Синтез частотных характеристик линейных систем автоматического регулирования

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РФ

РЯЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра РТС

«Синтез частотных характеристик линейных систем автоматического регулирования»

Выполнил ст. гр. 511

Шмелёв А.О.

Проверил

Гришаев Ю.Н.

Рязань 2008

Задание

логарифмическая частотная разомкнутая система

1. Построить логарифмические частотные характеристики разомкнутой системы по заданным показателям качества.

2. Определить по построенным ЛАХ и ЛФХ запасы устойчивости по усилению и по фазе.

3. Записать передаточную функцию разомкнутой системы по построенной ЛАХ.

4. Рассчитать и построить АЧХ замкнутой системы.

Исходные данные

1. Постоянная ошибка: по укорению (δ_ст/х₀)·10²=0,5

2. Частота среза: ω_ср(2+n)·10^-2=3, где n=1

3. Логарифмический коэффициент передачи L₀₁ на частоте 0.1ω_ср не менее 26дБ.

4. Запас устойчивости по фазе Δφ±10⁰=40⁰

5. Постоянные времени обязательных инерционных звеньев: Т_ин1·10⁴=7, Т_ин2·10⁵=3

6. Частота гармонической помехи (ω_п/ω_ср)·10^-2=3

7. Коэффициент подавления помехи L_п не менее 80дБ

Построение ЛАХ и ЛФХ разомкнутой системы

Построение ЛАХ начинается с низкочастотной асимптоты. Т.к. задана статическая ошибка то система будет статической , наклон ЛАХ для низкочастотной асимптоты будет нулевым и ошибка определяется выражением δ_ст= х₀/(1+k).

(δ_ст/х₀)·10²=0,5=> δ_ст/х₀=0,5*10^-2 – относительная ошибка

k= х₀ / δ_ст -1 =2*10² -1=199 - коэффициент передачи разомкнутой системы

L₁=20lg(k)=20lg(199)=46 – логарифмический коэффициент передачи разомкнутой системы

Т.е. низкочастотная асимптота проводится через т.(1;46) параллельно оси частот.

Для обеспечения требуемого запаса устойчивости по фазе требуется, чтобы ЛАХ пересекала ось частот под наклоном -20дБ/дек на частоте среза.

ω_ср(2+n)·10^-2=3=> ω_ср=300/3=100 рад/с

Построенные участки ЛАХ соединяются прямой линией под наклоном -40дБ/дек, при этом для обеспечения п.3 исходных данных выбираем ω_с1=5рад/с, тогда т.(10;26) (т. (0.1 ω_ср ;L₀₁)) пройдёт ниже прямой с нулевым наклоном.

Сопрягающую частоту ω_с2 выбираем из условия запаса устойчивости по фазе Δφ±10⁰=40⁰ (т.к. последующие типовые и обязательные инерционные звенья будут вносить дополнительный фазовый сдвиг): ω_с2= ω_ср /2=50 рад/с .

Построенная ЛАХ сформирована последовательным соединением следующих типовых звеньев: безынерционным k(p)=199, двумя инерционными k(p)=1/(1+Т₁р)² и форсирующим k(p)=(1+ Т₂p). Т.о. передаточная функция соединения типовых звеньев будет иметь вид:

ЛФХ полученной передаточной функции строится сложением ЛФХ отдельных звеньев.

Из рис видно, что при соединении таких типовых линейных звеньев, ЛФХ системы не попадает в заданный интервал устойчивости по фазе. Для обеспечения этого условия в систему вводится дополнительное инерционное звено с сопрягающей частотой ω_с3 лежащей выше частоты среза. Система с дополнительным инерционным звеном будет проходить внутри заданного интервала при ω_с3=333рад/с .

Достраиваем ЛАХ и ЛФХ системы с учетом введенного звена, обязательных инерционных звеньев, п.5 исходных данных, и проверяем требование к подавлению гармонической помехи п.6 и п.7 исходных данных:

Т_ин1·10⁴=7 => Т_ин1=7·10^-4с => ω_ин1=1/Т_ин1=1.43·10³рад/с

Т_ин2·10⁵=3 => Т_ин2=3·10^-5с => ω_ин2=1/Т_ин2=3.3·10³рад/с

(ω_п/ω_ср)·10^-2=3 => ω_п=ω_ср·3·10²=100·3·10²=30·10³рад/с

L_п ≥ 80дБ

На рис видно, что т.( 30·10³;-80) лежит выше ЛАХ разомкнутой системы, следовательно, требование к подавлению гармонической помехи выполняется.

Определение запасов устойчивости

Проведем графически по построенным ЛАХ и ЛФХ разомкнутой системы.

Запас устойчивости по усилению ΔL=24дБ.

Запас устойчивости по фазе Δφ=45⁰.

Запись передаточной функции разомкнутой системы по асимптотической ЛАХ

При частотах близких к 0 ЛАХ имеет нулевой наклони, значит, формируется безынерционным звеном с передаточной функцией k(p)=k. На ω_с1 наклон изменяется на – 40 дб/дек – этот наклон обеспечивается 2 инерционными звеньями с k(p)=1/(1+Т₁р)²  , Т₁=1/ ω_с1 . С таким наклоном ЛАХ идёт до ω_с2 , а потом наклон становится равным – 20 дб/дек. Изменение наклона на + 20 дб/дек обеспечивается форсирующим звеном с k(p)=(1+Т₂р), Т₂=1/ ω_с2 . На ω_с3 наклон изменяется на - 20 дб/дек и становится равным - 40 дб/дек, т. е. действует инерционное звено с k(p)=1/(1+Т₃р). На ω_ин1 наклон изменяется на - 20 дб/дек и становится равным - 60 дб/дек, т. е. действует инерционное звено с k(p)=1/(1+Т_ин1р). На ω_ин2 наклон изменяется на - 20 дб/дек и становится равным - 80 дб/дек, т. е. действует инерционное звено с k(p)=1/(1+Т_ин2р).

При построении ЛАХ разомкнутой системы использовались типовые линейные звенья, поэтому передаточная функция этой системы может быть записана как совокупность таких звеньев.

,

где k=199

Т₁=1/ω_с1=1/5=0.2с,

Т₂=1/ω_с2=1/50=0.02с,

Т₃=1/ω_с3=1/333=0.003с,

Т_ин1=7·10^-4с,

Т_ин2=3·10^-5с.

Расчет АЧХ замкнутой системы

Амплитудно-частотная характеристика замкнутой системы связана с частотными характеристиками разомкнутой следующим соотношением:

АЧХ и ФЧХ разомкнутой системы можно найти двумя путями. Во-первых, по построенным J1AX и ЛФХ разомкнутой системы и, во-вторых, по комплексной частотной характеристике разомкнутой системы.

Первый способ: По ЛАХ находим значения L_p(ω) в диапазоне от 24 до 450рад/с, по ЛФХ находим значения φ_р(ω) в этом же диапазоне. Переходим от логарифмического коэффициента передачи к обычному

и строим АЧХ замкнутой системы по значениям К_з(ω)

ω	24	30	40	50	60	70	80	90	100	200	300	400	450
Lp(ω)	20	15	10	6	4	3	2	1	0	-6	-9	-15	-20
Кр(ω)	10	5.6	3.2	1.9	1.5	1.4	1.3	1.1	1	0.5	0.4	0.17	0.1
φр(ω)	-140	-144	-143	-140	-140	-140	-135	-135	-135	-140	-153	-162	-171
Кз(ω)	1.1	1.16	1.29	1.46	1.53	1.55	1.41	1.35	1.3	0.7	0.6	0.2	0.1

Второй способ: Подставим в передаточную функцию разомкнутой системы p=jω, получим комплексную частотную характеристику

её модуль будет равен:

ФЧХ

ω	24	30	40	50	60	70	80	90	100	200	300	400	450
Кр(ω)	9.2	6.2	3.9	2.8	2.1	1.7	1.4	1.2	1.1	0.44	0.25	0.16	0.13
φр(ω)	-135.9	-136.5	-135.6	-134.2	-133	-132.2	-131.7	-131.6	-131.7	-140.5	-151.9	-162.2	-166.8
Кз(ω)	1.1	1.13	1.19	1.26	1.32	1.35	1.33	1.3	1.28	0.6	0.32	0.2	0.15

Генерирование независимых случайных процессов