СТРУКТУРА КОНСТРУКТИВНОЙ МАТЕМАТИКИ

    2. СТРУКТУРА КОНСТРУКТИВНОЙ МАТЕМАТИКИ

1).КОНСТРУКТИВНОЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ ЧИСЛО.

Конструктивное действительное число – понятие действительного числа, употребляемое в конструктивной математике. В более широком смысле – действительное число, конструируемое в соответствии с тем или иным кругом конструктивных средств. Близкое значение имеет термин «вычислимое действительное число», обычно употребляемый в тех случаях, когда не ставится цель изначального, нетрадиционного, нетрадиционного построения континуума, а речь идёт просто о классических действительных числах, вычислимых в том или ином смысле посредством некоторых алгоритмов.

2) КОНСТРУКТИВНЫЙ ОБЪЕКТ.

КОНСТРУКТИВНЫЙ ОБЪЕКТ — название, установившееся за математич. объектами, возникающими в результате развертывания так называемых конструктивных процессов. При описании того или иного конкретного конструктивного процесса обычно «...предполагается, что отчетливо охарактеризованы объекты, которые в данном рассмотрении фигурируют в качестве нерасчленяемых на части исходных объектов; предполагается, что задан список тех правил образования новых объектов из ранее построенных, которые в данном рассмотрении фигурируют в качестве описаний допустимых шагов конструктивных процессов; предполагается, что процессы построения осуществляются отдельными шагами, причем выбор каждого очередного

шага произволен в тех границах, которые определяются списком ранее построенных объектов и совокупностью тех правил образования, которые фактически можно применить к ранее построенным объектам». Такое описание конструктивного процесса, а тем самым и Конструктивного объекта, разумеется, не может претендовать на то, чтобы быть точным математич. определением. Однако конкретные математич. теории всегда имеют дело лишь с такими конкретными типами Конструктивного объекта, которые допускают точную характеризацию. Приведенное выше описание Конструктивного объекта служит в таких ситуациях ориентиром для выбора соответствующих точных определений.Примером точно определенного типа Конструктивного объекта могут служить слова в каком-либо фиксированном алфавите (буквы этого алфавита играют роль исходных объектов; новые слова получаются из уже имеющихся путем приписывания к последним справа букв рассматриваемого алфавита). Другими примерами типов Конструктивного объекта могут служить конечные графы, конечные абстрактные топологические комплексы, релейно-контактные схемы (выбор соответствующих исходных объектов и правил образования не представляет труда). Как Конструктивный объект могут быть также определены рациональные числа, алгебраические многочлены, алгоритмы и исчисления различных точно определенных типов, автоматы конечные, конечно определенные группы и другие им подобные математич. объекты.

Конструктивные объекты играют важную роль в тех математич. теориях, в к-рых возникает потребность в рассмотрении объектов, допускающих отчетливое индивидуальное задание средствами той или иной математич. символики. В рамках теоретико-множественной математики, неограниченно использующей абстракцию актуальной бесконечности, Конструктивный объект и произвольные множества Конструктивного объекта рассматриваются одновременно и наравне с прочими математич. Объектами, среди которых Конструктивные объекты выделяются лишь своей большей «осязаемостью». В рамках конструктивной математики Конструктивные объекты или объекты, задаваемые ими) представляют собой единственно допускаемый к рассмотрению тип математич. объектов, и рассмотрение их здесь ведется на базе отказа от применения абстракции актуальной бесконечности и на основе специальной конструктивной логики, учитывающей, в частности, специфику определения Конструктивного объекта.

3). КОНСТРУКТИВНОЕ МЕТРИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО.

Концепция метрич. пространства используется в конструктивной математике. Близкий смысл имеет также понятие рекурсивного метрического пространства.

Список { ,р}, где - некоторое множество конструктивных объектов (обычно слов в том или ином алфавите), р - алгоритм, переводящий любую пару элементов в конструктивное действительное число, названный Конструктивным математическим пространством, если при любых X, У, Z Î

выполняется: 1) р(Х, Х)=0, 2) р(Х, У) £ р(Х, Z)+р(У, Z) (здесь и ниже термин "алгоритм" употребляется в смысле одного из точных понятий алгоритма). Множество и алгоритм р называются носителем и метрическим алгоритмом соответствующего Конструктивного метрического пространства, а элементы - точками этого Конструктивного метрического пространства. Из аксиом 1), 2) следует, что всегда р(Х, У)³0 и р(Х, У)= р(У, X). Две точки, X, YÎ называются эквивалентными (различными) в Конструктивном метрическом пространстве { , р}, если р(Х, У)=0 (соответственно р(Х,У)¹0).

III. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Роль «конструирования» в математике.

Математики действуют, применяя процесс «конструирования»; они «конструируют» сочетания все более и более сложные. Возвращаясь затем путем анализа этих сочетаний — этих, так сказать, совокупностей — к их первоначальным элементам, они раскрывают отношения этих элементов и выводят отсюда отношения самих совокупностей.

Это — процесс чисто аналитический, однако он направлен не от общего к частному, ибо совокупности, очевидно, не могут быть рассматриваемы как нечто более частное, чем их составные элементы.

Этому процессу «конструирования» справедливо приписывали большое значение и желали в нем видеть необходимое и достаточное условие прогресса точных наук.

Несомненно, что оно необходимо; но оно не является достаточным.

Для того чтобы конструирование- могло быть полезным,чтобы оно не

было бесплодным трудом для разума, чтобы оно могло служить опорой для дальнейшего поступательного движения, надо, чтобы оно прежде всего обладало некоторым родом единства, которое позволяло бы видеть в нем нечто иное,

чем простое наращивание составных частей. Говоря точнее, надо, чтобы в анализе конструкции выявлялось некоторое преимущество сравнительно с анализом ее составных элементов.

В чем же может заключаться это преимущество? Зачем, например, надо рассуждать не об элементарных треугольниках, а о многоугольнике, который ведь всегда разложим на треугольники? Это делается потому, что существуют свойства, принадлежащие многоугольникам с каким угодно числом сторон, которые можно непосредственно применить к любому частному многоугольнику.

Весьма часто, напротив, только ценой продолжительных усилий можно бывает найти эти свойства, изучая непосредственно соотношения элементарных треугольников. Знание общей теоремы освобождает нас от этих усилий. Если четырехугольник есть не что иное, чем соединенные рядом два треугольника, то это потому, что он принадлежит к роду многоугольников.

Конструирование становится интересным только тогда, когда его можно сравнить с другими аналогичными конструкциями, образующими виды того же родового понятия. Необходимо еще, чтобы было возможно доказывать родовые свойства, не будучи вынужденным обосновывать их последовательно для каждого вида. Чтобы достигнуть этого, необходимо вновь подняться от частного к общему, пройдя одну или несколько ступеней.

Аналитический процесс «конструирования» не вынуждает нас опускаться ниже, а оставляет все на том же уровне.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

1.   Анри Пуанкарэ, О науке, -М; «Наука», 1983 г.

2.   Математическая энциклопедия, - М; «Советская энциклопедия», 1979 г., том II.

3.   Фор Р., Кофман А., М. Дени-Папен, -М; Современная математика, «Мир», 1966г.

4.   Марков А.А., Теория алгоритмов, -М; 1954 г.

5.   Марков А.А., О логике конструктивной математики, -М; 1972г.