Быстрое вейвлет-преобразование

2. Быстрое вейвлет-преобразование

После того, как вычислены коэффициенты h_k и g_k, т.е. выбран определенный вейвлет, можно проводить вейвлет-преобразование сигнала f(x), поскольку задан ортонормальный базис (y_j,k, j _j,k). Любая функция f(x)ÎL²(R) полностью характеризуется ее вейвлет-коэффициентами разложения по этому базису и потому может быть представлена формулой

  .  (2.1)

Зададим все пределы суммирования в формуле (2.1). Функцию f(x) можно рассматривать на любом n-м уровне разрешения j_n. Тогда разделение между ее усредненными значениями на этом уровне и флуктуациями вокруг них выглядят как

  .  (2.4)

На бесконечном интервале первая сумма может быть опущена, и в результате получается «чистое» вейвлет-разложение.

Коэффициенты s_j,k и d_j,k содердат информацию о составе сигнала на разных масштабах и вычисляются по формулам:

   ,   (2.2)

   .   (2.3)

Однако при этом компьютерные расчеты занимают довольно длительное время, т.к. при вычислении приходится проводить O(N²) операций, где N – число имеющихся значений функции. Опишем более быстрый алгоритм.

В реальных ситуациях с оцифрованным сигналом мы всегда имеем дело с конечным набором цифр (точек). Поэтому всегда существует наилучший уровень разрешения, когда каждый интервал содержит по одному числу. Соответственно и суммирование по k будет идти в конечных пределах. Удобно изменить шкалу разрешения (или шкалу f), приписав значение j=0 этому наилучшему уровню разрешения. В этом случае легко вычислить вейвлет-коэффициенты для более усредненных уровней j³1. Многомасштабный анализ приводит естественным путем к иерархической и быстрой схеме вычисления вейвлет-коэффициентов заданной функции.

В общем случае итерационные формулы быстрого вейвлет-преобразования имеют вид:

   ,   (2.4)

    (2.5)

с

  .   (2.6)

Эти уравнения обеспечивают быстрые (или пирамидальные) алгоритмы вычисления вейвлет-коэффициентов, поскольку требуют только O(N) операций для своего завершения. Начав с s_0,k, мы вычислим все другие вейвлет-коэффициенты, если параметры вейвлета h_m и g_m известны. Явный вид вейвлета при этом не используется. Простая форма полученных итерационных уравнений служит единственным оправданием введения множителя  в функциональное уравнение (1.8). В принципе, коэффициенты h_m и g_m можно было бы перенормировать. Однако, уравнения (2.4), (2.5) используются на практике значительно чаще других, и поэтому эту нормировку не изменяют. Любые дополнительные сомножители в них могут привести лишь к усложнению численных расчетов.

Остающиеся проблемы связаны с начальными данными. Если известен явный вид функции f(x), то коэффициенты s_0,k можно вычислить, используя формулу (2.6). Но ситуация отличается от этой, если доступны только дискретные значения f(x). Чтобы достичь высокой точности, хорошо бы задать очень малые интервалы (плотную решетку), но это зачастую недоступно из-за конечности интервалов сбора информации. В таком случае простейшее принимаемое решение состоит в непосредственном использовании величин f(k) из доступного набора данных в виде коэффициентов s_0,k и применении быстрого вейвлет-преобразования с использованием формул (2.4), (2.5). Это безопасная операция, т.к. пирамидальный алгоритм обеспечивает полную реконструкцию сигнала, а коэффициенты s_0,k по сути представляют собой локальные средние значения сигнала, взвешенные со скейлинг-функцией.

В общем случае можно выбрать

  .   (2.7)

Рассмотренная ситуация отвечает условию s_0,k=f(k), что соответствует c_m=d_0m.

Обратное быстрое вейвлет-преобразование позволяет реконструировать функцию по значениям ее вейвлет-коэффициентов.

3. Двумерные вейвлеты

Многомасштабный анализ можно проводить и с многомерными функциями. Существует два способа обобщить его на двумерный случай, но чаще используется построение, заданное тензорными произведениями.

Тривиальный путь построения двумерного ортонормального базиса исходя из одномерного ортонормального вейвлет-базиса y_j,k(x)=2^j/2y(2^jx-k) состоит в том, чтобы путем тензорного произведения образовать соответствующие функции из двух одномерных базисов:

  .  (3.1)

В этом базисе две переменных x₁ и x₂ сжимаются по-разному.

Больший интерес для многих приложений имеет другая конструкция, в которой масштабирование полученного ортонормального вейлет-базиса происходит по обеим переменным одинаковым образом и двумерные вейвлеты задаются следующим выражением:

  , j,k,lÎZ,  (3.2)

но Y уже не является единственной функцией, наоборот, она будет сформирована из трех элементарных вейвлетов. Чтобы создать ортонормальный базис W₀, теперь придется использовать три семейства

, , .

Тогда двумерные вейвлеты запишутся в виде

, , .

На двумерной плоскости происходит анализ по горизонталям, вертикалям и диагоналям с одинаковым разрешением в соответствии с тремя выписанными выше вейвлетами.

Похожие работы

Операторы в вейвлетном базисе

Скачать

17880

4

0

... базисе непосредственно влияет на скорость вычислительных алгоритмов. Нестандартная форма оператора Т с ядром K(x,y) достигается вычислением следующих выражений: (4.1) (4.2)    (4.3) 4.1 Оператор d/dx в вейвлетном базисе Нестандартные формы некоторых часто используемых ...

Метод вейвлет-перетворення

Скачать

67501

0

36

... ів у буферний ЗП контролера клавіатури та дисплея. Але під час виконання роботи був знайдений більш ефективний метод для аналізу пульсової хвилі – вейвлет-аналіз, якому і присвячений наступний розділ. 3. СУТНІСТЬ ВЕЙВЛЕТ-АНАЛІЗУ   Вейвлет-перетвореня сигналів є узагальненням спектрального аналізу, типовий представник якого - класичне перетворення Фур'є. Застосовувані для цієї мети базиси ...