£ x £ 1

0 £ x £ 1

Пусть П играет в смешанных стратегиях, а В отвечает чистыми:

n₁(х)= 2х-2(1-х) (1)

n₂(х)= -2х+(1-х) (2)

n₄(х)= -5х+3(1-х) (4)

n₁(х)= 3х-2

n₂(х)= -3х+1

n₄(х)= -8х+3

т. В(х*, n*)

т. В: n₁=n₄

3х-2= -8х+3

 11х=5

х*=⁵/₁₁

n(х*)=×¹⁵/₁₁-2= -⁷/₁₁

р*(⁵/₁₁; 1-⁵/₁₁)=р*(⁵/₁₁; ⁶/₁₁) – оптимальная смешанная стратегия для П

Ищем оптимальную смешанную стратегию для В.

q(y, 0, 0, 1-y)

p₁* = ⁵/₁₁>0

Рассматриваем вариант, когда В играет в смешанных стратегиях, а П – в чистых стратегиях выбирает первую строку.

-⁷/₁₁= 2y-5(1-y)

y*= ⁴⁸/₇₇

q*=(⁴⁸/₇₇, 0, 0, ²⁹/₇₇) – оптимальная смешанная стратегия В

Анализ модели краткосрочного страхования жизни

В страховой компании застраховано N₁=900 человек в возрасте 45 лет и N₂=550 человек в возрасте 55 лет сроком на один год. Компания выплачивает наследникам: 100000 руб., в случае смерти застрахованного от несчастного случая, и 25000 руб., в случае смерти от естественных причин в течение года. Компания не платит ничего, если человек проживет этот год. Предположим, что смертность описывается моделью Мейкхама и рассчитаем нетто-премию, цену полиса, страховую надбавку, чтобы вероятность неразорения компании составляла 0,95.

Индивидуальные иски x и x каждого из застрахованных 1-ой и 2-ой групп определяются, соответственно, рядами распределения (для удобства за денежную единицу примем 100000 руб.).

0 ¼ 1 (1)

x

=0,9982 =0,0013 =0,0005

0 ¼ 1

x

=0,9962 =0,0044 =0,0005

Здесь вероятности смерти от несчастного случая примем равными 0,0005, а вероятности смерти от естественных причин возьмем из Таблицы продолжительности жизни.

Средние индивидуальные иски Мx и Мx равны соответствующим нетто-премиям Р и Р для клиентов компании 1-ой и 2-ой групп.

Р = Мx = ј*0,0013 + 1*0,0005 » 0,00083 = 83 руб. (2)

Р = Мx = ј*0,0044 + 1*0,0005 » 0,0016 = 160 руб.

I.          Сначала рассмотрим решение, основанное на распределении Пуассона.

Чтобы свести задачу к схеме опытов Бернулли можно приближенно заменить ряды распределения (1) следующими таблицами:

0 М(x/x№0) 0 М(x/x№0)

x: x: (3)

а затем в качестве условной денежной единицы принять условные математические ожидания М(x/x№0) в 1-ой таблице и М(x/x№0) – во 2-ой.

Вычислим условные математические ожидания:

 

М(x/x№0)=ј*Р(x=ј/x№0)+1*Р(x=1/x№0) = =ј*/()+1*= =ј*0,0044/(0,0044+0,0005)+1*0,0005/(0,0044+0,0005)=

=ј*¹³/₁₈+1*⁵/₄₉ = ⁵/₁₈ » 0,458=45800 руб. – денежная единица для клиентов 1-ой группы.

М(x/x№0=ј*/()+1*=

=ј*0,0044/(0,0044+0,0005)+1*0,0005/(0,0044+0,0005)=

=. ј*⁴⁴/₄₉+1*⁵/₄₉ = ¹⁶/₄₉ » 0,327=32700 руб – денежная единица для клиентов 2-ой группы.

С учетом всех замечаний вместо рядов распределения (3) имеем:

0 1 0 1

x: x: (4)

0,9982 0,0018 0,9962 0,0049

откуда получаем: Мx = 0,0018

Мx = 0,0049.

Подсчитаем сумму исков от застрахованных

1-ой группы:

l = Мx = N1* Мx = 400*0,0018 = 0,7

2-ой группы:

l = Мx = N2* Мx = 1000*0,0049 = 4,9

Общая сумма исков может рассматриваться, как случайная пуассоновская величина с параметром l+l = 5,6

Так как вероятность не разорения компании должна быть не меньше 0,95, необходимо чтобы для общей суммы исков от застрахованных

x = x + x

 выполнялось соотношение: Р(x Ј x) і 0,95 , где х – капитал компании.

Очевидно, что х = х, здесь х» 10– квантиль уровня 0,95 для распределения Пуассона. За счет нетто-премий компания может получить только сумму:

5,6=0,7*45800 руб. + 4,9*32700 руб. = 32060 руб.+1060230 руб. = 192290руб.

Поэтому страховая надбавка компании должна составлять:

R=^(10-5,6)/_5,6 ×100% »78,6% = 0,786*192290 руб.»1511400руб., (5)

а капитал компании:

х = 192290 руб. + 151140 руб. » 343430 руб. (6)

Таким образом, индивидуальные страховые надбавки r и r, цены полисов Р и Р для каждого из клиентов 1-ой и 2-ой группы соответственно равны (они пропорциональны нетто-премиям):

r = 0,52*Р = 0,52*83 руб. » 43 руб.,

r = 0,52*Р = 0,52*160 руб. » 83 руб.,

(7)

Р = Р + r » 43 руб. + 83 руб. = 126 руб.,

Р = Р + r »160 руб. + 83 руб. = 243 руб.

II.         Теперь решим задачу с помощью гауссовского приближения. Среднее значение общего суммарного иска от застрахованных

x = Мx + Мx

с учетом средних индивидуальных исков (2) равно:

Мx = N1*Mx+ N2* Мx=400*0,00083+1000*0,0016=

= 0,332 + 1,6 » 1,9 = 190000 руб. (8)

Дисперсию x в виду независимости x и x вычислим по формуле:

Dx = Dx + Dx » 400*0,00058 + 1000*0,00078=

=0,23 + 0,78 = 1,01. (9)

Здесь:

Dx = М(x) - Мx = 0,00058 – (0,00083) » 0,00058 ,

(10)

Dx = М(x) - Мx = 0,00078 – (0,0016)  » 0,00078 ,

где с помощью рядов распределения (1) имеем:

М(x) = 1/16*0,0013 + 1*0,0005 » 0,00058 ,

(11)

М(x) = 1/16*0,0044 +1*0,0005 » 0,00078.

На основании центральной предельной теоремы функция распределения нормированной случайной величины:

S= (x - Mx)/,

при N1 + N2 ® Ґ имеет предел

F(x) = (1/)*dz

Для гауссовского приближения случайной величины x верна следующая цепочка равенств:

Р(x < x) = Р((x - Мx)/ Ј (х - Мx)/) » F((x - Mx)/) ,

где х – капитал компании.

Для того чтобы вероятность неразорения компании не превосходила 0,95, т.е.

F((x - Mx)/) і 0,95 должно быть выполнено соотношение

(х - Mx)/ і х, (12)

здесь х» 1,645 – квантиль уровня 0,95 стандартного гауссовского распределения.

Нетрудно убедиться в том, что минимально необходимый капитал компании должен составлять:

х=Мx+х*»1,9+1,645*1,005=1,9+1,65=3,55=355000руб., (13)

а относительная страховая надбавка составляет:

х*/Мx*100%=1,65/1,9*100%»86,8% (14)

Индивидуальные страховые надбавки r и r, цены полисов Р и Р для клиентов 1-ой и 2-ой групп с учетом (2), очевидно будут равны (страховые надбавки пропорциональны нетто-премиям):

r = 0,68*83 руб. » 56 руб.;

r = 0,68*160 руб. » 109 руб.;

(15)

Р = Р + r »83 руб. + 56 руб. = 139 руб.;

Р = Р + r »160 руб. + 109 руб. = 269 руб.

III.       Проанализируем результаты, полученные в п.п. I и II. Очевидно расхождение результатов, полученных при использовании пуассоновского и гауссовского приближений. Попытаемся разобраться, в чем причина этого различия.

Дело в том, что при использовании закона Пуассона замена рядов распределения (1) на ряды распределения (3) привела к тому, что не изменились лишь математические ожидания Мxи Мx. В то же время дисперсии Dx и Dx, свидетельствующие о степени рассеяния случайных исков x и x, найденных по рядам распределения (1) и (3), различны. Следовательно, различны и дисперсии Dx, найденные по рядам распределения (1) и (3). Действительно, дисперсия общего суммарного иска x по рядам (1) подсчитана: Dx = 1,24 (см. соотношение (9) ).

Вычислим дисперсию x по рядам распределения (3), т.е.

0 0,458 0 0,327

x: x: (16)

0,9982 0,0018 0,9962 0,0049

Проведя расчеты, аналогичные (9-11), получим:

Dx =Dx + Dx » 400*0,00038 + 1000*0,00052 = 0,67. (17)

Здесь:

Dx = М(x) - Мx = 0,00038 – (0,00083) » 0,00038 ,

(18)

Dx = М(x) - Мx = 0,00052 – (0,0016)  » 0,00052 ,

причем:

М(x) = 0,458*0,0018 » 0,00038 ,

(19)

М(x) = 0,327*0,0049 » 0,00052.

В дальнейшем будем использовать следующие обозначения: дисперсию x, найденную с использованием рядов (1), обозначим s, а дисперсию x, найденную по рядам (3) или (16), обозначим s. Таким образом, s = 1,01, а s = 0,67.

Из формулы (12), использующей стандартное гауссовское распределение, непосредственно следует, что относительная страховая надбавка, если Dx = s = 0,67 , равна

х*s/Мx*100% = 1,645*/1,9*100% » 70,9% (20)

Этот результат хорошо согласуется с относительной страховой надбавкой, учитывающей распределение суммарного иска x по закону Пуассона, равной 86,8% (см. (5)).

Учитывая вышеизложенное, напрашивается естественный вывод: если относительная страховая надбавка, капиталл компании, обеспечивающий неразорение компании с вероятностью 0,95, и цена полиса вычисляются, исходя из распределения суммарного иска застрахованных по закону Пуассона, то для нахождения основных характеристик компании необходимо ввести поправочный коэффициент, равный k = s1 /s2.

Проиллюстрируем применение коэффициента k для коррекции результатов, полученных в п.I:

страховая надбавка с учетом (5) станет равной:

R= k*R = *86,8%=1,2*86,8% » 71,4% » 135660 руб. (21)

капитал компании (см.(6)) станет равным:

х= 190000 руб. + 135660 руб. » 325660 руб., (22)

а индивидуальные страховые надбавки и цены полисов (см.(7)):

r = k*r » 1,2*43 руб. » 54 руб.,

r = k*r » 1,2*83 руб. » 100 руб.,

(23)

Р = Р + r » 83 руб. + 54 руб. = 137 руб.,

Р = Р + r » 160 руб. + 100 руб. = 260 руб.

В заключение необходимо отметить, что характеристики работы компании, полученные с учетом коррекции результатов исследования, в котором суммарный иск застрахованных подчинен распределению Пуассона хорошо согласуется с характеристиками работы страховой компании.