Решение задач по высшей математике

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Решение задач по высшей математике

Задача 1

Вычислить определители:

;

.

 

Решение

 

,

 

Задача 2

Вычислить определитель:

.

Решение

 

Используя теорему Лапласа, разложим определитель по элементам третьего столбца

.

Задача 3

Найти матрицу, обратную к матрице .

 

Решение

 

Находим определитель матрицы и все алгебраические дополнения :

;

;

;

;

;

;

;

;

;

.

 

Ответ: Обратная матрица имеет вид:

.

 

Задача 4

С помощью элементарных преобразований вычислить ранг матрицы

.

Решение

 

Прибавляя к последней строке учетверенную вторую строку и сокращая затем последнюю строку на , а после этого складывая последний столбец со вторым и третьим последовательно, получим

.

Знак ~ обозначает, что матрицы получены одна из другой с помощью элементарных преобразований и их ранги равны. Сокращая второй столбец на два и вычитая первый столбец со всех остальных столбцов, а затем вычитая последнюю строку из первой и меняя местами столбцы, получаем

 .

 

Ответ: Ранг матрицы равен двум.

Задача 5

Решить следующую систему линейных алгебраических уравнений по правилу Крамера:

;

 

Решение

 

Вычислим главный определитель системы  и вспомогательные определители , ,.

.

;

;

.

По формуле Крамера, получим

;

; .

Задача 6

Исследовать на совместность систему линейных алгебраических уравнений и, в случае положительного ответа, найти её решение.

 

Решение

 

Матрица  и  имеют вид

,

.

Их ранги равны . Система совместна. Выделим следующую подсистему

Считая  и  известными, решение подсистемы находим по формулам Крамера . Оно имеет вид

; ,

где ,  - могут принимать произвольные значения. Пусть  , где  Тогда ответом будет служить множество

 

Задача 7

 

Даны начало  и конец  вектора . Найти вектор  и его длину.

 

Решение

 

Имеем , откуда  или .

Далее , т.е. .

 

Задача 8

Даны вершины треугольника ,  и . Найти с точность до  угол  при вершине .

Решение

 

Задача сводится к нахождению угла между векторами  и :

, ; . Тогда , .

Задача 9

Даны вершины треугольника ,  и . Вычислить площадь этого треугольника.

 

Решение

 

Так как площадь треугольника  равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах  и как на сторонах, т.е. , то . Найдем векторы  и :

; ; .

Вычислим их векторное произведение:

,

,

Откуда

. Следовательно,  (кв. ед.).

Задача 10

Даны вершины треугольной пирамиды , ,  и . Найти ее объем.

 

Решение

 

Имеем ,  и . Найдем векторное произведение

,

.

Этот вектор скалярно умножим на вектор :

.

Это смешанное произведение можно найти непосредственно по приведенной формуле:

.

Следовательно, объем:

,  (куб. ед.).

 

Задача 11

Составить уравнение прямой, проходящей через точки  и .

 

Решение

 

За первую вершину примем  (на результат это не влияет); следовательно,

,

,

,

.

Имеем

, , ,

 

Ответ:  - общее уравнение искомой прямой.

Задача 12

Составить уравнение прямой, проходящей через точку , параллельно и перпендикулярно прямой .

 

Решение

 

Найдем угловой коэффициент данной прямой: . Согласно условиям параллельности и перпендикулярности двух прямых, угловой коэффициент параллельной прямой будет равен , а перпендикулярной прямой будет равен –4 /3. Составляем уравнения искомых прямых:

1) параллельной: ,  - общее уравнение прямой, параллельной данной;

2) перпендикулярной: ,  - общее уравнение прямой, перпендикулярной к данной.

 

Задача 13

Найти расстояние между двумя параллельными прямыми   и  .

 

Решение

 

Выберем на одной из данных прямых точку . Пусть . Для определения координат точки  на прямой  одну координату выберем произвольно, а вторую определим из уравнения. Возьмём ; тогда ,  и . По формуле расстояния от точки до прямой находим:

; .

Задача 14

Исследовать на абсолютную и условную сходимость

.

 

Решение

Проверим выполнение условий теоремы Лейбница

а)

б)

(при вычислении предела применялось правило Лопиталя). Условия выполняются, следовательно, ряд сходится. Исследуем ряд на абсолютную сходимость.

Имеем:

Тогда по признаку Даламбера:

, и ряд, составленный из абсолютных величин элементов исходного ряда, будет сходится. Следовательно, ряд  сходится абсолютно.

а)

б) ,

следовательно ряд  - сходится.

2) Пусть . Тогда . Применим признак сравнения, сравнивая его с расходящимся гармоническим рядом . Имеем

.

Таким образом, ряд  - расходится.

Ответ

Область сходимости ряда  есть интервал .

 

Задача 15

Вычислить предел .

 

Решение

 

Для вычисления этого предела непосредственно применить указанные теоремы нельзя, так как пределы функций, находящихся в числителе и знаменателе, не существуют. Здесь имеется неопределенность вида , для раскрытия которой в данном случае следует числитель и знаменатель дроби разделить на наибольшую степень переменной , т.е. на :

,

так как  при .

Задача 16

Вычислить придел

Решение

 

Так как предел знаменателя равен нулю, то теорема 3 неприменима. Здесь имеется неопределенность вида . Для раскрытия этой неопределенности в числителе и знаменателе следует выделить бесконечно малый множитель, на который затем сократить дробь. Для этого воспользуемся формулой разложения квадратного трехчлена на множители

, где  - его корни.

Тогда

.

Задача 17

Вычислить предел .

 

Решение

 

Умножив числитель и знаменатель на выражение, сопряженное к числителю, получим:

.

 

Задача 18

Вычислить предел .

 

Решение

 

Легко убедиться, что  и  при .

Поэтому

.

Задача 19

Вычислить предел

Решение

 

Для того, чтобы воспользоваться вторым замечательным пределом, в показателе степени выделим величину, обратную второму слагаемому основания и получим

.

 

Задача 20

Найти предел .

 

Решение

 

.

Задача 21

Продифференцировать функцию .

 

Решение

.

Задача 22

Вычислить при помощи дифференциала .

Решение

 

Пусть . Тогда . Обозначим: ; . Отсюда . Находим  и .

.

Итак, .

Задача 23

Найти .

 

Решение

 

Подстановка в заданную функцию значения  приводит к неопределенности вида . Применив правило Лопиталя, получим:

.

 

Задача 24

Исследовать на экстремум функцию

.

Решение

 

1. Находим область определения функции:.

2. Находим производную функции: .

3. Находим критические точки, решая уравнение  или . Критические точки , .

4. Область определения функции разбиваем критическими точками  и  на интервалы, в каждом из которых определяем знак , делаем вывод о характере монотонности функции на каждом из интервалов и отмечаем наличие экстремумов.

	+	0	—	0	+
	Возрастает	Max	убывает	Min	Возрастает

При переходе через критическую точку  производная  меняет знак с “+” на “-”. Значит, в этой точке функция имеет максимум:

.

Аналогично устанавливаем, что

.

Задача 25

Найти наибольшее и наименьшее значения функции

 на отрезке .

 

Решение

 

1. Находим критические точки заданной функции:

; ; .

2. Убеждаемся в том, что точка  принадлежит отрезку.

3. Вычисляем: ; ;.

4. Сравниваем числа ; ;  и находим:

; .

 

Задача 26

Найти общее решение уравнения

.

Решение

 

Это неоднородное линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Его решение ищем в виде , тогда . Подставляя  и  в исходное уравнение, получим

 или . (1)

 

Задача 27

Исследовать функцию .

 

Решение

 

1. Функция определена и непрерывна на интервале . Поэтому точек разрыва и вертикальных асимптот у графика функции нет.

2. Функция нечетная, поскольку . Это значит, что график функции симметричен относительно начало координат.

3. Положив , получим , т.е. кривая проходит через начало координат.