Выбрать управление, решающее поставленную задачу

1. Выбрать управление, решающее поставленную задачу.

2. Исследовать движение манипулятора при выбранном управлении.

Конкретные пункты исследования приведены в примере.

Указания к составлению уравнений движения.

Предполагается, что координаты захвата М(X_M,Y_M) в процессе движения известны, например, за счет прямых измерений;координаты детали К(X_K,Y_K) заданы уравнениями (23). Тогда можно вычислить рассогласования:

DX=X_K- X_M; DY=Y_K- Y_M (25)

Управление движением захвата осуществляется по сигналам управления u_x,  u_y, образованным линейной комбинацией рассогласований и их производных:

u_x=DX+T^*DX; u_y=DY+T^*DY, (26)

где T^* - множитьель размерности времени.

Сигналы (26) подаются на управление двигателями манипулятора с коэффициентом усиления k величина

ku_x, ku_y (27)

В современных высокоточных механизмах коэффициэнты усиления k очень велики. Можно считать k®¥, при этом величины (27) остаются конечными,обеспечивающими требуемое движение манипулятора,поэтому можно предположить u_x, u_y®0.

Приближенные предельные уравнения

u_x=0, u_y=0 (28)

описывают движение манипулятора с погрешностью порядка 1/k.

Из (25), (26), (28) получим уравнения:

 =V_Kx+(X_K - X_M)

 =V_Ky+(Y_K - Y _M)  (29)

Манипулятор является механической системой с двумя степенями свободы, движение по двум координатам X_M, Y_M, найденные по (29) однозначно определяет движение всех его звеньев. Кинематические уравнения, описывающие изменения углов поворота и угловых скоростей звеньев могут быть заимствованы из предыдущей задачи.

Указания к выбору коэффициэнта управления.

Уравнения (26), (28) в рассогласованиях DX и DY примут вид:

T^*DX +DX=0; T*DY +DY=0

Решение этих дифференциальных уравнений однотипно:

Dx=Dx(0) е^-  ; Dy=Dy(0) е^- (30)

По условию задания, к концу интервала времени t₂ рассогласования DX, DY должны составлять величину d от начальных рассогласований.

Из (30) имеем : , откуда Т^*= .

Указания к выбору начальных условий. Если систему уравнений (29) и кинематических уравнений движения звеньев привести к форме Коши, то она будет иметь вид:

_M=V_Mx(X_M,t); _M=V_My(Y_M,t); (31)

_i=w_iz(j_i, V_mx, V_my, t) (i=1,2,3)

Эти уравнения манипулятора,являющегося системой с двумя степенями свободы, записаны в избыточном наборе пяти переменных X_M, Y_M, j₁, j₂, j₃. Отсюда следует, что из начальных значений этих переменных независимо могут задаваться только два. В таблице 1 независимыми задаются величины j₁(0), j₂(0), значения j₃(0) указанные в таблице,вычислены по j₁(0), j₂(0) для рассматриеваемой конструктивной схемы манипулятора. Значения X_M(0), Y_M(0) следует находить по заданным j₁(0), j₂(0), j₃(0).

Указания к решению задачи.  Дифференциальные уравнения движения манипулятора с заданными начальными условиями интегрируются на интервале времени [ 0, t₂ ] с шагом Dt. При решении задачи рекомендуется использовать конечноразностную схему Эйлера.

Контроль решения. Построенные по результатам счета графики не должны иметь разрывов. При t=t₂ рассогласование между точками М и К должно быть величиной порядка d от начального. Результаты вычисления на ЭВМ для момента времени t=(N+1)´Dt угловых скоростей звеньев и скорости точки С должны совпадать с результатами графоаналитического решения для этого момента времени. Расхождения не должны превышать 5%.

Пример выполнения задания .

(вариант 31, n=1, N=2)

1. Постановка задачи. Управление манипулятором (рис.4) должно обеспечить за время t₂ сближение захвата М с движущейся деталью К. Деталь движется прямолинейно с постоянной скоростью V_к в указанном на рисунке направлении. Начальное положение манипулятора задано углами поворота звеньев j₁(0), j₂(0), j₃(0). К моменту времени t=t₂ требуется относительная точность d совмещения точек М и К. Управление манипулятором осуществляется по линейной комбинации рассогласований и их производных.

Дано: V_k=0,304м/c; a=4,35рад; DA=r₁=0,953м; BC=r₃=0,457м; BM=2r₃; AB=r₂=0,847м; j₁(0)=1.63рад; j₂(0)=3,37рад; j₃(0)=2,87рад; X_k(0)=-2,16м; Y_k=1,18м; d=0,01; t₂=1,37c; Dt=0,057c.

Требуется: 1. Составить уравнения управляемого движения точки М, уравнения углового движения звеньев манипулятора и уравнения для скорости точки С. 2. Выбрать параметры управления, обеспечивающего сближение точек М и К с заданной точностью. 3. Проинтегрировать с помощью ЭВМ уравнения движения на интервале времени [ 0, t₂ ]. 4. Построить траектории сближения точек М и К и графики j₁(t), w_1z(t), V_cx(t). 5. Для момента времени t=(N+1)Dt=0,456c провести графоаналитическое решение задачи и сравнить с результатами счета.

2. Составление уравнений движения. Уравнения движения детали К имеют вид:

X_k=X_k(0)+V_kx´t; V_kx=V_kcosa= - 0,108м/c; (32)

Y_k=Y_k(0)+V_ky´t; V_ky=V_ksina= - 0,284м/c.

Предполагая,что координаты захвата М известны в процессе движения,можно вычислить рассогласования координат точек К и М.

DX=X_k - X_M; DY=Y_k - Y_M (33)

Учитывая,что управление манипулятором осуществляется по линейной комбинации рассогласовании и их производных

u_x=DX + T^*DX; u_y=DY + T^*DY (34)

При управлении с большими коэффициентами усиления k с погрешностью порядка 1/k выполняются соотношения:

 u_x=0, u_y=0. (35)

Подставляя (35) в выражения (32), (33), (34) и приводя полученные уравнения к форме Коши получаем:

=V_Mx; V_Mx=V_kx + [X_k(0) + V_kx´t - X_M] / T^*;

=V_My; V_My=V_ky + [Y_k(0) + V_ky´t - Y_M]/T^*. (36)

Угловое движение звеньев манипулятора и скорость точки С однозначно определяется движением точки М и внешними связями, налагаемыми в точках D и С. Составляются выражения для проекций скоростей точек С и М.

В соответствии с графом СВМ запишем:

V_Mx=V_cx - w_3z´r₃´sin(j₃ - ) - w_3z´2r₃´sinj₃;

V_my=w_3z´r₃´cos(j₃ - ) + w_3z´2r₃´cosj₃; (37)

В соответствии с графом DABC

V_cx= - w_1z´r₁´sinj₁ - w_2z´r₂´sinj₂ - w_3z´r₃´sin(j₃ + ); (38)

V_cy= w_1z´r₁´cosj₁ + w_2z´r₂´cosj₂ - w_3z´r₃´cos(j₃ + )=0.

Из уравнений (37) , (38) получают:

w_3z=V_My/[r₃(2cosj₃+sinj₃)];

V_cx=V_Mx+w_3z´r₃(2sinj₃ - cosj₃); (39)

w_1z=;

w_2z=.

Уравнения (39) дополним дифференциальными соотношениями

; ; (40)

3. Определение параметра управления. Из (34) и (35) получим уравнение в рассогласованиях:

T^*Dx+Dx=0; T^*Dy+Dy=0.

Решение этих уравнений имеет вид:

Dx=Dx(0) e^- , Dy=Dy(0) e^- ,

По условию, при t=t₂ должно выполняться соотношение

d = =0,01.  Отсюда

Т^* = =0,297 c.

4. Решение задачи и обработка результатов. Система уравнений (36), (39), (40) интегрируется с помощью ЭВМ на интервале [0; 1,37] с использованием конечноразностной схемы Эйлера. Шаг интегрирования  Dt=0,057c.

Начальные условия по переменным j_1, j₂, j₃ (рис.4) приведены в исходных данных, а по переменным X_M, Y_M вычисляются по формулам :

X_M=r₁ ´cosj₁+r₂ ´cosj₂+2r₃ ´cosj₃ (41)

Y_M=r₁ ´sinj₁+r₂ ´sinj₂+2r₃ ´sinj₃

Подставив в (41) числовые значения r_i, j_i(0), получают X_M(0), Y_M(0). Последующие шаги интегрирования осуществляются с использованием зависимостей (22), с учетом, что

=X_M^(k)+V_Mx^(k)´Dt;

=Y_M^(k)+V_My^(k)´Dt, (42)

с использованием зависимостей (41)

Результаты счета по двум вариантам сравниваются.

Программа счета составляется на любом языке программирования,результаты оформляются в виде таблицы. По результатам решения строятся графики j₁(t), w_1z(t), V_cx(t) и траектории сближения точек М и К, которые не должны иметь разрывов,а координаты точек М и К в момент времени t должны быть достаточно близки.

Графоаналитическая проверка результатов счета производится аналогично проверке в первой задаче.

III. Динамика механизма с двумя степенями свободы.

Описание задания.

Манипулятор с двумя степенями свободы (рис.1) переносит точечный груз М массой m за время t₃ под действием двигателей управления, расположенных в шарнирах B и D из точки d в точку е с заданной скоростью

V_Mx=0, V_My=V₃ sinkt (43)

Элементы конструкции считаются абсолютно жесткими и безинерционными. Силы трения в шарнирах и ползунах отсутствуют. Катки относительно опорных поверхностей не проскальзывают.

Исходные данные определяются формулами (43), (44) и табл.1

r₁=r_1T+0,01n; r_i=r_iT+0,01N(i=2,3,4);

V₃=; t₃=0,24N; k= . (44)

j_i(0)=j_iT+0,01N , (i=1,2,3) m=10+N

Требуется исследовать с помощью ЭВМ движения манипулятора. Перечень пунктов исследования приведен в примере.

Указания к составлению уравнений кинетостатики для моментов и сил управления.

Система освобождается от связей и разделяется на отдельные звенья или группы звеньев. Вводятся реакции связей. Прикладываются активные силы: внешняя сила - вес точки М - и внутренние моменты управления M_Bz, M_Dz или сила управления F_cx, F_cy  в вариантах 2, 3, 7, 9, 10, 12, 14, 17, 18, 20, 21, 23, 24, 26, 27, 28. При освобождении связей в точках В и D к смежным звеньям прикладываются моменты противоположных знаков. Для определенности положительный момент прилагается со стороны звена с большим индексом к звену c меньшим индексом. По принципу Даламбера к точке М условно прикладывается сила инерции =- m_м. Она определяется для заданного движения (43) точки М .

Уравнения М_Bz, M_Dz или F_cx, F_cy получаются из уравнений кинетостатики для механической системы, включающей точку М и уравнений статики для механических систем, образованных из безинерционных звеньев. Из этих уравнений определяются

M_Bz=M_Bz(j₁, j₂, j₃, t); M_Dz=M_Dz(j₁, j₂, j₃, t); (45)

F_cx=F_cx(j₁, j₂, j₃, t); F_cy=F_cy(j₁, j₂, j₃, t).

В общем случае определяются моменты управления М_Bz и М_Dz, силы управления F_cz и F_cy определяются по указанию преподавателя при уточнении задания.

Указания к составлению кинематических уравнений движения.

Выражения для определения неизвестных угловых скоростей w_1z, w_2z, w_3z, w_4z и проекции скорости точки С V_cz или V_cy по известной скорости точки М получаются по аналогии с предыдущими заданиями или заимствованы полностью из этих заданий. Из этих уравнений:

w_1z=w_1z(j_1, j₂, j₃, t); w_2z=w_2z(j_1, j₂, j₃, t);

w_3z=w_3z(j_1, j₂, j₃, t); w_4z=w_4z(j_1, j₂, j₃, t); (46)

V_cx=V_cx(j_1, j₂, j₃, t); V_cy=V_cy(j_1, j₂, j₃, t).

Уравнения (46) позволяют определить угловые скорости звеньев и проекции скорости точки С для фиксированного момента времени при заданных в этот момент значениях j₁, j₂, j_3. Изменение j₁, j₂, j₃,а следовательно, и w_1z, w_2z, w_3z, w_4z, V_cx, V_cy во времени определяется,если дополнить систему (46) уравнениями:

=w_1z, = w_2z, =w_3z, =w_4z, =V_cx; =V_cy, (47)

Уравнения (46), (47) образуют систему дифференциальных уравнений, интегрированием которой при заданных начальных значениях j₁(0), j₂(0), j₃(0) решается кинематическая задача о движении плоского механизма. Эти уравнения манипулятора, являющегося системой с двумя спепенями свободы записаны в избыточном наборе трех переменных j₁, j₂, j₃. Поэтому начальные значения углов нельзя задавать произвольно. Они вычисляются предварительно для заданного начального положения точки М и приводятся в табл.1.

Указания к решению задачи.

Нелинейная система дифференциальных уравнений (46), (47) с заданными начальными условиями интегрируется на интервале времени [0,t] . Одновременно с вычислением j_i по формулам (45) определяются М_Bz, M_Dz или F_cx, F_cy (по указанию преподавателя).

На печать с шагом Dt= выводятся переменные t, w_1z, w_2z, w_3z, w_4z, j₁, j₂, j₃, M_Вz, M_dz, V_cx (или V_cy) или F_cx (или F_cy).

Решение задачи может производиться путем интегрирования с использованием конечноразностной схемы Эйлера или методом Рунге - Кутта.

Указания к вычислению мощности управляющих приводов.

Мощность, развиваемая приводами, вычисляется по формулам вида:

N_B=M_Bzw_iz + (- M_Bz) w_jz, (48)

где i, j =i+1 - номер звеньев, соединяемых шарниром В. Если шарнир прикреплен к неподвижному основанию, формула (48) преобразуется в

N_B=M_Bzw_iz ,N_D=M_Dzw_iz (49)

При движении ползуна в точке С в горизонтальном или вертикальном направлении мощность вычисляется соответственно по формулам вида:

N_c=F_cx´V_cx, N_c=F_cy´V_cy  (50)

Контроль решения.

Построенные по результатам счета графики М_Bz (t), M_Dz (t) или N_c, j₁(t), w_1z(t), w_2z(t), w_3z(t),V_M(t), V_cx(t), V_cy(t) не должны иметь разрывов. При t = 0 и t = t скорость груза М равна нулю, поэтому в правильно решенной задаче угловые скорости звеньев в начальный момент должны быть равны нулю, а при t = t отличие за счет погрешностей счета от нуля должно быть малым. Результаты вычисления на ЭВМ угловых скоростей звеньев должны близко совпадать с результатами графоаналитического решения для момента времени t=(N+1)Dt.

Пример выполнения задания.

(вариант 31, n=1, N=2)

1. Постановка задачи. Манипулятор (рис.5) перемещает точечный груз массы m за время t₃ из точки d в точку е с заданной скоростью V_мс=0, V_мy=Vsin kt. Управляющие двигатели расположены в шарнирах B и D.

Дано: DA=r₁=0,953м; BC=r₃=0,457м; BM=2r₃; AB=r₂=0,847м; j₁(0)=1,63рад; j₂(0)=3,37рад; j₃(0)=2,87рад; t₃=1,68c; V=0,45м/c; k=1,87рад/c; m=17кг.

Массой элементов конструкции и приводов можно пренебречь.

Требуется: 1. Составить уравнения кинетостатики для определения управляющих моментов, реализующих заданное программное движение груза. 2. Составить кинематические уравнения, определяющие изменение во времени угловых скоростей, углов поворота звеньев и скорости точки С. 3. Решить полученные уравнения на ЭВМ на интервале времени [0,t₃]. 4. Построить графики М_Bz, M_Dz, j₁(t), w_1z(t), w_3z(t). 5. Для момента времени t=(N+1)Dt=0,56c определить с помощью графоаналитического метода угловые скорости звеньев, скорость точки С и сравнить с результатами счета на ЭВМ. 6. По данным счета найти мощность каждого двигателя при t=0,56c.