Войти на сайт

или
Регистрация

Навигация


3.  С каждым объектом данной категории связана специальная стрелка – единичная, или тождественная, стрелка этого объекта.

Итак, дадим аксиоматическое определение категории.

Категория Ω включает в себя:

1) Совокупность предметов, называемых Ω - объектами

2) Совокупность предметов, называемых Ω-стрелками

3) Операции, ставящие в соответствие каждой Ω-стрелке f Ω-объект dom f (начало стрелки f) и Ω-объект cod f (конец стрелки f). То, что а=domf и b=cod f изображается так: f: a®b

4) Операцию, ставящую в соответствие каждой паре ‹ g, ¦› Ω-стрелок с dom g=cod f Ω-стрелку g˚¦, композицию f и g, с dom (g˚¦)=dom f и cod(g˚¦)=cod g, причем выполняется следующее условие:

закон ассоциативности:

пусть f: a®b

g: b®c

h: c®d

тогда h ˚(g˚¦)= (h ˚g)˚¦.

Закон ассоциативности утверждает, что диаграмма вида -

-коммутативна.

( в теории категорий удобным средством являются коммутативные диаграммы. Диаграмма – это схема, в которой указаны объекты и стрелки между ними. При этом, любые два пути, ведущие по стрелкам из одного объекта в другой, равны. Диаграмма называется коммутативной, если есть несколько путей от одного объекта к другому, то все они приводят к одному и тому же результату. Точнее: диаграмма называется коммутативной, когда все возможные треугольники, составляющие части данной диаграммы, коммутативны. Это означает, что любые два пути стрелок данной диаграммы, начинающиеся в одном и том же объекте и заканчивающиеся в одном и том же объекте, задают в композиции одну и ту же функцию. Диаграммы в теории категорий используются для наглядности изложения.)

5) Сопоставление каждому Ω-объекту b Ω-стрелки 1b: b®b, называемой единичной или тождественной стрелкой, так что выполнен Закон тождества:

для любых Ω-стрелок f:a®b и g:b®c 1b◦f=f и g◦1b=g, т.е. коммутативна диаграмма

1.1. Мономорфные стрелки

Определение: Стрелка f:a®b в категории Ω называется мономорфной или монострелкой в Ω, если для любой пары g,h: c®a Ω-стрелок из равенства f °g=f ° h следует g=h.

·  В произвольной категории композиция g°f является монострелкой, если как f, так и g мономорфны.

Доказательство:

Воспользуемся определением монострелки:

Стрелка g°f:a®c является монострелкой, если для любых стрелок l,m:b®a если (g°f)°l=(g°f)°m, то l=m. Изобразим диаграмму. Очевидно, что требуемое равенство выполняется, т.е. (g°f)°l=(g°f)°m. В любой категории должен выполняться ассоциативный закон. Применяя его, получаем следующее равенство: g°(f°l)=g°(f°m).

 g – монострелка Þ f °l=f °m

f – монострелка Þl=m, что и требовалось доказать.

·  В произвольной категории, если композиция g °f – мономорфна, то и f – мономорфна.

Доказательство: пусть f: a®b

g: b®d,

l, m: c®a

f – мономорфна, если из равенства f °l=f °m (*)следует, что l=m.

Очевидно, что это равенство выполняется.(см. диаграмму). Учитывая, что domg = cod(f °l) = cod(f °m), применим к равенству (*) стрелку g. Получаем g°(f ° l)=g°(f °m). Далее, по ассоциативному закону:

(g°f)°l=(g°f)°m.

g°f – монострелка Þl=m, что и требовалось доказать.

1.2. Эпиморфные стрелки

Определение: Стрелка f:a®b называется эпиморфной или эпистрелкой в категории Ω, если для произвольной пары стрелок g,h: b®c из равенства g°f=h°f следует g=h, т.е. если коммутативна диаграмма, то g=h.

·  Если g°f-эпистрелка, то g- эпистрелка.

Доказательство: пусть f: a®b

g: b®c,

l, m: c®d

g – эпистрелка, если из равенства l °g=m °g (*)следует, что l=m.

Подпись: bОчевидно, что это равенство выполняется.(см. диаграмму). Учитывая, что codf = dom(l °g) = dom(m °g), применим к равенству (*) стрелку f. Получаем (l ° g)°f=(m ° g)°f. Далее, по ассоциативному закону:

l°(g°f)=m°(g°f).

g°f – эпистрелка Þl=m, что и требовалось доказать.

1.3. Изострелки

Определение: произвольная стрелка f: a®b называется изострелкой или обратимой в категории Ω стрелкой, если существует Ω- стрелка g:b®a, такая, что g°f=1a и f°g=1b.  На самом деле такая стрелка только одна. Действительно, если предположить, что существует ещё одна такая стрелка g’, то g’=1a°g’=(g°f)°g’=g°(f°g’)=g°1b=g. Стрелка g, когда она существует, называется обратной к f стрелкой и обозначается f -1:b®a. Она определяется условиями: f -1°f=1a, f °f -1=1b.

·  Любая изострелка является эпистрелкой.

Доказательство: пусть f: a®b – изострелка, и стрелки g,h: b®c.

Тогда g °f=h °f и существует f -1 . Тогда g = g °1b= g °(f °f-1) =(ассоциативность)= (g °f) °f-1 = (h°f)°f-1=h °(f °f -1)=h °1b=h. Таким образом, f – сократима справа. Ч.т.д.

·  Любая изострелка является монострелкой. (доказательство аналогично предыдущему).

·  Любая изострелка является бистрелкой (эпи и монострелкой ).

Доказательство: следует из предыдущих двух утверждений.

·  Каждая единичная стрелка является изострелкой.

Доказательство: Пусть f: a®a – единичная стрелка. Существует стрелка f –1 : a®a и f –1 °f=1a, f °f –1=1a.Þ f – изострелка. Ч.т.д.

·  Если f – изострелка, то f –1 – изострелка.

Доказательство: пусть f: a®b – изострелка. Тогда f –1: b®a. f – изострелка Þ f °f –1=1b, f –1 °f=1a. Þ f –1 – изострелка. Ч.т.д.

·  Если f, g – изострелки, то f °g – изострелка, при этом (f °g)- 1 = g–1°f-1

Доказательство: пусть f: b®c, g: a®b. f °g: a®c. f,g- изострелки Þ $ f –1: c®b и $ g –1: b®a Þ$ g –1°f –1 :c®a. Эта композиция является «подозрительной» на обратную к стрелке f °g. Проверим это:

1)  (g –1°f –1)°(f °g)=(ассоциативность)=g –1°(f –1°f °g)=g–1°(1b°g)=g–1 °g=1a.

2)  (f °g )°g –1° f –1=f °(g °g –1°f –1)=f °(1b°f –1)=f °f –1=1c.

 Þ f°g- изострелка и (f °g)-1=g –1°f –1 .Ч.т.д.


Информация о работе «О категории множеств»
Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 30578
Количество таблиц: 0
Количество изображений: 24

Похожие работы

Скачать
17527
0
0

... Привлекательность продукции определяется степенью удовлетворения совокупности разноплановых, иногда противоречивых требований; 3. Состав предъявляемых требований, их приоритетность зависит как от вида продукции, так и типа ее потребителя; 4. Конкурентоспособность как экономическая категория имеет релятивистскую природу, так как рассматривается относительно конкретного рынка и конкретного аналога; ...

Скачать
23124
0
0

... , почему именно эти аксиомы оказались настолько успешными и достойными специального внимания. Соответственно самая большая слабость формализма состоит в невозможности объяснить, почему аксиомы теории множеств, предположительно не отражающие никакой реальности, способны доказывать арифметические утверждения, не доказуемые с помощью более финитистских средств. Слабость, которую, как я полагаю, ...

Скачать
30122
0
0

... науки. В основе этой взаимозависимости лежит взаимосвязь всеобщего, являющегося предметом философских наук, и особенного, служащего предметом частных наук. Понимание взаимосвязи философии и частных наук основывается, таким образом, на диалектике категорий всеобщего и особенного (частного). С точки зрения научной диалектики всеобщее существует только через особенное, во всей массе особенных, а ...

Скачать
27084
0
0

... исторических понятий включена в динамическую картину исторического становления современного разума. Но для того, чтобы сопоставить основные исторические понятия и термины базового уровня, нам необходимо избрать и описать кадр такого сопоставления. Этот кадр — семантика социальных категорий. Имена и классы Прежде, чем изложить некоторые элементы семантической теории социальных категорий, следует ...

0 комментариев


Наверх