Xcos+ysin-P=0

1. xcos+ysin-P=0

 - угол между вектором ОР и положительным напр. оси ОХ.

Задача: записать ур-е прямой , если изветны Р и 

Решение: Выделим на прямой ОР вектор ед. длины n. |n|=1, n(cos, sin). Пусть М(x,y) – произв.точка прямой. Рассмотрим два вектора n и ОМ. Найдем двумя способвами их скал.произведение. 1. ОМ*n=|OM||n|cosMOP=Р. 2. ОМ*n=cosx+siny. Приравняем правые части.

Задача: прямая задана общим ур-ем. Перейти к норм. виду.

Ах+By+C=0

xcos+ysin-P=0

т.к. уравнения определяют одну прямую, то сущ. коэфф. пропорциональности.

Cos²=(A*t)²

Sin²=(B*t)²

-p=C*t

cos²+sin²=t²(A²+B²), t²=1/A²+B², t=sqrt(1/ A²+B²). Sign t= - sign C

Что бы найти нормальное уравнение прямой нужно общее ур-е умножить на t.

Аtх+Bty+Ct=0, t-нормирующий множитель.

2. Обозначим d – расстояние от точки до прямой, а ч/з б – отклонение точки от прямой. б=d, если нач.коорд. и точка по разные стороны; = - d, если нач.коорд. и точка по одну сторону.

Теорема: Пусть задано нормальное уравнение прямой xcos+ysin-P=0 и М₁(x₁;y₁), тогда отклонение точки М₁ = x₁cos+y₁sin-P=0

Задача: найти расстояние от точки М₀(x₀;y₀) до прямой Ах+By+C=0. Т.к. d=|б|, то формула расстояний принимает вид d=| x₀cos+y₀sin-P|. d=|Ах₀+By₀+C|/sqrt(A²+B²)

ГИПЕРБОЛА.

Определение: ГМТ на плоскости модуль разности расстояний от которых до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная

Каноническое уравнение:

Будем считать, что фокусы гиперболы находятся на ОХ на одинаковом расстоянии от начала координат. |F₁F₂|=2c, М – произвольная точка гиперболы. r₁, r2 – расстояния от М до фокусов;
|r₂-r₁|=2a; a1 (т.к. с>a)

Определение: окружность – эллипс у которого а=b, с=0, е=0.

Выразим эксцентриситеты через а и b:

е эллипса является мерой его «вытянутости»

е гиперболы характеризует угол раствора между асимптотами

2. Директрисой D эллипса (гиперболы), соответствующей фокусу F, называется прямая расположенная в полуплоскости  перпендикулярно большой оси эллипса и отстоящий от его центра на расстоянии а/е>a (а/е0

r₁=xe+a

d₁ – расстояние от М(x,y) до прямой D₁

xcos180+ysin180-p=0

x=-p

x=-a/e

б_м=-x-a/e

d₁=-б_м (минус, т.к. прямая и точка по одну стороно о начала коорд.)

Определение: ГМТ на плоскости, отношение расстояния от которых до фокуса, к расстоянию до соответствующей директрисы есть величина постоянная и представляет собой эллипс, если 1, параболу, если =1.

ПОЛЯРНОЕ УРАВНЕНИЕ ЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ, ПАРАБОЛЫ.

Пусть задан эллипс, парабола или правая ветвь гиперболы.

Пусть задан фокус этих кривых. Поместим полюс полярной системы в фокус кривой, а полярную ось совместим с осью симметрии, на которой находится фокус.

r= 

d=p+cos

e=/p+cos

- полярное уравнение эллипса, параболы и правой ветви гиперболы.

КАСАТЕЛЬНАЯ К КРИВОЙ 2-ГО ПОРЯДКА.

Пусть задан эллипс в каноническом виде. Найдем уравнение касательной к нему, проходящей через М₀(x₀;y₀) – точка касания, она принадлежит эллипсу значит справедливо:

у-у₀=y’(x₀)(x-x₀)

Рассмотрим касательную к кривой следовательно

ya²y₀-a²y₀²+b²x₀x-b²x₀²=0

- уравнение касательной к эллипсу.

- уравнение касательной к гиперболе.

- уравнение касательной к параболе.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДЕКАРТОВЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ.

Преобразование на плоскости есть применение преобразований параллельного переноса и поворота.

Пусть две прямоугольные системы координат имеют общее начало. Рассмотрим все возможные скалярные произведения базисных векторов двумя способами:

(е₁;е₁’)=cos u

(е₁;е₂’)=cos (90+u)= -sin u

(е₂;е₁’)=cos (90-u)=sin u

(е₂;е₂’)=cos u

Базис рассматривается ортонормированный:

(е₁;е₁’)=(е₁, ₁₁е₁+₁₂е₂)= ₁₁

(е₁;е₂’)= (е₁, ₂₁е₁+₂₂е₂)= ₂₁

(е₂;е₁’)= ₁₂

(е₂;е₂’)= ₂₂

Приравниваем:

₁₁=cos u

₂₁= - sin u

₁₂=sin u

₂₂=cos u

Получаем:

x=a+x’cos u – y’sin u

y=b+x’sin u – y’cos u - формулы поворота системы координат на угол u.

------------

x=a+x’

y=b+y’ - формулы параллельного переноса

ИНВАРИАНТЫ УРАВНЕНИЯ ЛИНИЙ 2-ГО ПОРЯДКА.

Определение: Инвариантой ур-я (1) линии второго порядка относительно преобразования системы координат, называется функция зависящая от коэффициентов ур-я (1) и не меняющая своего значения при преобразовании системы координат.

Теорема: инвариантами уравнения (1) линии второго порядка относительно преобразования системы координат являются следующие величины: I₁; I₂; I₃

Вывод: при преобразовании системы координат 3 величины остаются неизменными, поэтому они характеризуют линию.

Определение:

I₂>0 – элиптический тип

I₂0 и пусть I₁>0следовательно уравнение (1) определяет: 1. I₃0 – ур-е (1) не определяет. Если I₃=0 говорят, что эллипс вырождается в точку. Если I₃>0 говорят, что задается мнимый эллипс. Пусть после ПП и поворота ур-е (1) принимает вид (*).

Доказательство:

1. пусть I₂>0, I₁>0, I₃ 0

I₁= a₁₁’’+a₂₂’’ > 0

a₁₁’’ > 0; a₂₂’’ > 0

Итак, под корнями стоят положительные числа, следовательно, уравнение эллипса.

2. I₃>0 в данном случае под корнем стоят отрицательные числа, следовательно уравнение не определяет действительного геометрического образа.

3. I₃=0 в данном случае т(0,0) – случай вырождения эллипса.

ТЕОРЕМА О ЛИНИЯХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА.

Теорема: Пусть уравнение (1) определяет линию гиперболического типа. Т.е. I₂a)

Определение: окружность – эллипс у которого а=b, с=0, е=0.

Выразим эксцентриситеты через а и b:

е эллипса является мерой его «вытянутости»

е гиперболы характеризует угол раствора между асимптотами

2. Директрисой D эллипса (гиперболы), соответствующей фокусу F, называется прямая расположенная в полуплоскости  перпендикулярно большой оси эллипса и отстоящий от его центра на расстоянии а/е>a (а/е0

r₁=xe+a

d₁ – расстояние от М(x,y) до прямой D₁

xcos180+ysin180-p=0

x=-p

x=-a/e

б_м=-x-a/e

d₁=-б_м (минус, т.к. прямая и точка по одну стороно о начала коорд.)

Определение: ГМТ на плоскости, отношение расстояния от которых до фокуса, к расстоянию до соответствующей директрисы есть величина постоянная и представляет собой эллипс, если 1, параболу, если =1.

ПОЛЯРНОЕ УРАВНЕНИЕ ЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ, ПАРАБОЛЫ.

Пусть задан эллипс, парабола или правая ветвь гиперболы.

Пусть задан фокус этих кривых. Поместим полюс полярной системы в фокус кривой, а полярную ось совместим с осью симметрии, на которой находится фокус.

r= 

d=p+cos

e=/p+cos

- полярное уравнение эллипса, параболы и правой ветви гиперболы.

КАСАТЕЛЬНАЯ К КРИВОЙ 2-ГО ПОРЯДКА.

Пусть задан эллипс в каноническом виде. Найдем уравнение касательной к нему, проходящей через М₀(x₀;y₀) – точка касания, она принадлежит эллипсу значит справедливо:

у-у₀=y’(x₀)(x-x₀)

Рассмотрим касательную к кривой следовательно

ya²y₀-a²y₀²+b²x₀x-b²x₀²=0

- уравнение касательной к эллипсу.

- уравнение касательной к гиперболе.

- уравнение касательной к параболе.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДЕКАРТОВЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ.

Преобразование на плоскости есть применение преобразований параллельного переноса и поворота.

Пусть две прямоугольные системы координат имеют общее начало. Рассмотрим все возможные скалярные произведения базисных векторов двумя способами:

(е₁;е₁’)=cos u

(е₁;е₂’)=cos (90+u)= -sin u

(е₂;е₁’)=cos (90-u)=sin u

(е₂;е₂’)=cos u

Базис рассматривается ортонормированный:

(е₁;е₁’)=(е₁, ₁₁е₁+₁₂е₂)= ₁₁

(е₁;е₂’)= (е₁, ₂₁е₁+₂₂е₂)= ₂₁

(е₂;е₁’)= ₁₂

(е₂;е₂’)= ₂₂

Приравниваем:

₁₁=cos u

₂₁= - sin u

₁₂=sin u

₂₂=cos u

Получаем:

x=a+x’cos u – y’sin u

y=b+x’sin u – y’cos u - формулы поворота системы координат на угол u.

------------

x=a+x’

y=b+y’ - формулы параллельного переноса

ИНВАРИАНТЫ УРАВНЕНИЯ ЛИНИЙ 2-ГО ПОРЯДКА.

Определение: Инвариантой ур-я (1) линии второго порядка относительно преобразования системы координат, называется функция зависящая от коэффициентов ур-я (1) и не меняющая своего значения при преобразовании системы координат.

Теорема: инвариантами уравнения (1) линии второго порядка относительно преобразования системы координат являются следующие величины: I₁; I₂; I₃

Вывод: при преобразовании системы координат 3 величины остаются неизменными, поэтому они характеризуют линию.

Определение:

I₂>0 – элиптический тип

I₂a)

Определение: окружность – эллипс у которого а=b, с=0, е=0.

Выразим эксцентриситеты через а и b:

е эллипса является мерой его «вытянутости»

е гиперболы характеризует угол раствора между асимптотами

2. Директрисой D эллипса (гиперболы), соответствующей фокусу F, называется прямая расположенная в полуплоскости  перпендикулярно большой оси эллипса и отстоящий от его центра на расстоянии а/е>a (а/е0

r₁=xe+a

d₁ – расстояние от М(x,y) до прямой D₁

xcos180+ysin180-p=0

x=-p

x=-a/e

б_м=-x-a/e

d₁=-б_м (минус, т.к. прямая и точка по одну стороно о начала коорд.)

Определение: ГМТ на плоскости, отношение расстояния от которых до фокуса, к расстоянию до соответствующей директрисы есть величина постоянная и представляет собой эллипс, если 1, параболу, если =1.

ПОЛЯРНОЕ УРАВНЕНИЕ ЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ, ПАРАБОЛЫ.

Пусть задан эллипс, парабола или правая ветвь гиперболы.

Пусть задан фокус этих кривых. Поместим полюс полярной системы в фокус кривой, а полярную ось совместим с осью симметрии, на которой находится фокус.

r= 

d=p+cos

e=/p+cos

- полярное уравнение эллипса, параболы и правой ветви гиперболы.

КАСАТЕЛЬНАЯ К КРИВОЙ 2-ГО ПОРЯДКА.

Пусть задан эллипс в каноническом виде. Найдем уравнение касательной к нему, проходящей через М₀(x₀;y₀) – точка касания, она принадлежит эллипсу значит справедливо:

у-у₀=y’(x₀)(x-x₀)

Рассмотрим касательную к кривой следовательно

ya²y₀-a²y₀²+b²x₀x-b²x₀²=0

- уравнение касательной к эллипсу.

- уравнение касательной к гиперболе.

- уравнение касательной к параболе.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДЕКАРТОВЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ.

Преобразование на плоскости есть применение преобразований параллельного переноса и поворота.

Пусть две прямоугольные системы координат имеют общее начало. Рассмотрим все возможные скалярные произведения базисных векторов двумя способами:

(е₁;е₁’)=cos u

(е₁;е₂’)=cos (90+u)= -sin u

(е₂;е₁’)=cos (90-u)=sin u

(е₂;е₂’)=cos u

Базис рассматривается ортонормированный:

(е₁;е₁’)=(е₁, ₁₁е₁+₁₂е₂)= ₁₁

(е₁;е₂’)= (е₁, ₂₁е₁+₂₂е₂)= ₂₁

(е₂;е₁’)= ₁₂

(е₂;е₂’)= ₂₂

Приравниваем:

₁₁=cos u

₂₁= - sin u

₁₂=sin u

₂₂=cos u

Получаем:

x=a+x’cos u – y’sin u

y=b+x’sin u – y’cos u - формулы поворота системы координат на угол u.

------------

x=a+x’

y=b+y’ - формулы параллельного переноса

ИНВАРИАНТЫ УРАВНЕНИЯ ЛИНИЙ 2-ГО ПОРЯДКА.

Определение: Инвариантой ур-я (1) линии второго порядка относительно преобразования системы координат, называется функция зависящая от коэффициентов ур-я (1) и не меняющая своего значения при преобразовании системы координат.

Теорема: инвариантами уравнения (1) линии второго порядка относительно преобразования системы координат являются следующие величины: I₁; I₂; I₃

Вывод: при преобразовании системы координат 3 величины остаются неизменными, поэтому они характеризуют линию.

Определение:

I₂>0 – элиптический тип

I₂0 и пусть I₁>0следовательно уравнение (1) определяет: 1. I₃0 – ур-е (1) не определяет. Если I₃=0 говорят, что эллипс вырождается в точку. Если I₃>0 говорят, что задается мнимый эллипс. Пусть после ПП и поворота ур-е (1) принимает вид (*).

Доказательство:

1. пусть I₂>0, I₁>0, I₃ 0

I₁= a₁₁’’+a₂₂’’ > 0

a₁₁’’ > 0; a₂₂’’ > 0

Итак, под корнями стоят положительные числа, следовательно, уравнение эллипса.

2. I₃>0 в данном случае под корнем стоят отрицательные числа, следовательно уравнение не определяет действительного геометрического образа.

3. I₃=0 в данном случае т(0,0) – случай вырождения эллипса.

ТЕОРЕМА О ЛИНИЯХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА.

Теорема: Пусть уравнение (1) определяет линию гиперболического типа. Т.е. I₂a)

Определение: окружность – эллипс у которого а=b, с=0, е=0.

Выразим эксцентриситеты через а и b:

е эллипса является мерой его «вытянутости»

е гиперболы характеризует угол раствора между асимптотами

2. Директрисой D эллипса (гиперболы), соответствующей фокусу F, называется прямая расположенная в полуплоскости  перпендикулярно большой оси эллипса и отстоящий от его центра на расстоянии а/е>a (а/е0

r₁=xe+a

d₁ – расстояние от М(x,y) до прямой D₁

xcos180+ysin180-p=0

x=-p

x=-a/e

б_м=-x-a/e

d₁=-б_м (минус, т.к. прямая и точка по одну стороно о начала коорд.)

Определение: ГМТ на плоскости, отношение расстояния от которых до фокуса, к расстоянию до соответствующей директрисы есть величина постоянная и представляет собой эллипс, если 1, параболу, если =1.

ПОЛЯРНОЕ УРАВНЕНИЕ ЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ, ПАРАБОЛЫ.

Пусть задан эллипс, парабола или правая ветвь гиперболы.

Пусть задан фокус этих кривых. Поместим полюс полярной системы в фокус кривой, а полярную ось совместим с осью симметрии, на которой находится фокус.

r= 

d=p+cos

e=/p+cos

- полярное уравнение эллипса, параболы и правой ветви гиперболы.

КАСАТЕЛЬНАЯ К КРИВОЙ 2-ГО ПОРЯДКА.

Пусть задан эллипс в каноническом виде. Найдем уравнение касательной к нему, проходящей через М₀(x₀;y₀) – точка касания, она принадлежит эллипсу значит справедливо:

у-у₀=y’(x₀)(x-x₀)

Рассмотрим касательную к кривой следовательно

ya²y₀-a²y₀²+b²x₀x-b²x₀²=0

- уравнение касательной к эллипсу.

- уравнение касательной к гиперболе.

- уравнение касательной к параболе.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДЕКАРТОВЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ.

Преобразование на плоскости есть применение преобразований параллельного переноса и поворота.

Пусть две прямоугольные системы координат имеют общее начало. Рассмотрим все возможные скалярные произведения базисных векторов двумя способами:

(е₁;е₁’)=cos u

(е₁;е₂’)=cos (90+u)= -sin u

(е₂;е₁’)=cos (90-u)=sin u

(е₂;е₂’)=cos u

Базис рассматривается ортонормированный:

(е₁;е₁’)=(е₁, ₁₁е₁+₁₂е₂)= ₁₁

(е₁;е₂’)= (е₁, ₂₁е₁+₂₂е₂)= ₂₁

(е₂;е₁’)= ₁₂

(е₂;е₂’)= ₂₂

Приравниваем:

₁₁=cos u

₂₁= - sin u

₁₂=sin u

₂₂=cos u

Получаем:

x=a+x’cos u – y’sin u

y=b+x’sin u – y’cos u - формулы поворота системы координат на угол u.

------------

x=a+x’

y=b+y’ - формулы параллельного переноса

ИНВАРИАНТЫ УРАВНЕНИЯ ЛИНИЙ 2-ГО ПОРЯДКА.

Определение: Инвариантой ур-я (1) линии второго порядка относительно преобразования системы координат, называется функция зависящая от коэффициентов ур-я (1) и не меняющая своего значения при преобразовании системы координат.

Теорема: инвариантами уравнения (1) линии второго порядка относительно преобразования системы координат являются следующие величины: I₁; I₂; I₃

Вывод: при преобразовании системы координат 3 величины остаются неизменными, поэтому они характеризуют линию.

Определение:

I₂>0 – элиптический тип

I₂0 и пусть I₁>0следовательно уравнение (1) определяет: 1. I₃0 – ур-е (1) не определяет. Если I₃=0 говорят, что эллипс вырождается в точку. Если I₃>0 говорят, что задается мнимый эллипс. Пусть после ПП и поворота ур-е (1) принимает вид (*).

Доказательство:

1. пусть I₂>0, I₁>0, I₃ 0

I₁= a₁₁’’+a₂₂’’ > 0

a₁₁’’ > 0; a₂₂’’ > 0

Итак, под корнями стоят положительные числа, следовательно, уравнение эллипса.

2. I₃>0 в данном случае под корнем стоят отрицательные числа, следовательно уравнение не определяет действительного геометрического образа.

3. I₃=0 в данном случае т(0,0) – случай вырождения эллипса.

ТЕОРЕМА О ЛИНИЯХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА.

Теорема: Пусть уравнение (1) определяет линию гиперболического типа. Т.е. I₂