Задача линейного программирования

 

Юридический техникум Рассмотрено и одобрено ПЦК

г. Кропоткин программирования

Председатель ПЦК

Покалицына О.В.

План

чтения лекции по учебной дисциплине

«Математические методы»

Раздел № 2. Линейное программирование.

Тема № 2.1. Виды задач линейного программирования.

Занятие №

Учебные и воспитательные цели: изучить основные виды задач линейного программирования, их математические модели.

Время

Место проведения: аудитория.

Учебные вопросы: Задача линейного программирования (ЗЛП). Трудности решения ЗЛП. Классификация задач оптимизации: задача о пищевом рационе, задача о планировании производства, задача о загрузке оборудования, задача о снабжении сырьем.

Литература:

 1. Венцель Е.С. Исследование операций. Задач, принципы, методология. – М.: Наука, 1980.

2. Шелобаев С.И. Математические методы и модели в экономике, финансах, бизнесе. – М.:ЮНИТИДАНА, 2001

Учебные вопросы и расчет времени

№п/п	Учебные вопросы	Время, мин	Методические указания
1. 2. 3.	Задача линейного программирования (ЗЛП). Трудности решения ЗЛП. Классификация задач оптимизации.

1.    Вводная часть. Организационный момент. План занятия. Основные требования.

2.    Основная часть.

1. Задача линейного программирования (ЗЛП).

Термин линейное программирование появился в Америке в середине 40-х годов (первая американская работа по частной задаче линейного программирования опубликована в 1941 г.). В Советском Союзе исследования в этой области начались ранее. В конце 30-х годов целый ряд существенных результатов по линейному программированию был установлен Л.В. Канторовичем.

Задача линейного программирования – это задача нахождения значений параметров, обеспечивающих экстремум функции при наличии ограничений на аргументы.

Задачи линейного программирования являются самыми простыми и лучше изученными задачами. Для них характерно: показатель эффективности (целевая функция) выражается линейной зависимостью; ограничения на решения – линейные равенства или неравенства.

2. Трудности решения ЗЛП.

Трудности решения задач линейного программирования зависят от: вида зависимости, связывающей целевую функцию с элементами решения; размерности задачи, то есть от количества элементов решения х1, х2,…, xn; вида и количества ограничений на элементы решений.

3. Классификация задач оптимизации.

Задача о рациональном питании (задача о пищевом рационе).

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Ферма производит откорм скота с коммерческой целью. Для простоты допустим, что имеется всего четыре вида продуктов: П₁, П₂, П₃, П₄; стоимость единицы каждого продукта равна соответственно С₁, С₂, С₃, С₄. Из этих продуктов требуется составить пищевой рацион, который должен содержать: белков – не менее b_i единиц; углеводов – не менее b₂ единиц; жиров – не менее b₃ единиц. Для продуктов П₁, П₂, П₃, П₄ содержание белков, углеводов и жиров (в единицах на единицу продукта) известно и задано в таблице, где a_ij (i=1,2,3,4; j=1,2,3) – какие – то определённые числа; первый индекс указывает номер продукта, второй – номер элемента (белки, углеводы, жиры).

продукт	элементы
	белки	углеводы	жиры
П1 П2 П3 П4	A11 A21 A31 A41	A12 A22 A32 A42	A13 A23 A33 A43

Требуется составить такой пищевой рацион (т.е. назначить количества продуктов П₁, П₂, П₃, П₄, входящих в него), чтобы условия по белкам, углеводам и жирам были выполнены и при этом стоимость рациона была минимальна.

МАТЕМАТИЧЕСКУЮ МОДЕЛЬ. Обозначим x₁, x₂, x₃, x₄ количества продуктов П₁, П₂, П₃, П₄, входящих в рацион. Показатель эффективности, который требуется минимизировать, - стоимость рациона (обозначим её L): она линейно зависит от элементов решения x₁, x₂, x₃, x₄.

Целевая функция:

Система ограничений:  

a₁₁x₁+a₂₁x₂+a₃₁x₃+a₄₁x₄≥b₁

a₁₂x₁+a₂₂x₂+a₃₂x₃+a₄₂x₄≥b₂

a₁₃x₁+a₂₃x₂+a₃₂x₃+a₄₃x₄≥b₃

Эти линейные неравенства представляют собой ограничения, накладываемые на элементы решения x₁, x₂, x₃, x₄.

Таким образом, поставленная задача сводится к следующей: найти такие неотрицательные значения переменных x₁, x₂, x₃, x₄, чтобы они удовлетворяли ограничениям – неравенствам и одновременно обращали в минимум линейную функцию этих переменных:

Задача о планировании производства.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Предприятие производит изделия трёх видов: U₁, U₂, U₃. По каждому виду изделия предприятию спущен план, по которому оно обязано выпустить не мене b₁ единиц изделия U₁, не мене b₂ единиц изделия U₂ и не мене b₃ единиц изделия U₃. План может быть перевыполнен, но в определённых границах; условия спроса ограничивают количества произведённых единиц каждого типа: не более соответственно b₁, b₂, b₃ единиц. На изготовление изделий идёт какое-то сырьё; всего имеется четыре вида сырья: s₁, s₂, s₃, s₄, причём запасы ограничены числами g₁, g₂, g₃, g₄ единиц каждого вида сырья. Теперь надо узнать какое количество сырья каждого вида идёт на изготовление каждого вида изделий. Обозначим a_ij количество единиц сырья вида s_i (I= 1, 2, 3, 4), потребное на изготовление одной единицы изделия U_j (j= 1, 2, 3). Первый индекс у числа a_ij – вид изделия, второй – вид сырья. Значения a_ijсведены в таблицу (матрицу).

Сырьё	Изделия
	U1	U2	U3
S1 S2 S3 S4	a11 a12 a13 a14	a21 a22 a23 a24	a31 a32 a33 a34

При реализации одно изделие U₁ приносит предприятию прибыль c₁, U₂ – прибыль c₂, U₃ – прибыль c₃. Требуется так спланировать производство (сколько каких изделий производить), чтобы план был выполнен или перевыполнен (но при отсутствии «затоваривания»), а суммарная прибыль обращалась в максимум.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ. Элементами решения будут x₁, x₂, x₃ – количества единиц изделий U₁, U₂, U₃, которые мы произведём. Обязательность выполнения планового задания запишется в виде трёх ограничений – неравенств: x₁³b₁, x₂³b₂, x₃³b₃.

Отсутствие изделий продукции (затоваривания) даёт нам ещё три ограничения – неравенства: x₁£b₁, x₂£b₂, x₃£b₃.

Целевая функция: L=c₁x₁+c₂x₂+c₃x₃→ max.

Система ограничений:

a₁₁x₁+a₂₁x₂+a₃₁x₃£¡₁.

a₁₂x₁+a₂₂x₂+a₃₂x₃£¡₂.

a₁₃x₁+a₂₃x₂+a₃₃x₃£¡₃.

a₁₄x₁+a₂₄x₂+a₃₄x₃£¡₄.

Задача о загрузки оборудования.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Ткацкая фабрика располагает двумя видами станков, из них N1 станков типа 1 и N2 станков типа 2. Станки могут производить три вида тканей: T1, T2, T3, но с разной производительностью. Данные a_ijпроизводительности станков в таблице (первый индекс – тип станка, второй – вид ткани).

Каждый метр ткани вида T1 приносит фабрике доход c₁, вида Т2 – доход с₂, Т3 – доход с₃.

Тип станка	Вид ткани
	Т1	Т2	Т3
1 2	а11 а21	а12 а22	а13 а23

Фабрике предписан план согласно которому она должна производить в месяц не менее b₁ метров ткани Т1, b₂ метров ткани Т2, b₃ метров ткани Т3; количество метров каждого вида ткани не должно превышать соответственно b₁, b₂, b₃ метров. Кроме того, все без исключения станки должны быть загружены. Требуется так распределить загрузку станков производством тканей Т1, Т2, Т3, чтобы суммарный месячный доход был максимален.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ. Введём букву x с двумя индексами (первый – тип станка, второй – вид ткани). Всего будет шесть элементов решения: x₁₁ x₁₂ x₁₃ x₂₁ x₂₂ x₂₃ .

Здесь x₁₁ – количество станков типа 1, занятых изготовлением ткани Т1, x₁₂ – количество станков типа 1, занятых изготовлением ткани Т2 и т.д.

Запишем суммарный доход от производства всех видов тканей. Суммарное количество метров ткани Т1, произведённое всеми станками, будет равно a₁₁x₁₁+a₂₁x₂₁ и принесёт доход c₁(a₁₁x₁₁+a₂₁x₂₁).

Целевая функция: L=c₁ (a₁₁x₁₁+a₂₁x₂₁)+c₂ (a₁₂x₁₂+a₂₂x₂₂)+c₃ (a₁₃x₁₃+a₂₃x₂₃)  → max.

Система ограничений:

Обеспечим выполнения плана ограничениями по минимальным параметрам:

a₁₁x₁₁+a₂₁x₂₁³b₁,

a₁₂x₁₂+a₂₂x₂₂³b₂,

a₁₃x₁₃+a₂₃x₂₃³b₃,

После этого ограничим выполнение плана по максимальным параметрам:

a₁₁x₁₁+a₂₁x₂₁£b₁,

a₁₂x₁₂+a₂₂x₂₂£b₂,

a₁₃x₁₃+a₂₃x₂₃£b₃,

Теперь запишем ограничения, связанные с наличием оборудования и его полной загрузкой. Суммарное количество станков типа 1, занятых изготовлением всех тканей, должно быть равно N1; типа 2 – N2.

x₁₁+x₁₂+x₁₃=N1,

x₂₁+x₂₂+x₂₃=N2,

Задача о снабжении сырьём.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. Имеется три промышленных предприятия: П₁, П₂, П₃, требующих снабжения определённым видом сырья. Потребности в сырье каждого предприятия равны соответственно a₁, a₂, a₃ единиц. Имеются пять сырьевых баз, расположенных от предприятий на каких – то расстояниях и связанных с ними путями сообщения с разными тарифами. Единица сырья, получаемая предприятием П_i c базы Б_{j ,} обходится предприятию в с_ijрублей (первый индекс – номер предприятия, второй – номер базы).

Предприятия	Базы
	Б1	Б2	Б3	Б4	Б5
П1 П2 П3	С11 С21 С31	С12 С22 С32	С13 С23 С33	С14 С24 С34	С15 С25 С35

Возможности снабжения сырьём с каждой базы ограничены её производственной мощностью: базы Б₁, Б₂, Б₃, Б₄, Б₅ могут дать не более b₁, b₂, b₃, b₄, b₅ единиц сырья. Требуется составить такой план снабжения предприятий сырьём (с какой базы, куда и какое количество сырья везти), чтобы потребности предприятий были обеспечены при минимальных расходах на сырьё.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ. Обозначим x_ijколичества сырья с j – ой базы. Всего план будет состоять из 15 элементов решения: x₁₁ x₁₂ x₁₃ x₁₄ x₁₅ x₂₁ x₂₂ x₂₃ x₂₄ x₂₅ x₃₁ x₃₂ x₃₃ x₃₄ x_35.

Целевая функция:

Система ограничений:

x₁₁+x₁₂+x₁₃+x₁₄+x₁₅=a₁,

x₂₁+x₂₂+x₂₃+x₂₄+x₂₅=a₂,

x₃₁+x₃₂+x₃₃+x₃₄+x₃₅=a₃,

x₁₁+x₂₁+x₃₁£b₁,

x₁₂+x₂₂+x₃₂£b₂,

x₁₃+x₂₃+x₃₃£b₃, (4.3.)

x₁₄+x₂₄+x₃₄£b₄,

x₁₅+x₂₅+x₃₅£b₅,