Краткое описание сущности метода касательных

1. Краткое описание сущности метода касательных

( метода секущих Ньютона)

Пусть на отрезке [a; b] отделен корень с уравнения f (x) = 0 и f -функция непрерывна на отрезке [a; b], а на интервале ]a; b[ существуют отличные от нуля производные f ’ и f ”.

Так как f ’(x)  0 , то запишем уравнение f (x) = 0 в виде :

x = x – ( f (x) / f ’(x)) (1)

Решая его методом итераций можем записать :

xn+1 = x n– ( f (x n) / f ’(x n)) (2)

Если на отрезке [a;b] f ’(x) * f “(x) > 0, то нул – евое приближение выбираем x0=a. Рассмотрим геометрический смысл метода . Рассмотрим график функции y=f(x). Пусть для определенности f ‘(x) > 0 и f “(x) > 0 (рис. 1). Проведем касательную к графику функции в точке B (b, f (b)). Ее уравнение будет иметь вид :

y = f (b) + f ’(b) * (x – b)

Полагая в уравнении y = 0 и учитывая что f ’(x)  0, решаем его относительно x. Получим :

x = b – (f (b) /f ‘(b))

Нашли абсциссу x1 точки c1 пересечения касательной с осью ox :

x1 = b – (f (b) – f ’ (b))

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Проведем касательную к графику функции в точке b1 (x1; f (x1)).Найдем абсциссу x2 точки с2 пересечения касательной с осью Ox :

x2 = x1 – (f (x1) / ( f ’(x1))

Вообще :

xk+1 = x k – ( f (x k) / f ’(x k)) (3)

Таким образом, формула (3) дает последовательные приближения (xk) корня, получаемые из уравнения касательной , проведенной к графику функции в точке b k (x k; f (x k0) метод уточнения корня c [a;b] уравнения f (x) = 0 с помощью формулы (3) называется методом касательной или методом Ньютона.

Геометрический смысл метода касательных состоит в замене дуги y = f (x) касательной, одной к одной из крайних точек . Начальное приближение x 0 = a или x0 = b брать таким, чтобы вся последовательность приближения х k принадлежала интервалу ]a;b[ . В случае существования производных f ’, f ”, сохраняющих свои знаки в интервале, за х0 берется тот конец отрезка [a;b], для которого выполняется условие f ’(х0) * f (х0) > 0. Для оценки приближения используется общая формула :

|c-x k-1 |  | f (x k+1)/m| , где m = min f ’(x) на отрезке [a;b] .

На практике проще пользоваться другим правилом :

Если на отрезке [a;b] выполняется условие 0 < m < | f (x)| и заданная точность решения, то неравенство | x k+1-x k|   влечет выполнение неравенства |c-x k-1|  

В этом случае процесс последовательного приближения продолжают до тех пор, пока не выполнится неравенство :

|c-x k-1|  

 

 

 

 

2. Решение нелинейного уравнения аналитически

 

Определим корни уравнения х3 + 0,1х2 + 0,4х – 1,2 = 0 аналитически. Находим : f (x) = х3 + 0,1х2 + 0,4х – 1,2

f ‘ (x) = 3х2 + 0,1х + 0,4

f (–1) = –2,5 < 0 f (0) = –1,2 < 0 f (+1) = 0,3 > 0

x	- 	-1	0	+1	+ 
sign f (x)	-	-	-	+	+

 

Следовательно, уравнение имеет действительный корень, лежащий в промежутке [ 0; +1 ].

Приведем уравнение к виду x =  (x) , так , чтобы |  ‘ (x) | <1 при 0 x  +1.

Так как max | f ’(x) | = f ’(+1) = 3 + 0,1 + 0,4 = 3,5 то можно взять R = 2.

Тогда  (x) = x – ( f (x) / R) = x – 0,5 х3 – 0,05 х2 – 0,2 х + 0,6 = – 0,5 х3 – 0,05 х2 + 0,8 х + 0,6.

Пусть х0 = 0 , тогда х n+1 =  (х n).

Вычисления расположим в таблице.

n	хn	х2n	х3n	 (хn).	f (x)
1	1	1	1	0,85	-0,17363
2	0,85	0,7225	0,614125	0,9368125	0,08465
3	0,9368125	0,87761766	0,822163194	0,89448752	-0,04651
4	0,89448752	0,800107923	0,715686552	0,917741344	0,024288
5	0,917741344	0,842249174	0,772966889	0,905597172	-0,01306
6	0,905597172	0,820106238	0,74268589	0,912129481	0,006923
7	0,912129481	0,83198019	0,758873659	0,908667746	-0,0037
8	0,908667746	0,825677072	0,750266124	0,910517281	0,001968
9	0,910517281	0,829041719	0,754856812	0,909533333	-0,00105
10	0,909533333	0,827250884	0,752412253	0,910057995	0,000559
11	0,910057995	0,828205555	0,753715087	0,909778575	-0,0003
12	0,909778575	0,827697055	0,753021048	0,909927483	0,000159
13	0,909927483	0,827968025	0,753390861	0,909848155	-8,5E-05
14	0,909848155	0,827823665	0,753193834	0,909890424	4,5E-05
15	0,909890424	0,827900583	0,753298812	0,909867904	-2,4E-05
16	0,909867904	0,827859602	0,753242881	0,909879902	1,28E-05
17	0,909879902	0,827881437	0,753272681	0,90987351	-6,8E-06
18	0,90987351	0,827869803	0,753256804	0,909876916	3,63E-06
19	0,909876916	0,827876002	0,753265263	0,909875101	-1,9E-06
20	0,909875101	0,827872699	0,753260756	0,909876068	1,03E-06

 

График функции y = х3 + 0,1х2 + 0,4х – 1,2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Блок схема программы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Программа на языке PASCAL 7.0

program metod_kasatel;{Название программы}

uses Crt; {Модуль дисплейных функций}

var {Блок описаний переменных}

xn,xn1,a,b,c,mx,y0,x0 :real;

function f1(x1:Real): Real; {Основная функция}

begin

f1 := x1*x1*x1*(-0.5)-0.05*x1*x1+0.8*x1+0.6;

end;

function f2(x4:Real): Real; {Производная от основной функции}

begin

f2 := x4*x4*x4+0.5*x4*x4+0.1*x4*x4+0.4*x4–1.2;

end;

begin {Начало основного тела программы}

Clrscr; {Очистка экрана перед выполнением программы}

a:=0;b:=1;c:=0.00000001;

Writeln(' От A=',a,' до B=',b); {Вывод на экран}

Writeln(' Погрешность с=',c);

Readln; { Ожидание нажатия клавиши Enter}

xn:=b;

xn1:= f1(xn);

y0:=f2(b);

while ABS(y0)>c do {Проверка по точности вычисления корня}

begin {Тело цикла}

xn:=xn1;

xn1:=f1(xn);

y0:= f2(xn1);

{Печать промежуточного результата}

Writeln('xn=',xn,' xn+1=',xn1,' f(xn+1)=',y0);

Readln; { Ожидание нажатия клавиши Enter}

end; {Конец тела цикла}

Writeln('Конечные значения'); {Печать полученного результата}

Writeln(' xn+1=',xn1,' f(xn+1)=',y0);

Readln; { Ожидание нажатия клавиши Enter}

end. {Конец основного тела программы}

5. Результаты выполнения программы

 

От A= 0.0000000000E+00 до B= 1.0000000000E+00

Погрешность с= 1.0000000000E-08

От A= 0.0000000000E+00 до B= 1.0000000000E+00

Погрешность с= 1.0000000000E-08

xn= 8.5000000000E-01 xn+1= 9.3681250000E-01 f(xn+1)= 8.4649960270E-02

xn= 9.3681250000E-01 xn+1= 8.9448751986E-01 f(xn+1)=-4.6507647892E-02

xn= 8.9448751986E-01 xn+1= 9.1774134381E-01 f(xn+1)= 2.4288343840E-02

xn= 9.1774134381E-01 xn+1= 9.0559717189E-01 f(xn+1)=-1.3064617920E-02

xn= 9.0559717189E-01 xn+1= 9.1212948085E-01 f(xn+1)= 6.9234699658E-03

xn= 9.1212948085E-01 xn+1= 9.0866774587E-01 f(xn+1)=-3.6990702320E-03

xn= 9.0866774587E-01 xn+1= 9.1051728099E-01 f(xn+1)= 1.9678960780E-03

xn= 9.1051728099E-01 xn+1= 9.0953333295E-01 f(xn+1)=-1.0493249720E-03

xn= 9.0953333295E-01 xn+1= 9.1005799543E-01 f(xn+1)= 5.5884091853E-04

xn= 9.1005799543E-01 xn+1= 9.0977857497E-01 f(xn+1)=-2.9781681224E-04

xn= 9.0977857497E-01 xn+1= 9.0992748338E-01 f(xn+1)= 1.5865717614E-04

xn= 9.0992748338E-01 xn+1= 9.0984815480E-01 f(xn+1)=-8.4537703515E-05

xn= 9.0984815480E-01 xn+1= 9.0989042365E-01 f(xn+1)= 4.5040009354E-05

xn= 9.0989042365E-01 xn+1= 9.0986790364E-01 f(xn+1)=-2.3997676180E-05

xn= 9.0986790364E-01 xn+1= 9.0987990248E-01 f(xn+1)= 1.2785800209E-05

xn= 9.0987990248E-01 xn+1= 9.0987350958E-01 f(xn+1)=-6.8122881203E-06

xn= 9.0987350958E-01 xn+1= 9.0987691573E-01 f(xn+1)= 3.6295678001E-06

xn= 9.0987691573E-01 xn+1= 9.0987510095E-01 f(xn+1)=-1.9338276616E-06

xn= 9.0987510095E-01 xn+1= 9.0987606786E-01 f(xn+1)= 1.0303429008E-06

xn= 9.0987606786E-01 xn+1= 9.0987555269E-01 f(xn+1)=-5.4896190704E-07

xn= 9.0987555269E-01 xn+1= 9.0987582717E-01 f(xn+1)= 2.9248803912E-07

xn= 9.0987582717E-01 xn+1= 9.0987568093E-01 f(xn+1)=-1.5583464119E-07

xn= 9.0987568093E-01 xn+1= 9.0987575885E-01 f(xn+1)= 8.3031409304E-08

xn= 9.0987575885E-01 xn+1= 9.0987571733E-01 f(xn+1)=-4.4236003305E-08

xn= 9.0987571733E-01 xn+1= 9.0987573945E-01 f(xn+1)= 2.3572283681E-08

xn= 9.0987573945E-01 xn+1= 9.0987572766E-01 f(xn+1)=-1.2558302842E-08

xn= 9.0987572766E-01 xn+1= 9.0987573394E-01 f(xn+1)= 6.6920620156E-09

Конечные значения

xn+1= 9.0987573394E-01 f(xn+1)= 6.6920620156E-09

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

 

 

Алексеев В. Е., Ваулин А.С., Петрова Г. Б. – Вычислительная техника и программирование. Практикум по программированию :Практ .пособие/ –М.: Высш. шк. , 1991. – 400 с.

Абрамов С.А., Зима Е.В. – Начала программирования на языке Паскаль. – М.: Наука, 1987. –112 с.

Вычислительная техника и программирование: Учеб. для техн. вузов/ А.В. Петров, В.Е. Алексеев, А.С. Ваулин и др. – М.: Высш. шк., 1990 – 479 с.

Гусев В.А., Мордкович А.Г. – Математика: Справ. материалы: Кн. для учащихся. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 1990. – 416 с.

Марченко А.И., Марченко Л.А. – Программирование в среде Turbo Pascal 7.0 – К.: ВЕК+, М.: Бином Универсал, 1998. – 496 с.