Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений

Содержание

Введение. 3

§1. Оригиналы и изображения функций по Лапласу. 5

§2. Основные теоремы операционного исчисления. 8

2.1 Свертка оригиналов. 8

2.1 Свойство линейности. 9

2.2 Теорема подобия. 9

2.3 Теорема запаздывания. 10

2.4 Теорема смещения. 10

2.5 Теорема упреждения. 11

2.6 Умножение оригиналов. 11

2.7 Дифференцирование оригинала. 11

2.8 Дифференцирование изображения. 12

2.9 Интегрирование оригинала. 12

2.10 Интегрирование изображения. 13

§3. Изображения простейших функций. 13

§4. Отыскание оригинала по изображению.. 15

4.1 Разложение на простейшие дроби. 15

4.2. Первая теорема разложения. 16

§5 Решение задачи Коши для обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. 18

Приложение. 24

Введение

Операционное исчисление в настоящее время стало одной из важнейших глав практического математического анализа. Операционный метод непосредственно используется при решении обыкновенных дифференциальных уравнений и систем таких уравнений; его можно использовать и при решении дифференциальных уравнений в частных производных.

Основателями символического (операционного) исчисления считают русских ученых М. Е. Ващенко – Захарченко и А. В. Летникова.

Операционное исчисление обратило на себя внимание после того, как английский инженер-электрик Хевисайд, используя символическое исчисление, получил ряд важных результатов. Но недоверие к символическому исчислению сохранялось до тех пор, пока Джорджи, Бромвич, Карсон, А. М. Эфрос, А. И. Лурье, В. А. Диткин и другие не установили связи операционного исчисления с интегральными преобразованиями.

Идея решения дифференциального уравнения операционным методом состоит в том, что от дифференциального уравнения относительно искомой функции-оригинала f(t) переходят к уравнению относительно другой функции F(p), называемой изображением f(t). Полученное (операционное) уравнение обычно уже алгебраическое (значит более простое по сравнению с исходным). Решая его относительно изображения F(p) и переходя затем к соответствующему оригиналу, находят искомое решение данного дифференциального уравнения.

Операционный метод решения дифференциальных уравнений можно сравнить с вычислением различных выражений при помощи логарифмов, когда, например, при умножении вычисления ведутся не над самими числами, а над их логарифмами, что приводит к замене умножения более простой операцией – сложением.

Так же как и при логарифмировании, при использовании операционного метода нужны:

1)         таблица оригиналов и соответствующих им изображений;

2)         знание правил выполнения операций над изображением, соответствующих действиям, производимым над оригиналом.

§1. Оригиналы и изображения функций по Лапласу

 

Определение 1. Будем действительную функцию действительного аргумента f(t) называть оригиналом, если она удовлетворяет трем требованиям:

1) f (t) 0 , при t 0

2) f(t) возрастает не быстрее некоторой показательной функции , при t 0 , где M 0, s₀ 0 — некоторые действительные постоянные, s₀называют показателем роста функции f(t).

3) На любом конечном отрезке a, bположительной полуоси Ot функция f(t) удовлетворяет условиям Дирихле, т.е.

a) ограничена,

b) либо непрерывна, либо имеет лишь конечное число точек разрыва I рода,

c) имеет конечное число экстремумов.

Функции, удовлетворяющие этим трем требованиям, называются в операционном исчислении изображаемыми по Лапласу или оригиналами.

Простейшим оригиналом является единичная функция Хевисайда

Если функция  удовлетворяет условию 2 и не удовлетворяет 1, то произведение будет удовлетворять и условию 1, т.е. будет оригиналом. Для упрощения записи будем, как правило, множитель H (t) опускать, считая, что все рассматриваемые функции равны нулю при отрицательных значениях t.

Интегралом Лапласа для оригинала f(t) называется несобственный интеграл вида

,

где  – комплексный параметр.

 

Теорема.

Интеграл Лапласа абсолютно сходится в полуплоскости (то есть изображение F(p) заведомо определено при ), где s₀ – показатель роста f (t).

∆ При получаем:

 , но по свойству модулей .

Заметим, что по определению оригинала

.

Вычислим этот интеграл:

То есть получаем что F(p) существует при

▲

Замечание. Из доказательства теоремы следует оценка:

при

Определение 2. Изображением по Лапласу функции f (t) называется функция комплексного переменного p = s + iσ, определяемая соотношением

(1)

Тот факт, что функция F(t) является изображением оригинала f (t), символически это записывается так:

 или (2)

§2. Основные теоремы операционного исчисления   2.1 Свертка оригиналов.

 

Сверткой оригиналов  и  называется функция

.

Функции f (t) и g(t) называются компонентами свертки.

Найдем для примера свертку произвольного оригинала  и единичной функции  Имеем .

Так как  при  то

. (2.1.1)

Теорема 1. Если  и, то

.

∆

Действительно, по определению интеграла Лапласа имеем

Воспользуемся определением свертки:

Изменив порядок интегрирования в двойном интеграле, получим

.

Введем вместо t новую переменную . Тогда

что и требовалось доказать. ▲

Свойство линейности.

Для любых комплексных постоянных и :

∆

Это свойство вытекает из свойства линейности интеграла.

Домножим равенство  на α:

Так как , то , то есть

2.2 Теорема подобия.

Для любого постоянного a> 0:

Умножение аргумента оригинала на положительное число  приводит к делению изображения и его аргумента на это число .

Положим αt=u. Тогда .

Таким образом, при t=0 получаем u=0, при  получаем  и

  2.3 Теорема запаздывания.

 для t>τ>0

Таким образом, запаздывание аргумента оригинала на положительную величину приводит к умножению изображения оригинала без запаздывания F(p) на e^pt.

2.4 Теорема смещения.

Для a >0 имеет место соотношение:

∆

Из определения изображения имеем:

  2.5 Теорема упреждения.

При а > 0 имеет место соотношение:

  2.6 Умножение оригиналов

2.7 Дифференцирование оригинала

Если и  – оригиналы и , то

(2.7.1)

В самом деле, исходя из формулы Ньютона – Лейбница, в силу (2.1.1) будем иметь

.

Тогда по теореме 1

.

Отсюда , что и требовалось доказать.

Применив формулу (2.7.1) дважды, получим

и т.д. В частности, если , то , т.е. в этом случае дифференцирование оригинала сводится к умножению его изображения на p.

  2.8 Дифференцирование изображения

Если , то , то есть умножению оригинала на (-t) соответствует производная от изображения F(p).

Обобщение:

Путем последовательного дифференцирования по параметру p равенства  получим:

 

2.9 Интегрирование оригинала

Если , то , то есть интегрированию оригинала в пределах от 0 до t соответствует деление изображения на р.

Если f(t) принадлежит множеству оригиналов, то и будет принадлежать множеству оригиналов.

Пусть  и . Из  видно, что

1)

2) .

Применим свойство дифференцирования оригинала к , и в силу последних двух равенств получим

,

А отсюда .

Но, по условию теоремы, . Следовательно,  или .

А отсюда и из соотношений  и  следует, что .

2.10 Интегрирование изображения

Если  и  принадлежит множеству оригиналов, то .

§3. Изображения простейших функций

Единичная функция Хевисайда.

Имеем:

Так как при , то .

Для функции Хевисайда с запаздывающим аргументом по теореме запаздывания получим

.

Экспонента. По теореме смещения

.

Гиперболические и тригонометрические функции.

В силу линейности преобразования Лапласа имеем

;

;

;

Степенная функция с натуральным показателем.

Положим , где . Тогда при

.

При , поэтому

Отсюда

.

Так как , то

Полученные с помощью формулы (1) изображения некоторых функций сведены в таблицу (см. приложение). Ее можно использовать для нахождения изображений функций.

§4. Отыскание оригинала по изображению

Для нахождения оригинала f(t) по известному изображению F(p) нужно использовать формулы обращения Римана-Меллина

.

Если функция f(t) является оригиналом, т.е. удовлетворяет условиям 1-3 определения 1 и F(p) служит ее изображением, то в любой точке своей непрерывности функция f(t) равна:

Формула обращения Римана-Меллина дает выражение оригинала f(t) через изображение F(p), причем α – произвольное число, удовлетворяющее неравенству α>s₀.

Вычисление оригинала по формуле Римана-Меллина довольно трудоёмко, поэтому на практике при решении задач применяют другие методы, которые рассматриваются ниже.

  4.1 Разложение на простейшие дроби.

Если есть дробно-рациональная функция, причем степень числителя A(p) меньше степени знаменателя B(p), то эту дробь разлагают на сумму простых дробей и находят оригиналы для каждой простой дроби либо непосредственно по формуле (1), либо по таблице (см. приложение).

Пример 1. Найти оригинал по изображению.

Разложим функцию на сумму дробей:

Найдем методом неопределенных коэффициэнтов А, В, С:

Тогда

Воспользуемся приложением:

В итоге оригинал равен

  4.2. Первая теорема разложения

 

Теорема. Если изображение искомой функции может быть разложено в степенной ряд по степеням , т.е.

(причем этот ряд сходится к F( p) при  ), то оригинал имеет вид

(причем ряд сходится при всех значениях t ).

§5 Решение задачи Коши для обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение

где a_k –действительные числа.

Требуется найти решение данного дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям

x(0)=x₀, x`(0)=x`₀, …, x^(n-1)(0)=x₀^(n-1)

где x₀, x`₀, …, x₀^(n-1) – заданные числа.

Будем предполагать, что искомая функция x(t), все ее производные, а также функция f (t) являются оригиналами.

Пусть . По формулам дифференцирования оригиналов

Перейдем от данного дифференциального уравнения к уравнению в изображениях

Перепишем его так , где , а

Находим так называемое операторное решение уравнения

Найдя оригинал x(t) по его изображению X(p) , мы получим тем самым решение задачи Коши для исходного дифференциального уравнения.