Импликация и эквивалентность: таблицы значений

9. Импликация и эквивалентность: таблицы значений

Условное высказывание – сложное высказывание, формулируемое обычно с помощью связки «если..., то...» и устанавливающее, что одно событие, состояние и т.п. является в том или ином смысле основанием или условием для другого. Условное высказывание слагается из двух простых высказываний. То, которому предписано слово «если», называется основанием, или антецедентом (предыдущим); высказывание, идущее после слова «то», называется следствием, или консеквентом (последующим).

Условное высказывание находит очень широкое применение во всех сферах рассуждения. В логике оно представляется, как правило, посредством импликативного высказывания, или и пликации.

Утверждая импликацию, мы утверждаем, что не может случиться, чтобы ее основание (антецедент) было истинным, а следствие (консеквент) – ложным. Для установления истинности импликации «если A, то B» достаточно, таким образом, выяснить истинностные значения высказываний A и B. Из четырех возможных случаев импликация истинна в следующих трех:

(1) и ее основание, и ее следствие истинны;

(2) основание ложно, а следствие истинно;

(3) и основание, и следствие ложны.

Только в четвертом случае, когда основание истинно, а следствие ложно, вся импликация ложна. Будем обозначать импликацию символом →. Таблица истинности для импликации приводится. Смысл импликации, как одной из логических связок, полностью определен этой таблицей и ничего другого импликация не подразумевает. Импликация, в частности, не предполагает, что высказывания A и B как-то связаны между собой по содержанию. В случае истинности B высказывание «если A, то B» истинно независимо от того является A истинным или ложными связано оно по смыслу с B или нет. Условное высказывание истнно также тогда, когда A ложно, и при этом опять-таки безразлично, истинно B или нет и связано оно по содержанию с A или нет.

С имплткацией тесно связана эквивалентность, называемая иногда «двойной импликацией».

Эквивалентность – сложное высказывание «A, если и только если B», образованное из высказываний A и B и разлагающееся на две импликации: «если A, то B» и «если B, то A».

Термином «эквивалентность» обозначается и связка «... если и только если...», с помощью которой из двух высказываний образуется данное сложное высказывание. Вместо «..., если и только если» для этой цели могут использоваться «.. в том и только в том случае, когда...», «... тогда и только тогда, когда...» и т. п.

Если логические связки определяются в терминах истины и лжи, эквивалентность истинна тогдаи только тогда, когда оба составляющие ее высказывания имеют одно и то же истинностное значение, т. е. когда они оба истинны или оба ложны. Соответственно, эквивалентность является ложной, когда одно из входящих в нее высказываний истинно, а другое ложно. Обозначим эквивалентность символом ↔, формула A↔B может быть прочитана так: «A, если и только если B». Таблица истинности для эквивалентности приводится.

С использованием введенной логической символики связь эквивалентности и импликации можно

представить так: «A↔B» означает «(A→B)&(A→B)».

Эквивалентность является отношением типа равенства. Как и всякое отношение, эквивалентность высказываний является рефлексивной (всякое высказывание эквивалентно самому себе), симметричной (если одно высказывание эквивалентно другому, то второе эквивалентно первому) и транзитивной (если одно высказывание эквивалентно другому, а другое – третьему, то превое высказывание эквивалентно третьему).

10. Логические законы тождества, противоречия и исключенного третьего

Закон тождества говорит: если каждое высказывание истинно, то оно истинно. Иначе говоря, каждое высказывание вытекает из самого себя и является необходимым и достаточным условием своей истинности. Символически: A→A, если A, то A. Например, если дом высокий, то он высокий» и т. п.

Идея, выражаемая законом противоречия, проста: высказывание и его отрицание не могут быть вместе истинными. Закон противоречия выражается формулой: ~(A&~ A), неверно, что A и не-A. Если применять понятия истины и лжи, закон противоречия можно сформулировать так: никакое высказыание не является вместе истинным и ложным. Иногда закон противоречия формулируют

следующим образом: из двух противоречащих друг другу высказываний одно является ложным.

Закон исключенного третьего, как и закон противоречия, устанавливает связь между противоречащими друг другу высказываниями. Он утверждает: из двух противоречащих высказываний одно является истинным. Символически: A v~ A, A или не-A. Например: «Личинки мух имеют голову или не имеют ее». Само название закона выражает его смысл: дело обстоит так, как говорится в рассматриваемом высказывании, или так, как говорится в его отрицании, и никакой третьей возможности нет.