4. Локальна компактність.
Лема 5.3. W( ) компактно тоді й тільки тоді, коли
не є граничним ординальним числом.
Доказ.
Необхідність. Будемо доводити методом від противного й припустимо, що - граничне ординальне число. Розглянемо множину «хвостів», тобто множина виду W(
)\W(
) = {x
W(
):
x }, де
– деяке ординальне число:
. Це замкнуті множини. Очевидно, що перетинання кінцевого числа «хвостів» є «хвостом», тобто не порожньо. Таким чином, «хвости» утворять центровану систему замкнутих множин. Тому що
- граничне ординальне число, то перетинання всіх множин цього сімейства порожньо й, отже, W(
) не компактно - протиріччя. Отже,
- не є граничним ординальним числом.
Достатність. Проведемо доказ по індукції:
1.W(0) = ( - очевидно компактно.
2. Індукційне припущення: нехай ’ =
+1 – не граничне ординальне число. Припустимо, що W(
) компактно для будь-якого
<
+1.
Нехай - сімейство відкритих множин, що утворять покриття простору W(
+1). Тому що крапка
покрита, то існує U
,
<
: [
+1;
]
U
. По індукційному припущенню простір W(
+1), що є підпростором W(
+1), компактно, тому що
+1<
+1. Тому кінцева підродина F з
покриває W(
+1). Тоді F
{U} – це кінцеве підпокриття з
, що покриває W(
+1). Отже, W(
+1) компактно. :
Із цієї леми треба, що простір W( 1) не є компактним, тому що
1 - граничне ординальне число.
Пропозиція 5.4. Простір W( 1) локально компактно.
Доказ.
Візьмемо довільну крапку з W(
1). Тому що
W(
1), те
<
1 і
+1<
1 (тому що
1 – граничне ординальне число). Отже,
+1 не є граничним ординальним числом. Як околиця крапки
візьмемо відкрито-замкнуту множину U(
) = {
|
<
+1} = {
|
} = W(
+1) – компактно (по лемі 5.3) і містить крапку
. Отже, W(
1) локально компактно. :
5. Рахункові множини в W( 1).
Визначення 2.11. Множина А називається кофинальним в W( ), якщо воно не обмежено зверху, тобто (
) (
).
Пропозиція 5.5. Жодне рахункова множина в W( 1) не кофинальне.
Доказ.
Будемо доводити методом від противного й припустимо, що в W( 1) існує рахункове кофинальна множина S.
Доведемо, що W( 1) =
:
Очевидно, що W(
)
W(
1) для будь-якого
S
W(
1).
Доведемо, що W(
1)
.
Нехай W(
1). Тому що S кофинальне, то існує
S:
. Отже,
W(
)
.
Таким чином, W( 1) =
.
Помітимо, що |W( 1)| =
1. Тоді
1
|S|
0. Отже, |S|=
1, чого бути не може, тому що S – рахункова множина. :
0 комментариев