняння прийме вид:

Або

Характеристичними числами для крапки системи (2.1) будуть

тобто

, .

Коріння - дійсні й одного знака, що залежать від параметра d. Якщо d (0, то крапка - нестійкий вузол, якщо d (0, то крапка - стійкий вузол. Досліджуємо крапку .

Застосовуючи рівності (2.5), складемо характеристичне рівняння в крапці

Характеристичними числами для крапки

системи (2.1) будуть , тобто , . Коріння - дійсні й одного знака, що залежать від параметра d. Якщо d<0, то крапка - стійкий вузол, якщо d>0, то крапка - нестійкий вузол.

Досліджуємо крапку

Складемо характеристичне рівняння в крапці

Застосовуючи рівності (2.5), одержимо:

Або

Характеристичними числами для крапки

системи (2.1) будуть

тобто

, .

Коріння - дійсні й різні знаки не залежно від параметра d. Виходить, крапка - сідло.

Досліджуємо нескінченно - вилучену частину площини наприкінці осі oy. Перетворення

[7]

переводить систему (2.1) у систему:

(2.6)

де .

Для дослідження станів рівноваги на кінцях осі y, нам необхідно досліджувати тільки крапку . Складемо характеристичне рівняння в крапці.

Одержимо, що

Коріння - дійсні й одного знака. Отже, крапка - стійкий вузол.

Досліджуємо нескінченно - вилучену частину площини поза кінцями осі oy перетворенням [7] Це перетворення систему (2.1) переводить у систему:

(2.7)

де .

Вивчимо нескінченно - вилучені крапки на осі U, тобто при z=0. Маємо:

Одержуємо, що . Отже, станів рівноваги поза кінцями осі oy немає.

Тепер дамо розподіл станів рівноваги системи (2.1) у вигляді таблиці 1.

Таблиця 1.

d					∞
d					x=0
(-∞; 0)	сідло	невуст. вузол	вуст. вузол	сідло	вуст. вузол
(0; +∞)	сідло	вуст. вузол	невуст. вузол	сідло	вуст. вузол

Положення кривих (2.2), (2.3) і розташування щодо їхніх станів рівноваги при d (0 і d (0 дається відповідно мал.1 (а, б).

Поводження траєкторій системи в цілому при d (0 і d (0 дається мал.4 (а, б) додатка А: Поводження траєкторій системи (2.1).

Досліджуючи вид кривих (2), (2.3) і розташування щодо їхніх станів рівноваги, переконуємося, що система (2.1) не має граничних циклів, тому що Воробйов А.П. [5] довів, що для систем, праві частини яких є поліноми другого ступеня, граничний цикл може оточувати тільки крапку типу фокуса. З огляду на розташування станів рівноваги відносно кривих (1.3) і (1.13), що є інтегралами системи (2.1), характер стану, містимо, що для системи (2.1) не може існувати граничних циклів, що оточують кілька станів рівноваги.