Оптимальна поверхня, що є геометричним місцем Парето-оптимальних оцінок, має строго монотонний характер, тобто кожна із функцій

5. Оптимальна поверхня, що є геометричним місцем Парето-оптимальних оцінок, має строго монотонний характер, тобто кожна із функцій

,

, (4)

..........................

для Парето-оптимальних оцінок монотонно спадає щодо кожного з аргументів. Ці залежності називаються багатовимірними діаграмами обміну (БДО) для Парето-оптимальних систем.

Порівняно з одновимірними потенціальними характеристиками системи БПХ та зв'язані з ними БДО характеризуються двома важливими властивостями. По-перше, вони дають найкраще (потенціальне можливе) значення не одного, а кожного з обраних показників якості. По-друге, вони вказують, яким чином слід змінити значення одних показників якості для поліпшення інших показників якості і за рахунок якої зміни структури чи параметрів системи це можна зробити.

4 Деякі методи знаходження Парето-оптимальних рішень

Більшість методів знаходження Парето-оптимальних рішень базується на тих чи інших умовах Парето-оптимальності. У загальному випадку використовуються достатні й необхідні умови Парето-оптимальності. Зокрема, рішення є Парето-оптимальним, якщо воно є рішеннями задачі максимізації певної функції, зростаючої за відношенням . Фактично розв'язання задачі Парето-оптимізації зводиться до множини відповідних задач скалярної оптимізації за деяких обмежень. Якщо використані умови оптимальності є також і достатніми, то знайдена у такій спосіб множина рішень є множиною Парето-оптимальних рішень. У противному випадку, знайдена множина може включати і зайві рішення, що мають бути відкинуті.

Знаходження множини Парето-оптимальних систем може здійснюватися або безпосередньо перебиранням усіх строго допустимих варіантів системи та перевіркою умови (3), або з використанням спеціальних методів, наприклад, методу послідовних поступок, вагового методу, методу робочих характеристик. Вибір відповідного методу оптимізації залежить від змісту сформульованих вихідних даних, типу поставленої задачі проектування. Розглянемо особливості деяких методів.

Метод перебору. При розв'язанні оптимізаційної задачі методом перебору згідно з умовою (3) припускається, що множина  має скінченну потужність. Такі задачі виникають, наприклад, при виборі з уже відомих (“у натурі” або у вигляді технічних проектів) варіантів систем. Зокрема, множина допустимих систем може формуватися на основі відомого морфологічного підходу як різні допустимі комбінації певної кількості підсистем. Тут суттєво зазначити, що навіть для порівняно простих систем, які складаються лише з кількох підсистем, кількість допустимих комбінацій останніх може бути значною (десятки і сотні тисяч). Тому, хоча принципових труднощів при використанні методу перебору не існує, проте на практиці можливі складнощі обчислювального характеру.

Метод робочих характеристик. Метод полягає у тому, що шукається оптимум однієї із цільових, наприклад, першої функції на множині строго допустимих систем при умові, що на всі цільові функції накладаються обмеження типу рівності

, при , (5)

де  - фіксовані, але довільні значення показників якості.

Очевидно, оптимальне значення показника  у загальному випадку залежатиме від фіксованих значень інших показників якості . Знайдені у такий спосіб залежності за допустимих комбінацій фіксованих значень  у критеріальному просторі являють собою робочу поверхню. Робочій поверхні відповідає сім'я одновимірних робочих характеристик  виду

,

, (6)

...........................

.

Тут підкреслені змінні, що розглядаються як фіксовані параметри.

Робоча поверхня має такі характерні властивості:

1. Робоча поверхня включає усі Парето-оптимальні точки, але поряд з ними має і ряд безумовно гірших точок. Вони мають бути відкинуті з подальшого розгляду.

Необхідною і достатньою умовою збіжності робочої поверхні з Парето-оптимальною множиною, є її строга монотонність, тобто монотонно спадний характер відносно кожного з аргументів. В цьому випадку робоча поверхня визначає БПХ системи.

Основні складнощі при використанні методу робочих характеристик полягають у розв'язанні задачі скалярної оптимізації в умовах -го обмеження типу рівностей. Але у багатьох практичних випадках таку задачу вдається довести до одержання конкретної структури системи з довільними параметрами.

Ваговий метод. При його застосуванні Парето-оптимальні рішення знаходяться шляхом оптимізації зваженої суми цільових функцій виду

. (7)

Тут  — скінченні додаткові зважуючі коефіцієнти. При цьому знаходиться оптимальне значення  і відповідні йому значення показників якості ,

. (8)

У загальному випадку значення  залежать від обраних вагових коефіцієнтів :

,

,

….…...................... (9)

.

Для розв'язання оптимізаційної задачі (7), а також для знаходження залежностей (9) необхідно виконати оптимізацію для всіх можливих комбінацій коефіцієнтів .

Розв'язавши систему із  рівнянь (9) можна дістати залежність

. (10)

У -вимірному просторі векторних оцінок ця залежність розглядається, як рівняння вагової поверхні. Неважко бачити, що використання вагового методу зводиться до скалярної оптимізації, зокрема, відомим методом множників Лагранжа.

Вагова поверхня має такі властивості:

Похожие работы

Програмне забезпечення для оптимізації складу чотирикомпонентних нанонаповнених сумішей полімерів

Скачать

89612

2

19

... . Таким чином, вивчення особливостей поведінки чотирикомпонентних сумішей полімерів є важливим і тема роботи актуальна. Метою дипломного проекту є створення програмного забезпечення для оптимізації складу чотирикомпонентних нанонаповнених сумішей полімерів, яке дозволить визначати полімерні композиції для отримання виробів з покращеними властивостями. Для досягнення поставленої мети потрібно вирі ...

Математические модели и методы обоснования управленческих решений и сферы их применения в практике управления

Скачать

52551

7

0

... ічно зростають показники ефективноств їх діяльності. Науково-дослідні інститути закордоном працюють над новими моделями, які раніше чи пізніше пристосуються до практики управління. Щоб якимось чином впорядкувати та зробити більш наочним питання про сфери застосування тих чи інших моделей і методів наведемо таблицю (див. табл.7).Таблиця 7: Сфери застосування моделей і методів обгруниування управлі ...

Методи прогнозування у різних галузях

Скачать

56381

0

0

... ємозв'язків характеристик, що містяться в ній, з метою отримання прогнозних моделей. Методи аналогій направлені на те, щоб виявляти схожість в закономірностях розвитку різних процесів і на цій підставі проводити прогнози. Випереджаючі методи прогнозування будуються на певних принципах спеціальної обробки науково-технічної інформації, що реалізовують в прогнозі її властивість випереджати розвиток ...

Проектування вимірювальної системи температури

Скачать

40982

4

12

... Розробка структурної схеми системи вимірювання температури 2.1 Вибір оптимального варіанту структурної схеми В даному пункті курсової роботи розробляється структурна схема інформаційно-вимірювальної системи вимірювання температури. Буде розглянуто три варіанта структурних схем, порівняно їх між собою за шістьма критеріями, коротко охарактеризовано кожну та обрано оптимальну структурну схему ...