Интеграл по комплексной переменной.
Определение 1: Кривая Г называется гладкой ,если она имеет непрерывно изменяющуюся касательную.
Определение 2: Кривая называется кусочно-гладкой ,если она состоит из конечного числа гладких дуг.
Основные свойства : Пусть на комплексной плоскости Z задана кусочно-гладкая кривая С длиной , используя параметрическое задание кривой С зададим tи (t), где иявляются кусочно-гладкими кривыми от действительной переменной t. Пусть 0 существует >0, что для всех из –окрестности точки Z0 выполняется | f() – f(Z0) | < .
(8)
Подставив ( 7) в ( 6) с учетом ( 8) получаем :
П
одставляя
в ( 5) и выражая
f(Z0) имеем :
(9)
Э
то
интеграл Коши.
Интеграл, стоящий в (9) в правой части выражает значение аналитической функции f() в некоторой точке Z0 через ее значение на произвольном контуре , лежащем в области аналитичности функции f() и содержащем точку Z0 внутри.
Очевидно, что если бы функция f() была аналитична и в точках контура С, то в качестве границы в формуле (9) можно было использовать контур С.
Приведенные рассуждения остаются справедливыми и в случае многосвязной области G.
Следствие : Интеграл Коши, целиком принадлежащий аналитической области G имеет смысл для любого положения Z0 на комплексной плоскости при условии, что эта точка есть внутренней точкой области Г. При этом если Z0 принадлежит области с границей Г, то значение интеграла равно (9), а если т. Z0 принадлежит внешней области, то интеграл равен нулю :
П
ри
Z0
Г указанный
интеграл не
существует.
Интегралы, зависящие от параметра.
Рассматривая интеграл Коши, видим, что подинтегральная функция зависит от 2-х комплексных переменных : переменной интегрирования и Z0. Таким образом интеграл Коши может быть рассмотрен как интеграл, зависящий от параметра, в качестве которого выбираем точку Z0.
Пусть задана функция двух комплексных переменных (Z, ), причем Z= x + iy в точке, принадлежащей некоторой комплексной плоскости G. = + i С. (С - граница G).
Взаимное расположение области и кривой произвольно. Пусть функция (Z, ) удовлетворяет условиям : 1) Функция для всех значений С является аналитической в области G. 2) Функция (Z, ) и ее производная являются непрерывными функциями по совокупности переменных Z и при произвольном изменении области G и переменных на кривой С. Очевидно, что при сделанных предположениях :
И
нтеграл
существует
и является
функцией комплексной
переменной.
Справедлива
формула :
(2)
Эта формула устанавливает возможность вычисления производной от исходного интеграла путем дифференцирования подинтегральной функции по параметру.
ТЕОРЕМА. Пусть f(Z) является аналитической функцией в области G и непрерывной в области G (G включая граничные точки ), тогда во внутренних точках области G существует производная любого порядка от функции f(Z) причем для ее вычисления имеет место формула :
(3)
С помощью формулы (3) можно получить производную любого порядка от аналитической функции f (Z) в любой точке Z области ее аналитичности. Для доказательства этой теоремы используется формула (2) и соответственные рассуждения, которые привели к ее выводу.
ТЕОРЕМА МОРЕРА. Пусть f(Z) непрерывна в односвязной области G и интеграл от этой функции по любому замкнутому контуру, целиком принадлежащему G равен 0. Тогда функция f (Z) является аналитической функцией в области G. Эта теорема обобщается и на случай многосвязной области G.
Разложение функции комплексного переменного в ряды.
Если функция f(x, y) определена и непрерывна вместе с частными производными (до n-го порядка ), то существует разложение этой функции в ряд Тейлора :
Итак, если задана функция f (z) комплексного переменного, причем f (z) непрерывная вместе с производными до n-го порядка, то:
(2) –
разложение
в ряд Тейлора.
Формула (2) записана для всех Z принадлежащих некоторому кругу | Z-Z0 | 0 выполняется условие |f(t)|
Похожие работы
... . Но недоверие к символическому исчислению сохранялось до тех пор, пока Джорджи, Бромвич, Карсон, А. М. Эфрос, А. И. Лурье, В. А. Диткин и другие не установили связи операционного исчисления с интегральными преобразованиями. Идея решения дифференциального уравнения операционным методом состоит в том, что от дифференциального уравнения относительно искомой функции-оригинала f(t) переходят к ...
... . Упражнение. Доказать, что, если на всей оси функция y(х) дифференцируема, а j(х) – дважды дифференцируема, то функция (13.11) действительно удовлетворяет уравнению (13.9) и начальным условиям (13.10). Глава 3. Операционное исчисление § 14. Преобразование Лапласа Понятие оригинала. Кусочно-непрерывная функция называется оригиналом, если выполняются следующие условия: 1) для всех ...
... (3.3) Дифференцирование ek и fk сводится к дифференцированию uk и vk. 4. Приближенное интегрирование гармонических функций В этом параграфе построим формулы интегрирования произвольной функции из W(S) и базисной последовательности полиномов. Теорема 4.1. Существует единственная последовательность такая, что для любой функции u из W(S) и точки (x0,0) луночки S скалярное ...
... , Чебышева первого и второго рода, коэффициенты которого ak вычисляются по формуле. где - коэффициенты смещенного многочлена Лежандра, Чебышева первого и второго рода соответственно, записанных в виде Другим приемом численного обращения преобразования Лапласа является построение квадратурных формул для интеграла обращения (8). 4. Обращение преобразования Лапласа с помощью многочленов, ...
0 комментариев