Корневой критерий

3.1.2 Корневой критерий.

Корневой критерий определяет устойчивость системы по виду передаточной функции. Динамической характеристикой системы, описывающей основные поведенческие свойства, является характеристический полином, находящийся в знаменателе передаточной функции. Путем приравнивания знаменателя к нулю можно получить характеристическое уравнение, по корням которого определить устойчивость.

Корни характеристического уравнения могут быть как действительные, так и комплексные и для определения устойчивости откладываются на комплексной плоскости (см. рис. 1.34).

(Символом обозначены корни уравнения).

Виды корней характеристического уравнения:

- Действительные:

положительные (корень № 1);

отрицательные (2);

нулевые (3);

- Комплексные

комплексные сопряженные (4);

чисто мнимые (5);

По кратности корни бывают:

одиночные (1, 2, 3);

сопряженные (4, 5): s_i = a ± jw;

кратные (6) s_i = s_i+1 = …

Корневой критерий формулируется следующим образом:

Линейная АСР устойчива, если все корни характеристического уравнения лежат в левой полуплоскости. Если хотя бы один корень находится на мнимой оси, которая является границей устойчивости, то говорят, что система находится на границе устойчивости. Если хотя бы один корень находится в правой полуплоскости (не зависимо от числа корней в левой), то система является неустойчивой.

Иными словами, все действительные корни и действительные части комплексных корней должны быть отрицательны. В противном случае система неустойчива.

Пример 3.1. Передаточная функция системы имеет вид:

.

Характеристическое уравнение: s³ + 2s² + 2.25s + 1.25 = 0.

Корни: s₁ = -1; s₂ = -0,5 + j; s₃ = -0,5 - j.

Следовательно, система устойчива. ¨

3.1.3 Критерий Стодолы.

Этот критерий является следствием из предыдущего и формулируется следующим образом: Линейная система устойчива, если все коэффициенты характеристического полинома положительны.

То есть, для передаточная из примера 3.1 по критерию Стодола соответствует устойчивой системе.

3.1.4 Критерий Гурвица.

Критерий Гурвица работает с характеристическим полиномом замкнутой системы. Как известно, структурная схема АСР по ошибке имеет вид (см. рис.)

W_p - передаточная функция регулятора,

W_y - передаточная функция объекта управления.

Определим передаточную функцию для прямой связи (передаточную функцию разомкнутой системы, см. п. 2.6.4): W_¥ = W_p W_y.

Далее с учетом наличия отрицательной обратной связи получаем передаточную функцию замкнутой системы:

.

Как правило, передаточная функция разомкнутой системы имеет дробно-рациональный вид:

.

Тогда после подстановки и преобразования получаем:

.

Отсюда следует, что характеристический полином замкнутой системы (ХПЗС) можно определить как сумму числителя и знаменателя W_¥:

D_з(s) = A(s) + B(s).

Для определения устойчивости по Гурвицу строится матрица таким образом, чтобы по главной диагонали были расположены коэффициенты ХПЗС с a_n+1 по a₀. Справа и слева от нее записываются коэффициенты с индексами через 2 (a₀, a₂, a₄… или a₁, a₃, a₅ …). Тогда для устойчивой системы необходимо и достаточно, чтобы определитель и все главные диагональные миноры матрицы были больше нуля.

Если хотя бы один определитель будет равен нулю, то система будет находится на границе устойчивости.

Если хотя бы один определитель будет отрицателен, то система неустойчива не зависимо от числа положительных или нулевых определителей.

Пример. Дана передаточная функция разомкнутой системы

.

Требуется определить устойчивость замкнутой системы по критерию Гурвица.

Для этого определяется ХПЗС:

D(s) = A(s) + B(s) = 2s⁴ + 3s³ + s² + 2s³ + 9s² + 6s + 1 = 2s⁴ + 5s³ + 10s² + 6s + 1.

Поскольку степень ХПЗС равна n = 4, то матрица будет иметь размер 4х4. Коэффициенты ХПЗС равны а₄ = 2, а₃ = 5, а₂ = 10, а₁ = 6, а₀ = 1.

Матрица имеет вид:

(обратите внимание на сходство строк матрицы: 1 с 3 и 2 с 4). Определители:

Δ₁ = 5 > 0,

,

Δ₄ = 1* Δ₃ = 1*209 > 0.

Поскольку все определители положительны, то АСР устойчива. ♦

Похожие работы

Основы управления образовательными системами

Скачать

201630

6

6

... определенное время (период подготовки высококвалифицированного рабочего или специалиста). Взаимодействие государственных органов с заказчиками кадров призвано стимулировать гибкость и рационализацию управления образовательной системой, распределять между ними ответственность за процесс и качество профессиональной подготовки, сохраняя при этом единое образовательное пространство в государстве. ...

Управление образовательными системами

Скачать

115035

0

0

... на паритетных началах входят представители государственного органа управления образованием, соответствующего органа местного самоуправления и (или) местного (муниципального) органа управления образованием, действующих образовательных учреждений, общественности. Предметом и содержанием экспертизы является установление соответствия условий осуществления образовательного процесса, предлагаемых ...

Современное социальное управление - состояние, тенденции изменения

Скачать

60252

1

0

... потом и на развитие. В этом ей следует в большей мере опереться на свой исторический выбор, отклонения от которого всегда при­носили России беды и невзгоды. Глава 3. Тенденции изменения в социальном управлении Формирование гражданского общества на принципах корпора­тизма поставит под контроль государство, публичную власть, которые все в большей мере будут выполнять свою главную функцию, ...

Проектирование организационных структур государственного управления

Скачать

121657

0

5

... и характеристиками организационных структур. Они построены на основе сбора, анализа и обработки эмпирических данных об организациях, функционирующих в сопоставимых условиях. Процесс проектирования организационной структуры управления должен быть основан на совместном использовании охарактеризованных выше методов. 2.3 Тенденции проектирования структур управления Рассмотрение принципиальных ...