Преобразования Лапласа

2.5. Преобразования Лапласа.

Исследование АСР существенно упрощается при использовании прикладных математических методов операционного исчисления. Например, функционирование некоторой системы описывается ДУ вида

, (2.1)

где х и у - входная и выходная величины. Если в данное уравнение вместо x(t) и y(t) подставить функции X(s) и Y(s) комплексного переменного s такие, что

и , (2.2)

то исходное ДУ при нулевых начальных условиях равносильно линейному алгебраическому уравнению

a₂ s² Y(s) + a₁ s Y(s) + a₀ Y(s) = b₁ X(s) + b₀ X(s).

Такой переход от ДУ к алгебраическому уравнению называется преобразованием Лапласа, формулы (2.2) соответственно формулами преобразования Лапласа, а полученное уравнение - операторным уравнением.

Новые функции X(s) и Y(s) называются изображениями x(t) и y(t) по Лапласу, тогда как x(t) и y(t) являются оригиналами по отношению к X(s) и Y(s).

Переход от одной модели к другой достаточно прост и заключается в замене знаков дифференциалов  на операторы sⁿ, знаков интегралов  на множители , а самих x(t) и y(t) - изображениями X(s) и Y(s).

Для обратного перехода от операторного уравнения к функциям от времени используется метод обратного преобразования Лапласа. Общая формула обратного преобразования Лапласа:

, (2.3)

где f(t) - оригинал, F(jw) - изображение при s = jw, j - мнимая единица, w - частота.

Эта формула достаточно сложна, поэтому были разработаны специальные таблицы (см. табл. 1.1 и 1.2), в которые сведены наиболее часто встречающиеся функции F(s) и их оригиналы f(t). Они позволяют отказаться от прямого использования формулы (2.3).

Таблица 1.2 - Преобразования Лапласа

Таблица 1.2 - Формулы обратного преобразования Лапласа (дополнение)

Закон изменения выходного сигнала обычно является функцией, которую необходимо найти, а входной сигнал, как правило, известен. Некоторые типовые входные сигналы были рассмотрены в п. 2.3. Здесь приводятся их изображения:

единичное ступенчатое воздействие имеет изображение X(s) = ,

дельта-функция X(s) = 1,

линейное воздействие X(s) = .

Пример. Решение ДУ с использованием преобразований Лапласа.

Допустим, входной сигнал имеет форму единичного ступенчатого воздействия, т.е. x(t) = 1. Тогда изображение входного сигнала X(s) = .

Производим преобразование исходного ДУ по Лапласу и подставляем X(s):

s²Y + 5sY + 6Y = 2sX + 12X,

s²Y + 5sY + 6Y = 2s + 12,

Y(s³ + 5s² + 6s) = 2s + 12.

Определяется выражение для Y:

.

Оригинал полученной функции отсутствует в таблице оригиналов и изображений. Для решения задачи его поиска дробь разбивается на сумму простых дробей с учетом того, что знаменатель может быть представлен в виде s(s + 2)(s + 3):

==++=

= .

Сравнивая получившуюся дробь с исходной, можно составить систему из трех уравнений с тремя неизвестными:

М₁ + М₂ + М₃ = 0 M₁ = 2

5^.М₁ + 3^.М₂ + 2^.М₃ = 2 à M₂ = -4

6^.М₁ = 12 M₃ = 2

Следовательно, дробь можно представить как сумму трех дробей:

=-+.

Теперь, используя табличные функции, определяется оригинал выходной функции:

y(t) = 2 - 4^.e^-2t + 2^.e^-3t. ¨

Похожие работы

Основы управления образовательными системами

Скачать

201630

6

6

... определенное время (период подготовки высококвалифицированного рабочего или специалиста). Взаимодействие государственных органов с заказчиками кадров призвано стимулировать гибкость и рационализацию управления образовательной системой, распределять между ними ответственность за процесс и качество профессиональной подготовки, сохраняя при этом единое образовательное пространство в государстве. ...

Управление образовательными системами

Скачать

115035

0

0

... на паритетных началах входят представители государственного органа управления образованием, соответствующего органа местного самоуправления и (или) местного (муниципального) органа управления образованием, действующих образовательных учреждений, общественности. Предметом и содержанием экспертизы является установление соответствия условий осуществления образовательного процесса, предлагаемых ...

Современное социальное управление - состояние, тенденции изменения

Скачать

60252

1

0

... потом и на развитие. В этом ей следует в большей мере опереться на свой исторический выбор, отклонения от которого всегда при­носили России беды и невзгоды. Глава 3. Тенденции изменения в социальном управлении Формирование гражданского общества на принципах корпора­тизма поставит под контроль государство, публичную власть, которые все в большей мере будут выполнять свою главную функцию, ...

Проектирование организационных структур государственного управления

Скачать

121657

0

5

... и характеристиками организационных структур. Они построены на основе сбора, анализа и обработки эмпирических данных об организациях, функционирующих в сопоставимых условиях. Процесс проектирования организационной структуры управления должен быть основан на совместном использовании охарактеризованных выше методов. 2.3 Тенденции проектирования структур управления Рассмотрение принципиальных ...