Устойчивость САР

4. Устойчивость САР

 

Характеристическое уравнение имеет вид, которое получим из уравнения вынужденного движения системы (11) приравняв к нулю правую его часть, а т.к , то:

 (14)

Для определения диапазона настроечных параметров, в котором данная АСР будет устойчивой, воспользуемся критерием устойчивости Раусса-Гурвица.

=, =, =

>0 , >0 , >0 (15)

1. , эта система не имеет смысла, так как параметры не отвечают действительности.

2., решения системы является

Параметры этого диапазона соответствуют трем устойчивым режимам:

а) колебательному; б) монотонному; в) апериодическому.

Из характеристического уравнения находим его корни;

 (16)

Как видно из выражения (16) данная система всегда устойчива, так как корни могут быть:

1.Отрицательные действительные равные, при условии, что подкоренное выражение равно нулю. При этом переходной процесс будет оптимально устойчивый – апериодический.

2.Отрицательные действительные разные, при условии, что подкоренное выражение больше нуля. При этом переходной процесс будет устойчивый – апериодический или монотонный.

3.Комплексно сопряжённые с отрицательной действительной частью, при условии, что подкоренное выражение меньше нуля. При этом система будет устойчива, а переходной процесс – колебательный сходящийся.

С точки зрения оптимизации САР по быстродействию, необходимо выбирать значения настроечных параметров в диапазоне апериодического переходного процесса. Для этого составим уравнение:

 (17)

Корень  не удовлетворяет техническим требованиям, так как является не допустимым значением (очень большим) для данного регулятора, при .

Для наших расчетов будем использовать корень . При ,

Проверим устойчивость разработанной АСР давления пара, подставляя различные значения характеристического уравнения при этих параметрах системы. Так можно оценить влияние настроечных параметров регулятора на динамику АСР, а значит на качество переходного процесса.

Корни являются комплексно сопряженными, с отрицательной действительной частью, при этом система устойчива, переходной процесс колебательный сходящийся.

Анализируя выражение для корней можно оценить влияние всех коэффициентов на качество переходных процессов. Так, например, увеличение Кжос ведет к увеличению абсолютного значения действительной части, а значит повышению запаса устойчивости АСР, при этом статическая ошибка увеличивается, а вид переходного процесса изменяется от колебательного к апериодическому.

 

5. Исследование динамики АСР давления пара

Для исследования динамики АСР в частности, для оценки влияния параметров настройки системы рассмотрим математическую модель используя при этом уравнение вынужденного движения данной системы и варьируя в широких пределах один параметр Кжос или Тс. Оценка качества полученных при этом переходных процессов позволяет дать количественную оценку влияния каждого из параметров настройки на показатели качества переходных процессов.

Исследуем влияние параметров настройки регулятора на переходные процессы в САР и представим графики на рис.2.5.1

Рис. 2.5.1. Переходные процессы САР при  и

Примем Тс=8,902с, а будем изменять.

При значении = 3, получим следующие показатели:

-  статическая ошибка 5,7 %

-  время переходного процесса составило  = 26 с

-  динамическая ошибка 2,2 %

-  колебательность 1,3 %

При значении = 5, получим следующие показатели:

-  статическая ошибка 9,2 %

-  время переходного процесса составило  = 14,5 с

-  динамическая ошибка 0,5 %

-  колебательность 0 %

При значении = 7, получим следующие показатели:

-  статическая ошибка 12,5 %

-  время переходного процесса составило  = 13,5 с

-  динамическая ошибка 0 %

-  колебательность 0 %

Оптимальным выбираем Кжос =7.

Аналогично производятся исследование для времени сервомотора.

Здесь примем =3, а варьировать будем временем сервомотора Тс в пределах от 8 до 20с.

Графики представлены на рис. 2.5.2

Рис. 2.5.2. Переходные процессы САР при  и

Изначально было принято значение Тс= 8,902, как показывает исследование при этом:

-  статическая ошибка 5,7 %

-  время переходного процесса составило  = 26 с

-  динамическая ошибка 2,2%

-  колебательность 1,3 %

Далее принимаем значение Тс= 15, исследование показывает:

-  статическая ошибка 5,7 %

-  время переходного процесса составило  = 35 с

-  динамическая ошибка 3,9 %

-  колебательность 7,7 %

При значении Тс= 20, получим следующие показатели:

-  статическая ошибка 5,7 %

-  время переходного процесса составило  = 49 с

-  динамическая ошибка 5 %

-  колебательность 10 %

По рассчитанным показателям построим диаграммы качества и представим их на рис. 2.5.3 и рис. 2.5.4.

Рис. 2.5.3. Диаграммы показателей качества при

Рис. 2.5.4. Диаграммы показателей качества при

Исходя из проведенных исследований выбираем оптимальными следующие настройки регулятора: =7, Тс=8,902.