Қателіктер теориясының негіздері

Дәріс 1.

Дәріс 1. Тақырыбы: Қателіктер теориясының негіздері. Жуық сандарының қателіктер. Мәнді және дұрыс цифрлары. Қателіктердің негізгі қайнары. Шектік салыстырмалы қателікті есептеу.

Дәріс жоспары:

1. Қателіктер теориясының негіздері. Жуық сандарының қателіктер.

2. Мәнді және дұрыс цифрлары.

3. Қателіктердің негізгі қайнары. Шектік салыстырмалы қателікті есептеу.

Дәріс тезисі:

Абсолютті және салыстырмалы қателіктер. Қателікті бағалауды мыналардың көмегімен көрсетуге болады:

Абсолютті қателіктер; Салыстырмалы қателіктер;

Жуықталған а саны деп атаймыз, егер нақты А санынан біршама өзгешелеу және есептеуде оны ауыстыратын санды.

Егер a<A, онда а саны жуықталған мәнінен жетіспейтін болады. Егер a>A, онда а саны жуықталған мәнінен молдық (по избытку) болады.

А нақты және оның жуықталған а сандарының айырмашылығы қате мен қателіктерден тұрады. Практикалық қызметте қатесіз жұмыс істеу мүмкін емес, сондықтан біз абсолютті қателік үғымын енгіземіз:

(1)

Бірақ бұл жағдайда мұндай жағдайлар көрінеді :

1. А нақты мәні белгілі болсын. Бұл жағдайда абсолюттік қателік (2.1) формуласымен тез табылады.

2. А наұты мәні белгісіз болсын. Бірақ (2.1) формуласымен абсолюттік қателікті табуға болмайды. Бұл жағдайда абсолюттік қателіктердің шекарасы h деген ұғым енгізіледі. Және оны мына формуламен табамыз:

.

Кез келген да абсолютті қателіктің шекарасы бола алады, себебі . Осы абсолютті қателіктің шекарасының екеуінің кішісін аламыз, себебі жуықталған санның жақсы сипаттайды.

Мысалы: санын қарастырайық және санын орнын ауыстыратын санның қателік шекарасын табайық.

Шешімі: көре аламыз. Бұдан және шығады. Басқа жағынан дұрыс екенін көре аламыз. Және бұдан шығады. Яғни абсолюттік қателіктің бағалауы дап мына бағалауды аламыз:.

Аналогиялық түрде қарастырсақ, онда барлық нақты жуыөтауды және жақсы бағалауды табуға болады.

Абсолюттік қателік арқылы жақсы немесе жаман сапа деп өлшеуді айтуға болмайды, яғни өлшеуге бағалау беруге болмайды.

Есептеудің сапасын анықтау үшін абсолюттік қатенің (абсолюттік қателіктің шекарасын) өлшенген шамаға дейінгі қанша үлесін алып жатқанын анықтау керек.

Ол үшін жаңа ұғым – салыстырмалы қателік ұғымын енгізейік. Есептеуде немесе нақты өлшеуге сипаталады.

а жуықталған санның салыстырмалы қателігі деп абсолюттік қателіктің А нақты санның модуліне қатынасын айтамыз:

.

А нақты мәні ереже бойынша белгісіз , ал а санның , онда есептеуде мына формуланы қолданамыз:

(2.2)

Абсолюютік қателіктің шекарасының есебін қолдана отырып мынаны аламыз:

.

Салыстырмалы қателіктің шекарасының а жуықталған санның шамасы деп атаймыз: (2.3)

Салыстырмалы қателіктің шекарасын пайызбен өлшеу түрінде жазуға болады:

(2.4)

Мысалы 2.2: Алма мен қауында өлшеу кезінде (г), и (г) мынадай сәйкесінше нәтижелер берген.Бірінші және екінші жағжайжа абсолюттік қателік 2 г-ге тең. Қай өлшеу кезінде нақты болған?

Шешімі:

немесе 0,8%

немесе

Сонымен, қауында рет өлшегенде нақты болған.

Ескерту: Абсолюттік қателік (абсолюттік қателіктің шекарасы) бір қалыпты өлшеу болып табылады, яғни өлшеудің сол бірліктерінде өлшенеді және ізделінді шама да. Салыстырмалы қателік (салыста Ырмалы қателіктің шекарасы да) дерексіз сандар болып табылады, яғни өлшеудің нәтижесінің бірлігіне тәуелді емес .

Сан мәнді және дұрыс сандар. Сан мәнді сандар түрінде бөлшек сандардың ондықтар түрінде берілген барлық сандарын айтады, яғни нольден өзгеше сандардың біріншісінен бастап кіреді.

Мысалы.

а) санында төрт сан мәнді сандары бар:;

б) санында бес сан мәнді сандары бар: ;

в) санында алты сан мәнді сандары бар: .

Нақты сандарды жазу кезінде нольдер бір жағдай да ғана оң жақта санды мәнді сан, ал басқа жағадайда сан мәнді емес сан болуы мүмкін. Аяғында орналасқан нольдер сан мәнді сан болады, егер олар разрядтардың нақталағын сақтаса.

Мысалы: 102000 саны бірліке дейін нақтылықпен берілсе , онда барлыө оң жақтағы нольдер сан мәнді болады.Егер осы сан жүздікке дейінгі нақтылықпен берлісе, онда ноль жүздік разрядта сан мәнді сан болады.

Сан мәнді сандаржды дұрыс сандар деп атайды, егер санның модулінің қателігі бірден басым болмаса, онда бұл санға сәйкес болады.

Мысал: 2.3:а = 0,03045 = 0,000003

а = 0,030450000 = 0,00000007

Асты сызылған сандар бұл жерде дұрыс сандар болады.

Кейбір жағдайдларда былай айтқан дұрыс, А нақты санның жуықталған а саны n дұрыс белгі, мысалы, А = 35,97 нақты саны үшін а = 36,00 жуықталған саны 3 дұрыс белгі болады, яғни |А-а|=0,03.

Функциялардың қателіктері

Енді абсолютті қателікті а санын деп, ал салыстырмалы қателік – белгілейтін боламыз.

1. Санды қосудағы қателік:.

Абсолюттік қателік:

.

Салыстырмалы қателік:

.

2. Санда алудағы қателік:.

Абсолюттік қателік:

.

Салыстырмалы қателік:

.

3. Санды көбейтудегі қателік: .

Абсолюттік қателік:

.

Салыстырмалы қателік:

.

4. Санды бөлудегі қателігі. .

Абсолюттік қателік:

.

Салыстырмалы қателік:

.

5. Салыстырмалы қателік бір айнымалыға тәуелді болады..

Абсолюттік қателік:

,

.

Салыстырмалы қателік:

.

Аналогиялық түрде функциялар үшін абсолюттік және салыстырмалы қателіктерді бағалау формуласын аламыз, яғни айнымалысына тәуелді болады.

Бақылау сұрақтары:

1. Сандық математика қандай әдістерді меңгереді?

2. Қателіктердің негізгі қайнарын атаңыз?

3. Мәнді цифрға анықтама беріңіз?

4. Дұрыс цифрға анықтама беріңіз?

Д2. Тақырып: Сандарды дөңгелектеу. Есептеуіш операциялар қателіктері. Қателік теориясының кері есебі.

Дәріс жоспары:

1. Сандарды дөңгелектеу.

2. Есептеуіш операциялар қателіктері.

3. Қателік теориясының кері есебі.

Дәріс тезисі:

Сандарды дөңгелектеу. Жақын санның дәлдiгi мәндi сандарға тәуелдi емес, ал дұрыс сандарға тәуелді болады. Көп қате сандардың бар болуы жазуларды өшіруге және есептеу уақыттың ұлғайуына алып келедi. Бұл кемшiлiктердi жою үшiн жуық санды мәндi сандардың кiшi саны бар санмен алмастыруларына жүгінеді. Бұны дөңгелектеу арқылы жүргізуге болады, мысалы, разрядтары сақтап қалу үшін мәндi сандардфң дұрыс емес бөлiгiн жай ғана лақтырып тастау арқылы немесе оларды нөлдерiмен алмастыру арқылы. Дегенмен, ең төменгi қателiктi алу үшiн дөңгелектеудiң арнайы ережелерiн қолданылады.

Дөңгелектеу ережелері:

Егер дөңгелектеу барысында соңғы сақталынған бірліктің азырақ бөлігі алынып тасталса, онда барлық сақталынатын разрядтар санын өзгермейтін етеді. Егер көрсетілген бөліктен көбірек болса – соңғы сақталынатын санды 1 – ге ұлғайтады. Егер алынып тасталған бөлік көрсетілген бөлікке теңбе – тең болса, онда оң сандар ережесі қолданылады – егер ол оң сан болса, соңғы сақталынған санды өзгеріссіз қалдырады және егер ол теріс сан болса, оны 1 – ге ұлғайтады. Мұндай дөңгелектеудің қателігі соңғы тоқтатылған санның ондық разрядты 1/2 бірлігінен аспайды.

Жуық есептеуіштерді орындау барысында мәні бар сандардың мәні аралық нәтижесі дұрыс сандардың 1 немесе 2 еседен аспауы керек. Ақырғы нәтиже дұрыс сандармен салыстырғанда тек қана 1 артық мәнді санға ие бола алады.

Келтірілген ережелер кемістіктерсіз есептеуіштер арқылы керексіз сандардың жазылуынан қашып құтылуға және есептеу уақытты үнемдеп қалуға мүмкіндік береді.

Есептеуіш операциялар қателігі. Бірнеше жуықталған сандардың алгебралық соммасының аболютті қателігі осы сандардың абсолютті қателігінің соммасынан аспайды. Егер

u = ± x₁ ± x₂ ±...± x _n болса,

онда Du = ± D x₁ ± Dx₂ ±...± Dx _n болады,

және ï Du ï£ï D x₁ï+ ïDx₂ï+...+ï Dx _nï болады.

Ақырлы абсолюттік қателік

D_u =D_x1 + D_x2 +...+D_xn болады. (1.7)

Бұдан жеке қосылғыштар дәлдігін ұлғайту арқылы, сомманың дәлдігін өзгертуге болмайтындығын көруге болады.

Жуық сандарды қосу ережесі:

– Ондық жазбасы басқаларына қарағанда ертерек айырылатын (үзілетін) қосылғыштарды белгілеу және оны өзгеріссіз қалдыру;

– Бір немесе екі жазба белілерін сақтай отыра, белгіленген (көрсетілген) үлгі бойынша қалған қосылғыштарды дөңгелектеу;

– Барлық сақталынған белгілерді есепке ала отырып, қосуды жүргізу;

– Нәтижені бір белгіге дөңгелектеу.

Жақын жуық сандарды есептеу кезінде дәлдікті жоғалту. Екі жуық санның айырмашылығына қатысты шектi салыстырмалы қателiкті анықтау. u = x₁ – x₂ болсын. (1.7) қолдана отырып,

D_u = D_x1 + D_x2 аламыз.

Шектi салыстырмалы қателiк

d _u = D _u / A болады, (1.8)

Мұнда А – u айырымының абсолюттiк шамасынның дәл мән.

Егер қысқартулар және есептеуіштер – жуық сандар болса, онда А шектi салыстырмалы қателiкті аз және өте ауқымды ұлғайтады.

Мысалды қарастырайқ.

x₁ = 47,132 және x₂ = 47,111 бес уақытша белгімен берілген болсын. u = x₁ – x₂ = 0,021 айырымы.
D_x1 = D_x2 = 0,0005 шекті абсолютті қателіктер. (1.7) бойынша шекті абсолютті салыстырмалы қателік D_u= D_x1 + D_x2 = 0,001 тең болады.

Шектi салыстырмалы қателiктер:

d _x1 = 0,0005/47,132 » 0,00001;

d _x2 = 0,0005/47,111 » 0,00001;

d _u= 0,001/0,021 » 0,05 болады.

Айырымның шектi салыстырмалы қателiгі бұл мысалдың ағымдағы берілгендерінің шектi салыстырмалы қателiгінен жуық шамамен 5000 есеге артық.

Бұдан есептеуіштер ережелері туындайды:

– мүмкіншілік бойынша жуық сандардың есептеуінен қашқақтаған жөн;

– Мұндай есептеу қажет болған жағдайда азайғыштар мен азайтқыштарды қордағы сенiмдi таңбалардың жеткiлiктi санымен алуы керек болса.

_ Бірнеше жуық сандар өрнегінің шекті салсыстырмалы қателігін анықтайық.. Бірнеше жуық сандар өрнегінің салыстырмалы қателігі осы сандардың салыстырмалы қателігінің соммасынан аспайды:

d £ d₁ + d₂ +...+ d_n ,

Бұдан өрнектің шекті салыстырмалы қателігі келесідей болады u = x₁ x ₂...x_n :

d _u= d _x1 + d _x2 + ... + d _xn, болады, (1.9)

Ал шекті абсолюттік қателігі

D_u= ïuï d _u болады. (1.10)

Жек жағдайларда k нақты санын х жуық санына көбейту керек

u = kx,

d _u= d _x,

D_u= ï k ïD_x болады.

Бұл жағдайда салыстырмалы шекті қателік өзгермейді, ал абсолютті салыстырмалы қателік ïkï рет өседі.

Жуық сандарды көбейту барысындағы практикалық ережелері:

–дәлдігі азырақ өзіндік көбейткіштегі дұрыс сандар мөлшеріне қарағанда, жуық сандардың әрбіреуі бір мәнді санға артығырақ болатындай етіп дөңгелектеу;

– Көбейту нәтижесінде дәлдігі азырақ өзіндік көбейткіштегі дұрыс сандар қанша болса, сонша мәнді сандарды сақтайды.

Жеке u = x/y үшін де (1.9) типінің арақатынасы дұрыс болады, яғни,

d_u = d_x + d_y болады.

Егер бөлінгіш пен бөлгіштің кем дегенде m дұрыс саны бар болса, онда шектен тыс салыстырмалы қателік үшін мына ұзындқ қабылдануы мүмкін

d _u = , (1.11)

мұнда a және b – сәйкесінше бөлінгіш пен бөлгіштің алғашқы мәнді сандары болып табылады.

Жуық санды m дәрежеге келтіретін болсақ, онда шекті салыстырмалы қателік m есеге өсетін болады. m дәрежелі түбірден құтылу кезінде жуық саннан алу, салыстырмалы қателік m есеге азайады.

Қателікті есептеудің жалпы формуласы.

Егер u = f (x₁, x₂, ... x _n) и ï Dx _i ï (i = 1, 2, ...n) аргументтің абсолютті қателігнің дифференциялдық функциясы берілген болса, онда функцияның шекті қателігі

Du = Dx_i болады, (1.12)

ал шекті салыстырмалы қателігі

du = Dx_i болады. (1.13)

Қателіктер теориясының кері талаптары

Берілген функция қатерігін жүзеге асыруда функция аргументтің қажетті қателіктерін анықтау үшін – практикада жиі кері есепті шешуге тура келеді. Берілген функция қателігін аргументтер қателігінң түрлі сәйкестіктері арқылы жүргізуге болғандықтан, бұл талап дұрыс емес болады.

Есепті шешу үшін қосымша шарттарды қолданады. Түрлі әсер етулер қағидасы олардың бірі болып табылады. Бұр қағидаларға сәйкес жеке дифференциялдар

Dx_i ( i = 1, 2, ...n)

Du функциясының жалпы абсолютті қателігінің пайда болуына бірдей әсет етеді деп түсіндіріледі. Онда (1.12) формуласында бірдей n қосылғыштар болады және есепті шешу келесідей болады:

Dxi = ; (i = 1, 2, ...n ). (1.14)

Бақылау сұрақтары:

1. Сандарды дөңгелекту ережесін сипаттаңыз.

2. 2 жуық сан соммасының қателігі неге тең?

3. 2 жуық санның айырым қателігі неге тең?

4. 2 жуық сан туындысының қателігін есептеу ережесін сипаттаңыз.

5. 2 жуық сан жеке қателігін есептеу ережесін сипаттаңыз.

6. Қателіктер теориясының кері есебін сипаттаңыз.

7. әртүрлі ықпалдар қағидасы нег тең болады?

8. Қателіктер теориясының кері есебінің дұрыс еместігі (дөрекілігі) неден тұрады?

Д3. Тақырып: Функция мәндерін есептеу. Итерация әдісі. Аналитикалық функцияның мәнін тізбекке орналастыру арқылы есептеу. Полином мәндерін есептеу. Рационал бөлшектердің мәнін есептеу.

Дәріс жоспары:

1. Функция мәндерін есептеу. Итерация әдісі.

2. Аналитикалық функцияның мәнін тізбекке орналастыру арқылы есептеу.

3. Полином мәндерін есептеу.

4. Рационал бөлшектердің мәнін есептеу.

Дәріс тезисі

Функция мәндерін есептеу. Итерация әдісі.

y = f(x) үздіксіз функция берілген, оның х = x болғандағы мәнін есептеу керек. Функцияны z = F(x, y) = y – f(x) түріне келтіреміз. х мәні фиксирленген болғанда тапсырма y мәнін анықтауға алып келеді, мұнда z = 0.

Кез келген y = y_n мәнін таңдап, Лагранж теоремасын пайдаланып, келесі қатынасты аламыз (сурет 2.1):

y_n+1 = y_n – (x=x) (2.1)

Мұнда және әрі қарай штрих саны сәйкесінше туындының ретін білдіреді (сурет 2.1).

Сурет 2.1. Функция мәнін есептеуге арналған сызба

Ізделінді y мәніне тізбекті жуықталған итерация процесіне арналған формула алынды. Егер F’ и F” қарастырылып отырған аралықта тұрақты таңбаға ие болса, онда процесс жинақты болады. Бастапқы y_n мәні еркін таңдалады, бірақ ол мүмкіндігінше ізделінді y мәніне жақын болу керек. Процесстің артықшылығы – операциялардың біркелкілігі және оңай программалануы.

Әдістің кейбір функциялардың мәндерін есептеуде пайдалануын қарастырайық.

Аналитикалық функция мәндерін тізбекке орналастыру арқылы есептеу.

f(x) нақты функциясы x нүктесінде аналитикалық деп аталады, егер ïx – x ï< R нүктесінің маңында функция дәрежелі қатарға бөлінсе (Тейлор қатары):

f(x) = (x))/k!)(x – x)^k , (2.5)

мұнда f^(k) – f(x) функциясының k-ші туындысы.

x = 0 болғанда Маклорен қатарын аламыз:

f(x) = (0))/k!)x^k.(2.6)

Қосылатын қатарлар саны шектеулі болса

R_n(x) = f(x) – (x))/k!)(x – x)^k айырымы (2.7)

қалдық мүше деп аталады және соңғы мүшесі n болатын Тейлор қатары (Тейлор полиномы) арқылы функция ауыстырымындағы қателігі болады.

Функцияны келтірілген формулалар бойынша дәрежелі қатарға келтіру көп жағдайда функция мәнін есептеуге қолайлы әдіс болады. Көптеген математикалық анықтамаларда алгебралық, көрсеткіштік, тригонометриялық, гиперболикалық, логарифмдік, кері тригонометриялық және кері гиперболикалық функциялардың дәрежелік қатарға келтірілуі көрсетілген және олардың жинақталу облыстары көрсетілген.

Полином мәндерін есептеу

Коэффициенттері оң a_k (k = 0, 1, ...n) болатын n-ші ретті Pn(x) = a₀ xⁿ + a₁x^n-1 +...+a_n полиномы берілген. x = x, яғни P_n(x) болғандағы полиномның мәнін есептеу керек.

Полиномды екімүшеге бөлеміз x – x. Жалпы жағдайда Q_n-1(x) түріндегі полином және b_n қалдығы аламыз. Бұла жазуға болады:

P_n(x) = Q _n-1(x) (x- x) + b_n. (2.9)

Безу теоремасы бойынша x = x болғанда қалдық бастапқы полином мәніне тең болады, яғни

P_n(x ) = b_n. (2.10)

Бұл қатынасты (2.9)-ге х = x қою арқылы оңай алуға болады. Жеке жағдайда b_n= 0 және x полином түбірі болады, яғни P_n (x) = 0.

Жоғарыда көрсетілген бөлуді орындаму үшін, Q _n-1 (x) полиномының b_i коэффициентін анықтау үшін Горнер сызбасын пайдаланамыз:

a₀ a₁ a₂ … a _n ë x

+

b₀x b₁x … b_n-1x

b₀ b₁ b₂ .... b _n = P_n (x).

Коэффициенттер келесі формулалар арқылы есептеледі:

b₀ = a₀ + 0 x;

b₁ = a₁ + b₀x;

b₂ = a₂ + b₁x;

.....................

b_n = a_n + b _n-1x.

Қайталанатын, программалау оңай болатын b_i = a_i+ b_i-1 x (i = 0, 1,…, n) операциялар тізімі бар.

Рационал бөлшектердің мәнін есептеу

Рационал бөлшекті екін полиномның қатынасы ретінде беруге болады:

R(x) = P_n(x)/ Q_m(x).

R(x) мәнінің x = x R(x) = P_n(x)/Q_m (x) нүктесінде бөлшегін табу үшін P_n(x) және Q_m(x) мәндерін жоғарыда келтірілген сызба бойынша есептеп, олардың бөлінуін орындаймыз.

Бақылау сұрақтары:

1. Итерация әдісі үшін формуланы жазыңыз.

2. Итерация әдісінің пайдалануына мысал келтіріңіз.

3. Қандай функция аналитикалық деп аталады?

4. Полином мәнін Горнер сызбасын пайдалану арқылы есептелуіне мысал келтіріңіз.

5. Рационал бөлшектердің мәнін қалай есептеуге болады?

Д4. Тақырып: Теңдеулерді сандық есептеу. Есептің қойылуы. Түбірлердің бөлектенуі. Жуықталған түбірлерді нақтылау әдістері.

Дәріс жоспары:

1. Теңдеулерді сандық есептеу. Есептің қойылуы.

2. Түбірлердің бөлектенуі.

3. Жуықталған түбірлерді нақтылау әдістері.

Дәріс тезисі:

Теңдеулерді сандық есептеу. Есептің қойылуы.

f(x) = 0 теңдеуі берілген, мұнда f(x) – кейбір a < x < b аралығында (шекті немесе шексіз) үздіксіз және анықталған функция. Бірінші немесе екінші туындының шексіз болуы тиіс. Теңдеуді тепе-теңдікке айналдыратын кез келген x = x мәні теңдеудің түбірі немесе f(x) функцияның түбірі (нөлі) деп аталады.

Оқшауланған түбірлер жағдайын қарастырамыз, яғни әрбір түбірдің басқа түбір енбейтін өзіндік ауданы болады.

Көп жағдайда түбірді табу қиын болады, себебі функция өте қиын және оның түбірлерінің нақты мәні болмайды немесе алгоритмдер өте күрделі. Бұл жағдайларда есепті басқаша қоюға болады: түбірлердің ориентирленген мәндерін табу, содан кейін олардың мүмкіндігінше қажет нақтылыққа дейін жуықтау.

Мұндай формадағы есептерді шешу үшін бірнеше сандық әдістер қарастырылған, солардың кейбіреулері төменде көрсетілген.

Оқшауланған нақты түбірлерді жуықтау көбіне екі кезеңнен құралады:

n Түбірлерді ажырату, яғни түбір орналасқан аралықтарды тығыз орналастыру;

n Жуықталған түбірлерді нақтылау.

Түбірлерді ажырату

Теорема. Егер үздіксіз функция [a, b] аралығында әртүрлі таңба мәндерін қабылдаса, яғни f(a)f(b) < 0, онда осы аралықтың ішінде f(x) = 0 функциясының кем дегенде бір түбірі болады.

Түбір жалғыз болады, егер f`(x) туындысы болса және [a, b] ішінде таңба сақталса (Сурет 3.1,а).

Түбірлерді ажырату процесі:

n Функцияның орналасқан облысында функцияның таңбалары анықталады x = a және x = b;

n x = a₁, a₂, a₃,... x аралық нүктелер тізбегінде функцияның таңбалары анықталады, олардың таңдалуы функцияның сипатына байланысты; егер f(a _k)f(a _k+1) <0 болса, онда (a_k, a_k+1) аралығында түбір болады.

Сурет 3.1. Теңбеу түбірлерін әдістермен анықтау сызбасы: а – түбірлерді ажырату; б – графикалық; в –жартылай ажырату

Көп жағдайда түбірдің жартылай ажыратылу әдісі қолданылады, мұнда аралықты жуықтап 2, 4, 8,... бөледі және бөліну нүктелерінде функцияның таңбасын анықтайды. Келесі қағиданы ұмытпаған жөн - n –ші дәрежелі алгебралық теңдеудің n-нан артық түбірлері болмайды.

Түбірлерді ажыратудың өзі қатаң бағалауды білдіреді. Бағалаудың қателігі b-a-дан аспайды.

Жуықталған түбірлерді нақтылау әдістері

Графикалық әдіс. y = f(x) функциясының графигін құрып, абцисса өсімен қиылысу нүктесінің абциссасын анықтайды. j(x) = y(x) тепе-тең теңдеуінің сол жақ және оң жақ бөліктерінің графигін құруға да болады және көрсетілген графиктердің қиылысу нүктесінің абциссасын табу керек. (Сурет 3.1, б).

Жартылай ажырату әдісі. Берілген интервалдың бастары мен ортасындағы функция мәнін есептейді, яғни f((a+b)/2). Егер ол мән 0-ге тең болса, онда (a + b)/2 теңдеудің түбірі болады. Егер бұл мән 0-ден үлкен немесе кіші болса, онда f(x) қарама-қарсы таңбаларға ие болатын аралық таңдалынады және көрсетілген есептеуді қайталайды (Сурет 3.1, в). Түбірді анықтаудың шектелген абсолютті қателігі келесідегідей болады:

D_x = (b – a)/2 ⁿ, (3.1)

мұнда n – қадам саны.

Әдісті түбірді қатаң анықтауға пайдаланған жөн. Нақтылықты арттырған сайын, есептеу көлемі де артады.

Хорда әдісі (пропорционал бөліктер әдісі). х = а и х = b болғанда y = f(x) қисығының нүктесі түзумен (хордамен) жалғанады. Бұл хорда мен абцисса осінің қиылысу нүктесі түбір мәні үшін бірінші жуықтауды x₁ білдіреді. Бұл жағдайда (a, b) интервалы екі бөлікке бөлінеді: (a,x₁) и (x₁,b). Интервал бастарында таңбалары әртүрлі болатын интервал бөлігі таңдалады. Бұл интервалдың ұштарын хордамен жалғап, жоғарыда сипатталған әрекеттерді орындайды.

Егер а хордаларының соңы қозғалыссыз болса (Сурет 3.2, a), онда келесі итерациялық әдісті аламыз:

x _n+1 = x_n – (x_n – a); (3.2)

n = 0, 1, ...; x₀ = b; lim x_n= x при n ®¥.

Сурет 3.2. Теңдеу түбірлерін нақтылау әдістері сызбасы: а – хорда (сол жақ ұшы қозғалмайды); б – хорд (оң жақ ұшы қозғалмайды); в – итерация

Егер b хордаларының соңы қозғалыссыз болса (Сурет 3.2, б), онда келесі итерациялық әдісті аламыз:

x_n+1 = x _n – (b – x _n) ; (3.3)

n = 0, 1, ...; x₀ = a; lim x_n= x при n ®¥.

Қателік бағасы

ïx – x _n ï £ ïx _n – x _{n -1}ï, (3.4)

мұнда M₁ және m₁ – f’(x) туынды модулінің [a, b] аралығында ең үлкен және ең кіші мәні.

Тар кесінді үшін

ïx – x _n ï £ ïx _n – x _{n -1}ï. (3.5)

Жанамалар әдісі (Ньютон әдісі). f(x) = 0 теңдеуінің x түбірі [a, b] аралығында ажыратылған болсын және f’ және f’’ туындылары үздіксіз және осы аралықта анықталған таңбаларын сақтайды. Онда

x _n+1 = x _n – ; (n = 0, 1, 2, ...). (3.6)

x₀ бастапқы нүктесі ретінде (a, b) аралығының f’’ (x)-пен бірдей болатын таңба қабылдайтын соңы алынады (Сурет 3.2, в).

Қателік бағасы

ïx – x _n ï £ ïx _n – x _{n -1}ï. (3.7)

Итерация әдісі (Жуықталған түбірлерді нақтылау әдістері).

Берілген f(x) = 0 теңдеуін оған тепе-тең болатын теңдеумен алмастырайық:

х = j(x). (а)

x₀ түбірінің жық мәнін қандай да бір әдіспен анықтап, оны (а)-ның оң жақ бөлігіне қояйық:

x₁ = j (x₀). (b)

Енді (b)-ның оң жағына x₀ санының орнына x₁ санын қояйық, сонда жаңа сан аламыз x₂ = j(x₁) және т.с.с. Бұл процесті қайталай келе, сандардың тізбегін аламыз:

x_n = j (x_n-1); (n = 1, 2, 3,...). (3.8)

Егер тізбек жинақталса, онда x = lim x _n при n ® ¥.

Итерация әдісін геометриялық бейнелеу түрінде ұсынса, онда алынған фигура түрі j`(x) > 0 болғанда саты түрінде (Сурет 3.3, a) немесе j`(x) < 0 болғанда спираль түрінде (Сурет 3.3, б) болады. Есептеу алгоритмінің өзіндік дұрысталу қасиеті – есептеудің бөлек қателері қорытындыға әсер етпейді.

Сурет 3.3. Итерация әдісінің сызбасы: а – саты түрінде; б – спираль түрінде; в – ажыратылу

Итерация әдісі ажыратылған болуы мүмкін. Жинақталудың жеткілікті шарты келесі түрде болады:

ïj`(x)ï £ q < 1; a < x < b. (3.9)

q саны ретінде a £ x £ b аралығында ïj’(x)ï туындысының ең кіші мәнін немесе төменгі шегін алуға болады.

Жуықтау қателігі

ïx – x _n ï £ ïx₁ -x₀ï. (3.10)

Процесті келесі теңдік орындалғанша жүргізу керек:

ïx – x _n ï £ e, (3.11)

мұнда e – берілген шекті абсолютті қателік

Бақылау сұрақтары:

1. Теңдеудің оқшауланған түбірлерін жуықтап табудың кезеңдерін атаңыз?

2. Теңдеу түбірлерін ажырату процесінің мәні неде?

3. Теңдеудің жуықталған түбірлерін анықтау процесінің мәні қандай?

4. Жуықталған түбірлерді нақтылау әдістерін атаңыз.

5. Теңдеулердің түбірлерін ажырату әдістерін атаңыз.

Д5. Тақырып: Теңдеулер жүйесін шешу. Кері матрица әдісі. Крамер формуласы. Гаусс әдісі. Жордан-Гаусс әдісі. Итерация әдісі.

Дәріс жоспары:

1. Теңдеулер жүйесін шешу. Кері матрица әдісі. Крамер формуласы.

2. Гаусс әдісі.

3. Жордан-Гаусс әдісі.

4. Итерация әдісі.

Дәріс тезисі

Теңдеулер жүйесін шешу. Кері матрица әдісі. Крамер формуласы.

п сызықтық-алгебралық теңдеулер жүйесі берілген:

x_j = b_i; (i = 1, 2, ...n). (4.1)

Жүйе коэффициенттерінің матрицасын және белгісіздер мен бос мүшелердің вектор-бағандарын құрастырамыз:

A = [a_ij ], x = [x_j ], b = [b_i].

Матрицалық жазба (4.1) келесі түрде болады:

Ax = b. (4.2)

Егер А матрицасы – ерекше емес (detA = D ¹ 0) болса, онда оның кері матрицасы А^-1табылады. (4.2) теңдеуінің екі жағын сол жақтарынан кері матрицаға көбейтетін болсақ, онда мынаны аламыз:

А^-1А х = А^-1 b немесе х = А^-1 b. (4.3)

(4.3) формуласы есептің жауабын береді. (4.3) формуласы бойынша түбірді табу үшін матрицаны айналдыра және олардың көбейтіндісін орындай білуі қажет.

Кері матрицаны одақты А^~ (А^-1 = А^~/ D) матрицасы арқылы бейнелей отырып, (4.3) теңдеуін келесі түрге келтіреміз:

x = A^~ b,

немесе x_i= D _i / D,

мұнда D_i= A_ji b_j.

A_jI – А матрицасындағы a_ji элементінің алгебралық толықтауышы.

Қосымша Dі детерминанттары D-дан і-інші бағананы бос мүшелі бағанамен ауыстыру арқылы алынады.

Осыдан Крамердің белгілі формулаларын аламыз:

x₁ = D₁ / D, x₂ = D₂ / D,... , x _n= D _n/ D. (4.4)

Гаусс әдісі. (4.1) жүйесінің бірінші теңдеуіндегі х₁–ді өрнектеп, оны жүйенің қалған теңдеулеріне қоямыз. Нәтижесінде, х₁ айнымалысы жоқ n–1 теңдеуін аламыз. Алынған теңдеулердің алғашқысын да х₂-ге қатысты дәл солай өрнектейміз. Осы процесті қайталай отыра, соңында тек х _n айнымалысы бар жалғыз теңдеуге келеміз. Оны шешу барысында, х _n-ді табамыз. Бұл алынған нәтижені пайдалана отырып, х_n-1-дің мәнін аламыз және т.с.с. жалғастырамыз.

Шешім табу процесі коэффициенттің үшбұрышты матрицасынан тұратын САТ эквивалентті жүйесін құруға әкеп соғатынын көруге болады. Үшбұрышты жүйені табу процесі - тура жүріс, ал белгісіздер мәнін табу процесі – кері жүріс деп аталады.

Арифметикалық әрекеттерге қажетті N санының бағасы келесіні құрайды:

N ~ n ³ ( n > 7 болған кезде). Сонымен, n = 100 үшін N ~ 10⁶ әрекеттер қажет.

Жордан–Гаусс әдісі. Қарапайым түрлендіру (теңдеулер жүйесін санға көбейту, теңдеуді мүше бойынша қосу/алу) арқылы жүйені келесі түрде көруге болады, яғни әр теңдеу 1 коэффициенті бар тек бір ғана айнымалыға ие, ал қалған айнымалылар нөлдік коэффициентке ие ие екенін. Осындай түрлендіру нәтижесінде жүйе шешімі жеткілікті екені айқын.

Итерация әдісі. (4.2) теңдеуі түріндегі жүйесінің п САТ берілген. Жүйенің әр теңдеуін индексі жол нөміріне тең белгісіздерге қатысты шешеміз. Содан алатынымыз (матрицалық түрде)

x = b + ax, (4.7)

мұнда

b_i = b _i / a _{i i} ;a_{i j}= – a_{i j} / a _{i I} (i ¹ j жағдайда);

a _{i j}= 0 ( i = j жағдайда).

(4.7) жүйесін тізбекті жуықтау әдісі арқылы есептейміз. Нөлдік жуықтау ретінде x^(o) = b теңдеуін аламыз.

Табамыз:

x⁽¹⁾ = b + a (x ⁽⁰⁾ ) (бірінші жуықтау)

x⁽²⁾ = b + a (x ⁽¹⁾ ) (екінші жуықтау)

және т. с. с. Процесс жақсы жинақталады, егер a элементтері өлшемі бойынша аз болса.

Бақылау сұрақтары:

1. Теңдеулер жүйесін Крамер әдісі арқылы шешу неден тұрады?

2. Қандай матрицалар үшін кері матрица табылады?

3. Гаусс әдісінің мағынасы неде?

4. Жордан-Гаусс әдісінің Гаусс әдісінен басты ерекшелігі неде?

5. САТ жүйесінің шешімін табудағы итерациялық процесс үшін формуланы жазыңыз.

Д6. Тақырып: Интерполяциялау. Есепті қою. Ақырлы айырымдарды есептеу. Интерполяциялық формулалар. Сплайн-интерполяция.

Дәріс жоспары:

1. Интерполяциялау. Есепті қою.

2. Ақырлы айырымдарды есептеу.

3. Интерполяциялық формулалар.

4. Сплайн-интерполяция.

Дәріс тезисі:

Интерполяциялау. Есепті қою.

[a, b] кесіндісінде x_i-дің (i = 0,1, ..n) немесе интерполяция түйіндерінің n+1 нүктелері мен осы нүктелердегі кейбір f(x) функциясының y_i = f(x_i) мәндері берілген. Интерполяциялық түйіндерде f(x)-те бар мәндерді интерполяция түйіндерінде қабылдайтын интерполяциялық функцияны құру қажет, яғни F(x_i) = f (x_i) болатындай. Есептің геометриялық интерпретациясы 5.1. суретте көрсетілген.

Есептің практикалық мәні:

1) ары қарай өңдеу мақсатында кестелі-тәжірибелік (х_i, y_i) берілгендері үшін функция таңдау);

2) күрделі функцияны қарапайым функцияға ауыстыру;

3) функция мәнін интерполяция түйіндері арасында немесе олардан тыс (экстраполяция немесе болжам) түрде жуықтап есептеу.

Құрастырылған қойылымда есептің өте көп жауабы бар, не болмаса мүлдем жауабы жоқ болады. Егер интерполяциялайтын функцияның санатын шектесек, мысалы п – нен жоғары емес полиномдар дәрежесімен, онда есептің бір ғана шешімі бар.

Сурет. 5.1. Интерполяциялық полином сызбасы

Ақырлы айырымдарды есептеу

Кестемен берілген y = f(x) функциясының әрекетін көрші нүктелердегі оның мәнінің айырымдарын, кейін осы айырымдардың айырымын есептей отыра, бағалауға болады. Dх = h = x_i+1 – x_i = const, (i = 0, 1, .. n) қадамы бар бірдей қашықтықтағы нүктелердің дискретті n+1 жиынында кестелі түрде берілген бір айнымалылы функцияны қарастырайық. Бұл функцияның бірінші ақырлы айырымы келесідей болады:

Dy = Df(x) = f(x+h) – f(x). (5.1)

D символын (5.1) қатынасымен анықталатын Dy функциясын y = f(x) функциясымен сәйкес қоятын айырымды оператор ретінде қарастыруға болады. Бұл оператор сызықтық қасиетіне ие, яғни

D(u +v) = Du + Dv,

D (cu) = c D(u),

мұнда u, v –х функциисы, с – тұрақты.

Интерполяциялықформулалар. Интерполяцияның тең аралықты түйіндері кезінде (h = const)

Ньютонның 1-ші интерполяциялық формуласы (алға қарай интерполяциялау):

P_n (x) = y₀ + (Dy₀/1! h) (x – x ₀)+(D²y₀/2! h²) (x – x₀) (x – x₁)+ ..

..+(Dⁿ y₀/ n! hⁿ )(x – x_o)(x – x₁)...(x – x _{n – 1}); (5.4)

Ньютонның 2-ші интерполяциялық формуласы (артқа қарай интерполяциялау):

P_n (x) = y_n + (Dy_n-1/1! h )(x – x _n) + (D²y_n-2/2! h² )(x – x _n-1) +..

..+ (Dⁿy₀/n! hⁿ )(x – x _n)...(x – x₁). (5.5)

Интерполяцияның кез келген түйіндері кезінде

Лагранждің интерполяциялық формуласы:

P_n(x) = L₀(x)f₀ + L₁(x)f₁ + ...+ L_n(x)f_n , (5.6)

мұнда f _i = f (x_i) және

L_i(x)= (5.7)

Интерполяциялық формулалардың дербес жағдайлары

Интерполяция түйіндері аз болған кезде келтірілген формулалар біраз қысқарады.

n = 1 болған кезде (интерполяцияның екі түйіні) Ньютонның алғашқы формуласы сызықтық интерполяциялау формуласын береді

P₁(x) = y₀+qDy₀, (5.8)

Ал n = 2 болған кезде параболалық немесе квадраттық интерполяциялау формуласын аламыз:

P₂(x) = y₀+qDy₀ + D² y₀ , (5.9)

мұнда q = (x – x₀)/h.

Ұқсас шарттар кезінде Лагранждің интерполяциялық формулалары a және b абциссалары бар екі берілген нүкте арқылы өтетін сызықтық теңдеу мен a, b және c абциссалары бар үш берілген нүкте арқылы өтетін парабола теңдеуінен тұрады.

Интерполяциялық формулалардың қателіктері

Ньютонның 1-ші интерполяциялық формуласындағы абсолбтті қателігінің жуықталған бағасы

f(x) – Pn(x)ï = D^{n + 1} y₀ , (5.10)

мұнда q = (x – x₀)/h.

Лагранждың интерполяциялық формуласындағы абсолюттік қателік келесі түрде болады:

ïf(x) – Pn(x)ï £ (x – x₀)(x – x₁)...(x – x _n), (5.11)

мұнда M n+1 = ïmaxf ^{( n + 1)} (x)ï, a £ x £b.

Сплайн-интерполяциясы. Интерполяцияның көп түйіндері болған кезде қарастырылған Ньютон мен Лагранж полиномдары үлкен дәрежеге ие болады және қатты «тербеледі», әсіресе қарастырылған интервалдың шеткі жақтарында. Бұл туындыларды есептеу түйіндер арасындағы интерполяцияның дәлдігінің төмендеуіне әкеп соғады. Бұл қиындықтан шығудың жолы бөліктік интерполяция немесе сплайн-интерполяция (сплайндармен интерполяция).

Бөліктік интерполяцияның мәні мынада: барлық түйіндерді аз түйіні бар тізбекті топтарға бөліп, әр топқа жоғарыдағы сипатталған формулаларды келтіру керек. Бұл полиномдар дәрежесін төмендетеді, бірақ жалпы жағдайда топ шеттеріндегі интерполяциялайтын функция туындыларының бөлінуіне әкеп соғады.

Сплайн-интерполяция. i-1 және i көрші түйіндер арасындағы әр бөлікте интерполяциялық функция шағын k (k-сплайн) дәрежелі полином түрінде болады. k = 1 жағдайында интерполяциялайтын функция түйіндерді біріктіретін сынық сызық түрінде болады. Ең көп қолданысқа k = 3 (кубтық сплайндар) жағдайы ие.

Егер жұқа, иілгіш металдық сызғышты интерполяцияның екі көрші түйініне орналастырып, оған түйіндерде анықталған иілу бұрышын берсе, онда үшінші дәрежелі полиноммен сипатталатын және потенциалдық энергияның минимумына сәйкес келетін нақты форманы алады.

і-ші (i = 1..n) түйін үшін осындай полиномды келесі түрде жазуға болады:

S_i(x) = a_i + b_i(x – x_i-1) + c_i (x – x_i-1)²+ d_i (x – x_i-1)³ (5.12)

Полином коэффициенттерін барлық п бөлікте есептеу үшін 4п теңдеу болу қажет. Олардың 2п теңдеуін y_i-1 және y_i түйін нүктелері арқылы S_i(x) өту шартынан аламыз:

S_i(x_i-1) = a_i = y_i-1;

S_i(x_i) = a_i + b_i h_i + c_i h_i² + d_i h_i³ = y_i; (5.13)

мұнда h_i = x_i – x_i-1, i = 1..n.

Қосымша теңдеулерді интерполяция түйіндеріндегі S_i(x) туындыларына шектеу қоя отырып алуға болады. Егер интерполяция түйіндеріндегі бірінші мен екінші туынды үздіксіз болу керек деп алсақ, онда қосымша 2n – 2 теңдеуді аламыз:

S'_i(x) = b_i + 2c_i(x – x_i-1) + 3d_i(x – x_i-1)²;

S''_i(x) = 2c_i + 6d_i(x – x_i-1);

S'_i(x_i) = S'_i+1(x_i);

S''_i(x_i) = S''_i+1(x_i).

Осыдан: b_i+1 = b_i + 2c_i h_i + 3d_i h_i²;

c_i+1 = c_i +3d_i h_i. (5.14)

Жетпейтін қатынастарды сплайн шеттерін бекіту шарттарынан аламыз. Мысалы, шеттерді бос бекіту кезінде жоғарыда айтылған сызғыштың шеттеріндегі қисықтық нөлге тең деп, яғни нөлдік екінші туындыға сәйкес келеді деп болжауымызға болады: S''(x_i-1) = 0;S''(x_i)=0.

Осыдан

c_i = 0;

2c_i + 6d_i h_i = 0. (5.15)

Алынған қатынастар (5.13)–(5.15) полиномның (5.12) анықталған ізделінді коэффициенттері үшін САТЖ-ді ұсынады.

Бақылау сұрақтары:

1. Функцияны интерполяциялау есебінің практикалық тағайындауы неден тұрады?

2. Қандай функция интерполяциялайтын деп аталады?

3. Ақырлы айырымдарға түсінік беріңіз.

4. Қандай интерполяциялық формулалар тең қашықтықты түйіндер кезінде қолданылады?

5. Қандай интерполяциялық формулалар кез келген түйіндер кезінде қолданылады?

6. Сплайндармен интерполяция неден тұрады?

Дәріс 7. Тақырыбы: Аппроксимация қызметі. Міндет қойылымы. Ең кіші шаршы әдісі.

Дәріс жоспары:

1. Аппроксимация қызметі. Міндет қойылымы.

2. Ең кіші шаршы әдісі.

Дәріс тезисі

Алғашқы мәліметтің көп нүкте жағдайында интерполяция тапсырмасын шешу интерполяциондық полином дәрежесінің өсуі нәтижесінде айтарлықтай қиындайды. Алғашқы мәліметтің құтылмайтын қатесі есебінде оларды алмастыратын қисықты таңдағанда осы берілген нүктеден қисықтың міндетті түрде өтуі керек талабын осы нүктеге жеткілікті жақын қисық талабымен алмастыруға болады.

Онда тапсырманы бұлай құрастыруға болады: нүктенгің хі, уі (і=1,2,...n) «бұлттары» үшін уі мағынасына жақын у (хі) мағынасын беретін у (х) қисығын таңдау.

У (х) қисығы аппроксимацияланатын қисық немесе регрессия сызығы деп аталады. Жалғыз шешімді табу үшін интерполяциядағы сияқты аппроксимирлейтін қисық класын және оның алғашқы мәлімет нүктесіне жақын критерийді жаңылыстыру. Ең кіші шаршы әдісінде мұндай критерий болып шаршының минимум қосындысы сызық регрессиясы у (хі) ординатының уі эксперименттік нүктесінен ауытқуы табылады. Бұл қосындысы мына түрде болады:

S = – y(x _i))². (6.1)

Аппроксимацияланатын қызмет класы ретінде көбінесе сатылы полином алынады.

y(x) = a0 + a1 x + a2 x2 +...+ am xm ; ( m < n ). (6.2)

Бақылау сұрақтары:

1. Қандай жағдайда аппроксимация есебінің қойылымының қажеттілігі туады?

2. Функцияның аппроксимация тапсырмасын тұжырымдаңыз?

3. Қандай қисық регрессия сызығы деп аталады?

4. Ең кіші шаршы әдісі не үшін қолданылады?

Дәріс 8. Тақырыбы: Сызықтық аппроксимация. Аппроксимацияның басқа түрлері.

Дәріс жоспары: