Рахункова компактність

6. Рахункова компактність.

Пропозиція 5.6. Будь-яка рахункова множина з W( 1) утримується в компактному підпросторі простору W( 1).

Доказ.

Нехай А - рахункова підмножина в W( 1). За пропозицією 5.5 воно не є кофинальним, тобто А обмежено зверху в W( 1). Нехай = supA. Тоді W( 1) і А W( +1), де W( +1) на підставі леми 5.3 компактно, тому що +1 не граничне ординальне число. Таким чином, найшовся компактний підпростір простору W( 1), у якому втримується множина А. ■

Наслідок 5.7. Будь-яка рахункова замкнута множина в W( 1) компактно.

Доказ.

Нехай А – рахункова замкнута множина в W( 1). Тому що замкнута підмножина компактного простору компактно ([8]), а множина А за умовою замкнуто, і за пропозицією 5.6 воно втримується в компактному підпросторі простору W( 1), те А компактно. :

Пропозиція 5.8. Простір W( 1) розрахункове компактно.

Доказ.

Нехай S – довільна нескінченна підмножина в W( 1), а ( n) – його строго зростаюча послідовність. За пропозицією 5.5 множина { n} не є кофинальним, тобто воно обмежено зверху. Нехай =sup n. У будь-якій околиці ( ) крапки , де , є крапки послідовності n множини S. Тоді  - гранична крапка множини S. :

7. Простір W( 1) не метризуемо, тому що воно не компактно, але розрахункове компактно, а в метричних просторах будь-яке розрахункове компактний простір компактно.

8. Компактификації.

Лема 5.9. З будь-яких двох не пересічних замкнутих множин в W( 1) хоча б одне обмежене.

Доказ.

Будемо доводити методом від противного й припустимо, що H і K – кофинальні замкнуті не пересічні множини. Ми можемо вибрати зростаючу послідовність ( n), n N, де n H для n – непарних, і n До для n – парних. Тому що множини Н и К замкнуті, те граничні крапки їм належать, тобто  = sup n , чого бути не може, оскільки множини Н и К не перетинаються. :

Пропозиція 5.10. Будь-яка функція f З (W( 1)) постійна на «хвості» W( 1)\W( ) ( залежить від f ).

Доказ.

Помітимо, що будь-який «хвіст» W( 1)\W( ), де W( 1), розрахункове компактний, тому що він є замкнутим підпростором розрахункове компактного простору W( 1) ([3]). Отже, кожна множина образів f [W( 1)\W( )] – це розрахункове компактна підмножина R (оскільки функція f безперервна, а безперервний образ розрахункове компактної множини розрахункове компактний ([3]) ) і, отже, компактно, тому перетинання [W( 1)\W( )] центрованого сімейства замкнутих множин не порожньо. Виберемо довільне число r із цього перетинання. Доведемо, що f -1(r) кофинальне в W( 1). Тому що r [W( 1)\W( )], те r f [W( 1)\W( )] для будь-якого W( 1). Отже, f –1(r) W( 1)\W( ) для кожного .

Розглянемо для кожного n N замкнута множина Аn = {x W( 1):

| f (x) – r |  }. Воно не перетинається з f –1(r), а f –1(r) кофинальне, тому по лемі 5.9 Аn має точну верхню грань в W( 1). Позначимо n = sup An. Візьмемо довільне ординальне число >sup n. Нехай  W( 1)\W( ), тоді > . Припустимо, що f ( ) r, тоді |f ( ) - r| для деякого n. Отже, Аn і n< , тобто , але > - протиріччя.

Таким чином, f ( ) = r для будь-якого  W( 1)\W( ), > . :

Визначення 2.12. Нехай сХ – довільна компактификация тихоновського простору Х. Множина сХ\Х, тобто множина всіх крапок, який сХ відрізняється від Х, називається наростом компактификації сХ.

Визначимо впорядкування на сімействі ζ(Х) всіх компактификацій простору Х.

Визначення 2.13. Нехай з1Х и с2Х – компактификації простору Х. Покладемо з2Х с1Х, якщо існує безперервне відображення f: з1Х с2Х таке, що f (х) = х для всіх х з1Х.

Відомо, що кожне некомпактне локально компактне хаусдорфово простір Х володіє компактификацією Х с однокрапковим наростом. Ця компактификація є найменшим елементом сімейства ζ(Х) всіх компактификацій простору Х стосовно впорядкування  й називається однокрапкової компактификацією (александровськой компактификацієй) ([3]). Звідси треба, що простір W( 1) { 1} є александровськой компактификацією простору W( 1).

Визначення 2.14. Нехай Х. - довільний тихоновський простір. Найбільший елемент сімейства ζ(Х) всіх компактификаций простору Х називається стоун-чеховської компактификацією (або стоун-чеховським розширенням) простору Х.

Пропозиція 5.12. Простір W( 1) має єдине компактне хаусдорфово розширення (а саме W( 1) { 1}).

Доказ.

Доведемо, що W( 1) { 1} є стоун-чеховської компактификацією простору W( 1). Відомо, що якщо кожне безперервне відображення тихоновского простору Х у компактний хаусдорфовий простір можна безупинно продовжити на деяку компактификацію Х простору Х, те Х є стоун-чеховської компактификацією простору Х ([3]). Таким чином, досить довести, що будь-яка безперервна функція, певна на W( 1), триває по безперервності на W( 1) { 1}.

Кожна безперервна речовинна функція, фінальне постійна, тобто для деякого а W( 1) і всіх х, в > a маємо f (x) = f (y) (за пропозицією 5.10). Отже, якщо f продовжити на простір W( 1) { 1}, що є однокрапкової компактификацією простору W( 1), поклавши  ( 1) = f (х), де х >a, |W( 1) = f , то ми одержимо безперервну функцію  на W( 1) { 1}. Виходить, W( 1) { 1} – розширення Стоуна-Чеховського простору W( 1). :

Висновок

Метою курсової роботи було дослідження простору ординальних чисел, його порядкових і топологічних властивостей. У першому розділі були дані основні поняття теорії множин і загальної топології, а в другому розділі було уведене поняття порядкового типу, установлені властивості порядкових чисел, а також проведене дослідження простору ординальних чисел, що має важливе значення для даної роботи. Були доведені хаусдорфовость, нормальність, локальна компактність, рахункова компактність і деякі інші властивості лінійно впорядкованого простору ординальних чисел.

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

1. Чиркова Н. В. Випускна кваліфікаційна робота «Лінійно впорядковані простори. - К., 2002.

2. Александров П. С. Введення в теорію множин і загальну топологію. К., 2007

3. Енгелькинг Р. Загальна топологія. – К., 2003

4. Келли Дж. Л. Загальна топологія. – К., 2001

5. А. Н. Колмогоров, С. В. Фомін Елементи теорії функцій і функціонального аналізу. К., 2007.

6. И. А. Лавров, Л. Л. Максимова Задачі по теорії множин, математичній логіці й теорії алгоритмів. – К., 2004