Коефіцієнт ексцесу та варіації ексцесу

3.4 Коефіцієнт ексцесу та варіації ексцесу

У ситуації, коли аналіз певних показників ефективності об’єкта (проекту) показує, що ці показники мають майже однакові сподівані значення, приблизно рівні їхні середньоквадратичні відхилення (і навіть семіквадратичні відхилення), а також є рівними значення коефіцієнтів асиметрії, то для порівняння ризиковості цих проектів можна скористатись коефіцієнтом ексцесу. Його обчислюють за формулою:

(3.21)

де Ех(Х) — коефіцієнт ексцесу. Статистичну оцінку коефіцієнта ексцесу можна здійснити за формулою:

(3.22)

де Т — кількість періодів.

Чим більше значення коефіцієнта ексцесу, тим більш «гостровершинним» є графік функції щільності ймовірності для випадкової величини, що характеризує об’єкт (проект). Ця властивість коефіцієнта ексцесу вказує на більш високу «концентрацію» значень показника ефективності в околі його сподіваного значення.

Зменшення значення Ех(Х) приводить до того, що графік функції щільності ймовірності випадкової величини Х стає менш «гостровершинним» (Додоток В), тобто більш «згладженим». Ця ситуація вказує на те, що розміри інтервалу, на який «найчастіше» потрапляють значення показника ефективності, збільшилися.

Очевидно, що серед m різних альтернативних об’єктів (проектів, стратегій) найменш ризиковий той, для якого «концентрація» значень показника ефективності в околі його сподіваного значення є вищою, тобто той (Х_k0), для якого виконується:

,

тобто Ех(Х) = Ех⁺(Х).

4. Використання нерівності Чебишева

 

4.1 Уникнення банкрутства при отриманні кредиту

 

Повертаючись до варіації (дисперсії) як міри ризику, треба зазначити, що дисперсія, звичайно, не повністю характеризує ступінь ризику, але дає змогу у деяких випадках чітко виявити граничні шанси менеджера (інвестора, підприємця).

Теоретична база цього закладена у відомій нерівності Чебишева: ймовірність того, що випадкова величина відхиляється за модулем від свого математичного сподівання більше, ніж на заданий допуск d, не перевищує її дисперсії (варіації), поділеної на d².

(4.1)

Тут відразу треба зазначити, що варіація V деякої випадкової величини R має бути меншою, ніж d², оскільки величина ймовірності не перевищує одиниці:

(4.2)

Що стосується випадкової величини X (ефективність, прибуток), то можна записати

,

де m — математичне сподівання випадкової величини X.

Припустимо, що інвестиції здійснюються за рахунок кредиту, взятого під відсоток r_s та під заставу нерухомості. Яка ймовірність того, що інвестор не зможе повернути свій борг і позбудеться своєї нерухомості?

Це ймовірність того, що випадкова величина R набуде свого значення, яке відповідає умові

R < r_s,

або

– (R – m) > m – r_s .

Отже, одержимо:

P(R < r_s) = P(– (R – m) > m – r_s) £ P(|R — m| > m — r_s) £ (V/(m – r_s))².

Звідси маємо, що шанс збанкрутувати не перевищує величини V/(m – r_s)². Звичайно при цьому мають на увазі, що обов’язково виконується умова раціональності такого вкладу «під кредит», тобто, що m > r_s а оцінка має сенс лише тоді, коли варіація (дисперсія) не дуже велика, тобто, коли виконується умова

V £ (m – r_s)².

Коли задані умови (гіпотези) виконуються, то для того щоб шанс збанкрутувати був не більшим, ніж 1/9, достатньо виконати умову (правило трьох сігм)

V £ 1/9(m – r_s)², або m ³ r_s + 3s.

(4.3)

Слід зазначити, що тут, як один з параметрів ризику у системі кількісних оцінок ризику, виступає ймовірність несприятливої події

поряд з таким параметром ризику, як дисперсія (варіація). У даному випадку р_н £ 1/9. Звичайно, можна сперечатися, чи задовольняє ця величина менеджера (суб’єкта прийняття рішення), чи ні. У ряді випадків величину р_н необхідно брати досить малою, інколи для забезпечення «допустимого» ризику покладають р_н = 0,001. [1.106]